Fonctions quadratiques: propriétés et graphiques

7 décembre 2025

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1. Vue d'ensemble

Le sujet concerne la définition et les caractéristiques des fonctions polynômes du second degré. Ces fonctions apparaissent comme un cas particulier de fonctions polynomiales, avec un degré spécifique. Elles jouent un rôle central en algèbre, notamment dans la résolution d'équations quadratiques et l'étude des courbes paraboliques. La notion clé est que toute fonction quadratique peut s’écrire sous une forme canonicale, avec un coefficient principal non nul, garantissant une courbure spécifique. Le cours détaille la structure, les paramètres et les implications géométriques de ces fonctions.

2. Concepts clés & Éléments essentiels

  • Fonction polynôme du second degré : toute fonction $f$ s’écrivant comme $f(x) = ax^2 + bx + c$
  • Coefficients : $a, b, c \in \mathbb{R}$
  • Condition principale : $a \neq 0$ (garantit un degré égal à 2)
  • Forme générale : par opposition aux fonctions de degré inférieur ou supérieur
  • Représentation graphique : parabole
  • Représentation canonique : forme vertex ou sommet lorsque nécessaire
  • Rôle de $a$: détermine la concavité (vers le haut si $a > 0$, vers le bas si $a < 0$)
  • Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$, détermine le nombre de racines réelles
  • Résolution : racines via formule quadratique

3. Points à Haut Rendement

  • Fonction : $f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a \neq 0$
  • Coeficients : réels, paramétrent la forme et la position
  • Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$
    • $\Delta > 0$ : 2 racines réelles distinctes
    • $\Delta = 0$ : racine double
    • $\Delta < 0$ : racines complexes
  • Forme canonique (vertex form) : $f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0$
  • Sommet : $(x_0, y_0)$ avec
    • $x_0 = -\frac{b}{2a}$
    • $y_0 = f(x_0)$
  • Concavité déterminée par le signe de $a$
  • Résolution graphique : étude de l'ouverture et du sommet
  • Application pratique : modélisation de trajectoires ou optimisations

4. Tableau de Synthèse

ConceptPoints ClésNotes
Fonction quadratique$f(x) = ax^2 + bx + c$Définie par trois réels, $a \neq 0$
Coefficients$a, b, c \in \mathbb{R}$$a$ ≠ 0, détermine degré et concavité
Discriminant$\Delta = b^2 - 4ac$Détermine racines réelles ou complexes
Racines$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$Résolution par formule quadratique
Sommet (Vertex)$(x_0, y_0)$, où $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = f(x_0)$Point d’extremum (Minimum si $a>0$, Maximum si $a<0$)
Forme canonique$f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0$Expression autour du sommet

5. Mini-Schéma (ASCII)

Fonction quadratique
 ├─ Forme générale: ax² + bx + c
 ├─ Coefficients
 │   ├─ a ≠ 0 (degré 2)
 │   └─ b, c réels
 ├─ Discriminant Δ = b² - 4ac
 ├─ Racines: x = (-b ± sqrt(Δ)) / 2a
 ├─ Sommet: (x₀, y₀) avec x₀ = -b/2a, y₀ = f(x₀)
 └─ Concavité : vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0

6. Bullets de Révision Rapide

  • Fonction poly du second degré : $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a \neq 0$
  • Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$
  • Racines : formule $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
  • Si $\Delta > 0$, 2 racines réelles distinctes
  • Si $\Delta = 0$, racine double
  • Si $\Delta < 0$, racines complexes
  • Sommet : $(x_0, y_0)$, avec $x_0 = -\frac{b}{2a}$
  • $a$ détermine l’orientation de la parabole
  • La forme canonicalisée facilite l’étude du sommet
  • La parabole est symétrique par rapport à la droite $x = -\frac{b}{2a}$
  • Résolution directe par formule quadratique
  • Applications : modélisation, optimisation, trajectoires