Principes de la régression linéaire

1. Vue d'ensemble

La régression linéaire est une méthode statistique pour estimer l'effet d'une ou plusieurs VI continues sur une VD.
Elle modélise une relation de type linéaire, en estimant intercept et pente via la méthode des moindres carrés.
La démarche englobe la vérification de conditions essentielles : linéarité, distribution normale des résidus, homogénéité des variances, indépendance, variance non nulle, absence de multicolinéarité.
Les concepts clés incluent la corrélation, la causalité, les différentes formes de modèles (simple, multiple, hiérarchique), et l'interprétation des coefficients.
La distinction entre modération et médiation précise le contexte d'interactions et processus explicatifs dans la relation VI-VD.
La validation des hypothèses conditionne la fiabilité des conclusions : significativité du modèle, effectifs expliqués (R²), signification des coefficients, et vérification des prérequis.
La régression hiérarchique permet d’évaluer l’impact additionnel de groupes de VI selon la théorie ou la question de recherche.

2. Concepts clés & Éléments essentiels

Modèle linéaire : $$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$$
Estimation via méthode des moindres carrés : minimise $$SCE = \sum (Y_i - (\beta_0 + \beta_1 X_i))^2$$
Hypothèse nulle H0 : pas de relation ($\beta_1 = 0$) ; H1 : relation significative ($\beta_1 \neq 0$)
Coefficient de détermination R² : pourcentage variance expliquée par le modèle
P-value : probabilité d’observer les résultats si H0 vraie; seuil alpha = 5%
Corrélation r de Pearson : indique la force (0-1) et la direction (+ ou -)
Relation entre F et t dans le test d’un coefficient : F = t²
Critères pour la validité du modèle :
- Relation linéaire
- Pas d’outliers extrêmes
- Distribution normale des résidus
- Homogénéité des variances (homoscédasticité)
- Résidus non auto-corrélés (test Durbin-Watson proche de 2)
- Variance des VI différente de 0
- Absence de multicolinéarité (VIF < 5, tolérance > 0.10)

3. Points à Haut Rendement

La méthode estime l’effet d’une ou plusieurs VI sur une VD continue, via l’équation $Y= \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$.
La réduction de $SCE$ par la méthode des moindres carrés permet de trouver la meilleure droite de régression.
La valeur p associée au F-test indique si le modèle global est significatif.
La valeur de R² ajusté indique la proportion de variance expliquée, ajustée en fonction du nombre de VI.
Les coefficients standardisés (β) permettent de comparer l’impact relatif des VI.
La vérification des prérequis est cruciale : linéarité, normalité, homoscédasticité, indépendance des résidus, absence de multicolinéarité.
La régression hiérarchique teste l’impact de groupes de VI selon leur ordre d’entrée.
La modération implique une interaction (X*Z) modifiant la relation entre VI et VD.
La médiation décrit un processus où une VI influence une VD via une variable médiatrice.
Les tests se basent sur F (modèle global), t (coefficient), et mesures graphiques (QQ-plot, boxplot, résidus vs prédits).

4. Tableau de Synthèse

Concept	Points Clés	Notes
Modèle linéaire	Y = β0 + β1X + ε	Relation linéaire entre VI et VD
Estimation	Moindres carrés : minimise SCE	Approche standard
Hypothèses	Relation linéaire, normalité, homogénéité, indépendance, variance > 0, absence de multicolinéarité	Vérif. préalable indispensable
Signification	p < 0.05 : relation significative	Décision sur H0/H1
Coefficients	β non standardisé (b), standardisé (β)	Impact dans unités ou écart-type
R²	Variance expliquée par le modèle	R² ajusté pour multiple
F- test	Significatif si p < 0.05	Validation globale du modèle
Résidus	Normalité, homogénéité, indépendance	Vérifiés par QQ-plot, graphique, Durbin-Watson
Modération	Interaction (X*Z) modère relation	Effet de Z sur X-Y
Médiation	M explique relation X-Y	Chemin indirect (a, b, c)

5. Mini-Schéma ASCII

Régression Linéaire
 ├─ Estimation
 │   └─ Minimise $SCE$
 ├─ Vérifications
 │   ├─ Linéarité
 │   ├─ Normalité des résidus
 │   ├─ Homoscédasticité
 │   ├─ Indépendance résidus
 │   └─ Multicolinéarité
 ├─ Tests
 │   ├─ Signification globale (F, p)
 │   ├─ Signification des coefficients (t, p)
 │   └─ Ajustement (R², R² ajusté)
 └─ Interprétation
     └─ Impact et significance des VI

6. Bullets de Révision Rapide

La régression linéaire estime la relation entre VI et VD continue.
Vérifier la linéarité via nuage de points.
Valider normalité et homoscédasticité des résidus.
La p-valeur et F-test indiquent la signification globale.
Coefficients standardisés (β) permettent comparaison d’impact.
R² ajusté indique la proportion expliquée par le modèle.
La régression hiérarchique teste l’apport additionnel de groupes de VI.
Modération : interaction entre VI et variable modératrice.
Médiation : chemin par variable intermédiaire (a, b, c).
En cas de violations, envisager transformation ou élimination outliers.
La multicolinéarité se vérifie avec VIF<5 et tolérance >0.10.
Résultats doivent être appréciés dans le contexte de la validité des prérequis.
La modération modifie la force ou la direction de la relation.
La médiation explique le processus causal entre VI et VD.
Résultats significatifs : p < 0.05, modèle explique une part significative de la variance.

