Synthèse rapide

• La traction et la compression sont deux sollicitations principales des sections d’un élément. La traction induit un allongement, la compression un raccourcissement.
• La contrainte de traction ou de compression est liée à l’effort normal et à la section par la relation $\sigma = \frac{N}{A}$.
• La déformation unitaire $\delta$ dépend de la longueur initiale, de l’effort appliqué, et du module de Young, suivant la loi d’Hooke dans le domaine élastique.
• La limite élastique $f_y$ représente le seuil au-delà duquel le matériau entre dans le domaine plastique ou de rupture.
• La loi de Hooke et le modulus d’élasticité $E$ relient contrainte et déformation : $\sigma = E \times \delta$.
• La limite de résistance à la traction $f_u$, ainsi que la ténacité, définissent la capacité du matériau à résister à la rupture.
• La notion de striction indique la diminution de la section lors de déformations plastiques.
• La Loi de Hooke modifiée par le module d’élasticité longitudinale donne la relation entre contrainte et allongement : $\sigma = E \times \delta$.
• La sécurité de conception suppose de maintenir les contraintes en dessous des limites élastiques ou ultimes, selon la phase de calcul.
• La différence entre domaines élastique, plastique, déformation permanente et rupture doit être clairement respectée en conception.

Concepts et définitions

• Effort normal $N$ : force appliquée axiale (traction ou compression).
• Section $A$ : aire transversale de l’élément ($mm^2$).
• Contraste $\sigma$ : effort normal par unité de surface ($N/mm^2$).
• Déformation unitaire $\delta$ : allongement ou raccourcissement relatif, sans unité.
• Effort de traction $F$, force $N$ : action appliquée pour déformer un matériau.
• Module d’élasticité $E$ : relation entre contrainte et déformation dans le domaine élastique.
• Limite élastique $f_y$ : contrainte maximale en domaine élastique.
• Effet de striction : diminution de la section lors du déformation plastique.
• Coefficient de Poisson $\mu$ : rapport entre déformation transversale et longitudinale.

Formules, lois, principes

• Lien contrainte-déformation en elasticité : $$ \sigma = E \times \delta $$
• Relation contrainte et effort normal : $$ \sigma = \frac{N}{A} $$
• Lien entre allongement et effort : $$ \lambda = \frac{N \times L}{E \times A} $$
• Calcul de la contrainte limite en traction : $$ \sigma \leq f_{u} $$
• Équation de la contrainte en compression : $$ \sigma' = \frac{N'}{A} $$
• Relation déformation pour température : $$ \delta_T = \alpha \times \Delta T \times L $$

Méthodes et procédures

1. Déterminer la force normale $N$, section $A$, et longueur initiale $L$.
2. Calculer la contrainte : $$ \sigma = \frac{N}{A} $$
3. Mesurer ou estimer la déformation unitaire $\delta$ par rapport à la loi d’Hooke : $$ \sigma = E \times \delta $$
4. Vérifier que la contrainte ne dépasse pas la limite élastique ou ultime.
5. En cas de déformation thermique, appliquer la formule : $$ \delta_T = \alpha \times \Delta T \times L $$
6. Pour la rupture, appliquer la condition : $$ \sigma \leq f_u $$

Exemples illustratifs

• Exemple 1 : Calcul de la contrainte dans une poutre en acier soumise à une force $N=50,kN$, section $A=100,mm^2$ : $$ \sigma = \frac{50,000}{100} = 500,N/mm^2 $$
• Exemple 2 : Déterminer la déformation pour une force $N=10,kN$, section $A=50,mm^2$, longueur $L=2,m$, $E=210,000,N/mm^2$ : $$ \delta = \frac{N \times L}{E \times A} = \frac{10,000 \times 2000}{210,000 \times 50} \approx 0,19% $$
• Exemple 3 : Vérification de la limite de traction pour un acier ayant $f_y=235,N/mm^2$, avec une contrainte calculée $\sigma=200,N/mm^2$ : OK si $$ \sigma \leq f_y $$.

Pièges et points d'attention

• Confusion entre effort normal $N$ et contrainte $\sigma$ : ne pas les confondre.
• Négliger la distinction entre domaines élastique et plastique lors des calculs : ne pas dépasser la limite élastique dans la conception.
• Mal interpréter la relation entre déformation et effort dans le domaine plastique : attention aux valeurs de striction et de rupture.
• Ignorer la relation de Poisson $\mu$ qui influence la déformation transversale.
• Ne pas considérer l’incertitude dans la détermination expérimentale de $f_y$.
• Utiliser une formule de rupture ou de limite en-tête, sans vérifier les conditions de charge.

Glossaire

• Effort normal ($N$) : force appliquée axiale.
• Section $A$ : aire transversale de la pièce.
• Contraste ($\sigma$) : effort normal par unité de surface.
• Déformation unitaire ($\delta$) : variation relative de longueur.
• Module d’élasticité ($E$) : propriété du matériau déterminant sa rigidité.
• Limite élastique ($f_y$) : contrainte en dessous de laquelle la déformation est réversible.
• Effet de striction : réduction de la section lors de déformation plastique.
• Coefficient de Poisson ($\mu$) : rapport entre déformation transversale et longitudinale.
• Rupture : défaillance totale du matériau.
• Domaine élastique : déformation réversible.
• Domaine plastique : déformation permanente.