Fiche de révision - Suites numériques
📌 L'essentiel
- Une suite est une application $u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ qui donne une valeur pour chaque entier naturel.
- La convergence d'une suite est définie par la limite $l$, avec la propriété : $\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall n \geq N, |u(n) - l| \leq \varepsilon$.
- Les suites peuvent être bornées (majorées et minorées) ou non, et ces propriétés influencent leur convergence.
- Une suite monotone (croissante ou décroissante) qui est bornée converge d'après le théorème de convergence des suites monotones bornées.
- Les suites géométriques ont la forme $u_n = a^{n}$ avec $a \in \mathbb{R}$ ; leur limite dépend de $|a|$.
- Les suites récurrentes (définies par une relation du type $u_{n+1} = f(u_n)$) peuvent converger vers des points fixes vérifiant $f(\ell) = \ell$.
- Les formes indéterminées comme $0/0$ ou $\infty / \infty$ nécessitent un traitement particulier.
📖 Concepts clés
Suite : Fonction $u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$assignant une valeur à chaque entier, souvent écrite sous la forme $(u(n))_{n \in \mathbb{N}}$.
Suite majorée : $\exists M \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, u(n) \leq M$.
Suite minorée : $\exists m \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, u(n) \geq m$.
Suite bornée : Majorée et minorée simultanément.
Suite croissante : $\forall n, u(n+1) \geq u(n)$.
Suite décroissante : $\forall n, u(n+1) \leq u(n)$.
Suite monotone : Croissante ou décroissante.
Limite finie : $\lim_{n \to \infty} u(n) = l \in \mathbb{R}$.
Limite infinie : La suite tend vers $+\infty$ ou $-\infty$.
Divergence : Absence de limite finie.
📐 Formules et lois
Limite d'une suite :
$$
\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, |u(n) - l| \leq \varepsilon
$$
Limités par opérations :
- $\lim_{n \to \infty} \lambda u(n) = \lambda \lim_{n \to \infty} u(n)$ (si la limite existe)
- $\lim_{n \to \infty} (u(n) + v(n)) = \lim_{n \to \infty} u(n) + \lim_{n \to \infty} v(n)$
- $\lim_{n \to \infty} u(n) v(n) = (\lim_{n \to \infty} u(n)) (\lim_{n \to \infty} v(n))$
- Si $u(n) \neq 0$ pour $n$ suffisamment grand :
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{u(n)} = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} u(n)} \quad \text{(si la limite n'est pas nulle)}
$$
🔍 Méthodes
- Vérifier si la suite est majorée ou minorée.
- Déterminer si la suite est croissante ou décroissante.
- Utiliser le théorème des suites monotones bornées pour conclure à la convergence.
- Prouver la limite avec la définition (approche epsilon).
- Étudier la limite à partir des opérations ou suites adjacentes.
- Résoudre l’équation du point fixe $f(\ell) = \ell$ dans le cas des suites récurrentes.
- Pour une suite géométrique $u_n = a^n$, appliquer la formule de la somme pour la série.
💡 Exemples
- Suite alternée : $((-1)^n)$, divergence car elle n’admet pas de limite finie.
- Suite géométrique : $u_n = a^n$ :
- Si $|a|<1$, $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$.
- Si $a=1$, $\lim_{n \to \infty} u_n = 1$.
- Si $|a|>1$, suite diverge.
- Suite récurrente : $u_{n+1} = f(u_n)$, convergence vers un point fixe $\ell$ avec $f(\ell) = \ell$.
- Série géométrique : $\sum_{k=0}^n a^k$, convergence quand $|a|<1$, limite $= \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a}$.
- Suite harmonique : $u_n=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$, divergence vers $+\infty$.
⚠️ Pièges
- Confondre suite divergente et suite non convergente (une suite divergente ne tend pas nécessairement vers l’infini).
- Ignorer la nécessité de vérifier la monotonie et la bornitude pour la convergence.
- Utiliser une limite sans vérifier que la suite est convergente.
- Confondre limite infinie et divergence.
- Négliger la précision lors d’approximation décimale.
📊 Synthèse comparative
| Propriété | Condition | Conclusion |
|---|
| Suite monotone et bornée | $u(n)$ monotone, bornée | Convergence garantielle |
| Suite géométrique $a^n$ | $ | a |
| Suite récurrente | $u_{n+1} = f(u_n)$ | Tend vers point fixe si $\exists \ell$, $f(\ell) = \ell$ |
| Série géométrique | $ | a |
✅ Checklist examen
- Définir et reconnaître une suite bornée, monotone.
- Appliquer la définition de la limite.
- Identifier un point fixe dans une suite récurrente.
- Déterminer la limite d’une suite géométrique.
- Conclure à la convergence ou divergence en utilisant le théorème approprié.
- Résoudre une équation du type $f(\ell) = \ell$ dans le contexte des suites récurrentes.
- Maîtriser les opérations sur limites.
- Savoir analyser une série géométrique.
- Éviter les pièges classiques liés aux limites infinies et aux formes indéterminées.
Synthèse rapide
- Définir une suite : $u(n)$ dans $\mathbb{R}$.
- Suites majorées, minorées, bornées.
- Suites croissantes, décroissantes, monotones.
- Limites finies, infinies, suites divergentes.
- Opérations sur limites : addition, multiplication, inverse.
- Suites géométriques, séries géométriques.
- Suites récurrentes, points fixes.
- Convergence, divergence, suites adjacentes.
- Approximations décimales et précisions.