Fiche de révision : Régression linéaire

1. 📌 L'essentiel

Estime la relation entre une ou plusieurs variables indépendantes (VI) continues et une variable dépendante (VD) continue.
Modèle : $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$.
Méthode d’estimation : moindres carrés (minimise $ \sum (Y_i - (\beta_0 + \beta_1_i))^2 $).
Hypothèses clés : linéarité, normalité des résidus, homoscédasticité, indépendance, absence de multicolinéarité.
La significativité globale du modèle est testée via la statistique F.
La valeur $ R^2 $ indique la part de variance expliquée par le modèle.
Les coefficients ($\beta$) mesurent l’impact de chaque VI sur la VD.
La régression hiérarchique permet de voir l’effet additionnel de groupes de VI.
La modalité expérimentale distingue modération (interaction) et médiation (variable intermédiaire).

2. 🧩 Structures & Composants clés

Modèle linéaire — relation prédictive entre VI et VD.
Coefficient $\beta_0$ — intercept (valeur de VD quand VI=0).
Coefficient $\beta_1$ — pente, impact d’une unité de VI.
Résidus — différences entre valeurs observées et prédites.
Hypothèses de validité — linéarité, normalité, homoscédasticité, non auto-corrélation.
Test F — validité globale du modèle.
VIF (Variance Inflation Factor) — vérifie multicolinéarité.
R² ajusté — précision dans le contexte multiple.

3. 🔬 Fonctions, Mécanismes & Relations

La méthode minimise $SCE = \sum (Y_i - (\beta_0 + \beta_1 X_i))^2$.
La relation est considérée significative si p < 0,05 pour $\beta_1$.
La différence entre modèle simple et multiple réside dans le nombre de VI intégrées.
La significativité globale évaluée par F compare la variance expliquée versus erreur.
La normalité et l’homoscédasticité vérifient la fiabilité des coefficients.
La multicolinéarité (VIF>5) fausse l’estimation des coefficients.
La modulation (interaction) modifie la force/direction de la relation VI-VD.
La médiation explique comment une VI influence une VD via une variable médiatrice.

4. Tableau comparatif : Hypothèses et contrôles

Hypothèse	Contrôle	Impact si violation
Linéarité	Graphique de dispersion, trace résidus	Résultats biaisés, invalides
Normalité des résidus	QQ-plot, test de Shapiro-Wilk	Estimations peu fiables
Homoscédasticité	Graphique des résidus vs valeurs prédites	Variance non constante, biais
Indépendance des résidus	Test Durbin-Watson (< 2)	Corrélation résidus, erreur type biaisé
Multicolinéarité	VIF < 5, tolérance > 0.10	Régressions instables

5. 🗂️ Diagramme hiérarchique

Régression linéaire
 ├─ Modèle
 │    └─ Y = β0 + β1X + ε
 ├─ Vérification des hypothèses
 │    ├─ Linéarité
 │    ├─ Normalité
 │    ├─ Homoscédasticité
 │    ├─ Indépendance
 │    └─ Multicolinéarité
 ├─ Analyse du modèle
 │    ├─ Significativité globale (F, p)
 │    ├─ Signification des coefficients (t, p)
 │    └─ R², R² ajusté
 └─ Interprétation
     └─ Impact des VI, rôle des interactions

6. ⚠️ Pièges & confusions

Confondre corrélation et causalité.
Négliger la vérification des hypothèses.
Interpréter $\beta$ sans tenir compte de sa signification (p-value).
Ignorer la multicolinéarité (VIF > 5).
Confondre modération (interaction) et médiation.
Utiliser un modèle linéaire quand la relation est non linéaire.
Ne pas vérifier la normalité des résidus.
Se fier uniquement à R² sans regarder la significativité.

7. ✅ Checklist pour l’examen

Savoir écrire et interpréter le modèle linéaire.
Vérifier la signification globale avec F et p.
Comprendre l’impact des coefficients ($\beta$) et leur significativité.
Interpréter le R² ajusté.
Vérifier la validité des hypothèses principales.
Savoir distinguer modération et médiation.
Connaître la méthode d’estimation : moindres carrés.
Interpréter graphiques de résidus et QQ-plot.
Maîtriser VIF et tests pour multicolinéarité.
Comprendre l’impact de chaque hypothèse sur la fiabilité du modèle.
Connaître le lien entre F et t dans la signification des coefficients.
Connaître la différence entre modèle simple, multiple, hiérarchique.

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1. Vue d'ensemble

2. Concepts clés & Éléments essentiels

3. Points à Haut Rendement

4. Tableau de Synthèse

5. Mini-Schéma ASCII

6. Bullets de Révision Rapide

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1. 📌 L'essentiel

2. 🧩 Structures & Composants clés

3. 🔬 Fonctions, Mécanismes & Relations

4. Tableau comparatif : Hypothèses et contrôles

5. 🗂️ Diagramme hiérarchique

6. ⚠️ Pièges & confusions

7. ✅ Checklist pour l’examen

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Introduction au système

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