1. Vue d'ensemble

Le cours porte sur l’arithmétique des entiers, incluant la divisibilité, les nombres premiers, la décomposition en facteurs premiers, et la simplification de fractions. Il s’insère dans la maîtrise des notions fondamentales pour résoudre des problèmes liés aux nombres entiers, à l’aide de méthodes manuelles ou d’outils numériques. La compréhension des critères de divisibilité, la recherche de diviseurs, et l’étude des fractions irréductibles sont essentielles pour les examens en 3ème, afin d'analyser et manipuler des nombres entiers dans divers contextes mathématiques.

2. Concepts clés & Éléments essentiels

• Multiples et diviseurs : un nombre est un multiple d’un autre si il appartient à sa table de multiplication ; le diviseur divise sans reste.
• Méthode pour trouver les diviseurs : tester la divisibilité de $n$ par tous les nombres jusqu’à $\sqrt{n}$.
• Divisibilité :
  • Par 2 : chiffre unités 0, 2, 4, 6, 8
  • Par 3 : somme des chiffres divisible par 3
  • Par 5 : chiffre unités 0 ou 5
  • Par 9 : somme des chiffres divisible par 9
  • Par 10 : chiffre unités 0
• Division euclidienne : pour n÷d, trouver quotient $q$ et reste $r$ tels que $n = d \times q + r$, avec $r < d$.
• Divisibilité par 3 : 621 est divisible car la somme des chiffres (6+2+1=9) est divisible par 3.
• Nombre premier : supérieur à 1 et divisible uniquement par 1 et lui-même.
• Nombres premiers sous 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, etc.
• Décomposition en facteurs premiers : tout nombre >1 peut s’écrire comme produit de nombres premiers, décomposition unique (hors ordre).
• Nombres premiers entre eux : absence de diviseurs communs sauf 1.
• Fraction irréductible : numérateur et dénominateur premiers entre eux ; fraction ne pouvant plus être simplifiée.

3. Points à Haut Rendement

• Diviseur : nombre qui divise sans reste
• Multiple : nombre dans la table de l'autre
• Critères de divisibilité : 2, 3, 5, 9, 10
• Méthode pour trouver diviseurs : tester jusqu'à $\sqrt{n}$
• Division euclidienne : quotient et reste
• Règle pour vérifier la divisibilité par 3 avec la somme des chiffres
• Nombre premier : seul diviseur 1 et lui-même
• Décomposition en facteurs premiers : théorème fondamental, unicité
• Deux nombres premiers entre eux : pas de diviseurs communs sauf 1
• Fraction irréductible : ni simplifiable, numérateur et dénominateur premiers entre eux

4. Tableau de Synthèse

5. Mini-Schéma (ASCII)

Nombres entiers
 ├─ Divisibilité
 │   ├─ Critères (2,3,5,9,10)
 │   ├─ Méthode (tester jusqu’à √n)
 │   └─ Division euclidienne
 ├─ Nombres premiers
 │   └─ Définition et liste à < 100
 └─ Décomposition en facteurs premiers
     └─ Théorème fondamental
Fraction
 ├─ Rationalité = rapport de deux entiers
 └─ Fraction irréductible
     └─ Numérateur et dénominateur premiers entre eux

6. Bullets de Révision Rapide

• Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
• La divisibilité par 3 se vérifie si la somme des chiffres est multiple de 3.
• Diviser par 5 si le chiffre des unités est 0 ou 5.
• Par 9, si la somme des chiffres est divisible par 9.
• La division euclidienne donne quotient et reste : $$n = d \times q + r$$.
• Tester tous les diviseurs jusqu’à $\sqrt{n}$ pour trouver tous les diviseurs.
• 23 est un nombre premier, 12 345 678 ne l’est pas.
• Le théorème fondamental établit que tout nombre >1 se décompose en facteurs premiers une seule fois.
• Deux nombres premiers entre eux si ils n’ont pas de diviseur commun autre que 1.
• Fraction irréductible : fraction avec numérateur et dénominateur premiers entre eux.
• La décomposition en facteurs premiers est clé pour simplifier fractions et résoudre problèmes.
• Nombre premier sous 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…
• Vérifier si un nombre est premier en testant ses diviseurs jusqu’à $\sqrt{n}$.