Synthèse rapide

• Une suite réelle est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels, à valeurs dans les réels.
• Les modes de génération principaux sont explicite, implicite, par récurrence, ou par relations fonctionnelles.
• La monotonie d'une suite se détermine par le signe de la différence entre termes successifs ou par étude de la fonction associée.
• Les suites remarquables incluent arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, et récurrentes linéaires d’ordre deux.
• La notion de majoration, minorisation, et bornitude est essentielle pour l'étude des suites bornées.
• Les suites arithmétiques ont une expression explicite $ u_n = u_0 + nr $.
• Les suites géométriques ont une formule $ u_n = u_0 \times q^n $.
• La somme de termes consécutifs dépend du type de suite : arithmétique ou géométrique.
• Les suites récurrentes d’ordre deux se résolvent via l’équation caractéristique associée.
• La réduction d’une suite arithmético-géométrique permet de la traiter comme une suite géométrique ou arithmétique.

Concepts et définitions

• Suite réelle : fonction $ u : \mathbb{N} \to \mathbb{R} $.
• Monotonie : suite constante, croissante ($ u_n \le u_{n+1} $), décroissante ($ u_n \ge u_{n+1} $).
• Majorant / Minorant : bornes sup / inf d’une suite.
• Suite arithmétique : $ u_{n+1} = u_n + r $ avec raison $ r $.
• Suite géométrique : $ u_{n+1} = q u_n $ avec raison $ q $.
• Suite arithmético-géométrique : $ u_{n+1} = qu_n + r $.
• Suite récurrente linéaire d’ordre deux : $ u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n $.

Formules, lois, principes

• Expression d’une suite arithmétique : $ u_n = u_0 + nr $.
• Expression d’une suite géométrique : $ u_n = u_0 q^n $.
• Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique : $$ \sum_{k=0}^n u_k = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2} $$
• Somme de termes d’une suite géométrique (pour $ q \neq 1 $) : $$ \sum_{k=0}^n u_k = u_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1-q} $$
• Equation caractéristique pour suite récurrente linéaire d’ordre deux : $ x^2 = a x + b $.
• Solution générale en cas de racines distinctes $ q_1, q_2 $ : $$ u_n = A q_1^n + B q_2^n $$.

Méthodes et procédures

1. Vérifier la définition et le mode de génération : explicite, implicite, récurrente.
2. Étudier la monotonie en analysant le signe de $ u_{n+1} - u_n $ ou via la fonction associée si possible.
3. Déterminer si une suite est bornée, majorée/minorée en cherchant des bornes.
4. Résoudre une suite récurrente par l’équation caractéristique :
   • Résoudre l’équation $ x^2 - a x - b = 0 $.
   • Conclure sur la forme de $ u_n $ selon la nature des racines.
5. Pour suites arithmético-géométriques, réduire à une suite géométrique ou arithmétique.

Exemples illustratifs

• Suite arithmétique : $\ u_n = 2 + 3n $.
• Suite géométrique : $\ u_n = 5 \times 2^n $.
• Somme de suite arithmétique : pour $ u_0 = 2, r=1 $, $$ \sum_{k=0}^n u_k = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2} $$
• Résolution d’une suite récurrente : $ u_{n+2} = 3 u_{n+1} - 2 u_n $; racines = 1, 2, solution générale : $ u_n = A \times 1^n + B \times 2^n $.

Pièges et points d'attention

• Confondre la suite avec un seul terme : penser en termes de la suite dans sa globalité.
• Vérifier que la suite est bien définie dans le cas implicite ou par récurrence.
• Attention à la valeur de la raison $ q $ dans les suites géométriques : si $ q=1 $, la formule doit être adaptée.
• Lors de l’étude de la monotonicité, faire attention à la variation selon le signe de $ u_{n+1} - u_n $.
• S’assurer de la nature des racines de l’équation caractéristique : réelles, complexes ou uniques.

Glossaire

• Suite bornée : suite avec une borne supérieure et inférieure finies.
• Expression explicite : formule reliant directement le terme $ u_n $ à $ n $.
• Raison : constante ajoutée dans une suite arithmétique ou multipliée dans une suite géométrique.
• Equation caractéristique : équation du second degré associée à une suite récurrente linéaire d’ordre deux.
• Réduction : transformation d’une suite complexe en une suite plus simple (géométrique ou arithmétique).
• Monotonie : propriété d’une suite étant ou croissante ou décroissante.