Synthèse rapide

• Un système linéaire est une collection d'équations linéaires impliquant plusieurs inconnues.
• La résolution peut se faire par la méthode du pivot de Gauss, utilisant des opérations élémentaires sur lignes.
• Un système peut admettre une solution unique, une infinité ou aucune solution.
• Les systèmes homogènes ont toujours au moins la solution triviale (zéro).
• L’échelonnement de la matrice facilite la résolution par substitution.
• Les opérations élémentaires (échange, multiplication, addition de lignes) préservent l’ensemble des solutions.
• La méthode du pivot de Gauss consiste à transformer la système en système échelonné pour déduire les solutions.
• Les inconnues associées aux pivots sont dites principales ; les autres sont libres.
• Les solutions d’un système homogène forment un espace vectoriel.
• La compréhension des systèmes linéaires s’étend aussi à leurs applications, notamment en géométrie et en optimisation.

Concepts et définitions

• Système linéaire : ensemble d’équations de la forme $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1p}x_p = b_1$, etc.
• Système carré : même nombre d’équations et d’inconnues ($n=p$).
• Système homogène : toutes les constantes du second membre sont nulles.
• Solution : le $p$-uplet $(x_1, ..., x_p)$ vérifiant tous les équations.
• Systèmes équivalents : ayant le même ensemble de solutions.
• Opérations élémentaires : échanges de lignes, multiplication d’une ligne par un scalaire non nul, addition d’un multiple d’une ligne à une autre.
• Système échelonné : forme où chaque pivot est à droite du pivot de la ligne précédente.
• Inconnues principales : celles associées aux pivots.
• Inconnues libres : non associées à un pivot.

Formules, lois, principes

• La solution générale d’un système est la somme d’une solution particulière et de l’ensemble des solutions du système homogène associé.
• Opérations élémentaires sur les lignes :
  • $L_i \leftrightarrow L_j$
  • $L_i \leftarrow \alpha L_i$, avec $\alpha \neq 0$
  • $L_i \leftarrow L_i + \beta L_j$, avec $\beta$ réel
• La méthode de Gauss consiste à obtenir une matrice échelonnée par échanges, multiplications, et éliminations pour résoudre par substitution.

Méthodes et procédures

1. Représenter le système sous forme matricielle.
2. Appliquer des opérations élémentaires pour obtenir la forme échelonnée.
3. Identifier les pivots (coefficients non nuls en début de chaque ligne).
4. Déterminer le type de solution :
   • Solution unique : dernière étape aboutit à des variables toutes déterminées.
   • Infinité de solutions : certaines variables libres.
   • Aucune solution : apparition d’une ligne de la forme $0 = b$ avec $b \neq 0$.
5. Résoudre par substitution ou paramétrisation selon le cas.
6. La solution générale d’un système non homogène s’obtient en ajoutant une solution particulière à l’ensemble des solutions homogènes.

Exemples illustratifs

• Résolution d’un système de deux équations à deux inconnues par elimination de Gauss.
• Travail sur un système avec infinies solutions : expression des variables principales en fonction des variables libres.
• Cas d’un système incompatible : une ligne réduite donne une contradiction (ex : $0 = 2$).

Pièges et points d'attention

• Confondre une étape d’élimination avec une vérification des solutions.
• Oublier que l’ordre des opérations élémentaires doit respecter la non-négativité du pivot.
• Méconnaître la différence entre solutions uniques, infinies ou inexistantes.
• Lors de la résolution, réaliser la paramétrisation des variables libres pour obtenir la solution générale.
• Vérifier toute contradiction lors de la réduction pour diagnostiquer l’incompatibilité.

Glossaire

• Pivot : coefficient non nul choisi dans chaque étape pour procéder à l’élimination.
• Échelonné : forme où chaque pivot est situé plus à droite que celui de la ligne précédente.
• Solution particulière : une solution spécifique du système.
• Système incompatible : sans solution.
• Espace vectoriel : ensemble des solutions du système homogène, stable par combinaison linéaire.