📌 L'essentiel

• Les puissances permettent d’écrire les nombres élevés à un exposant et de simplifier les calculs.
• La notation scientifique sert à représenter facilement des grands ou petits nombres.
• Les règles sur les puissances (produit, quotient, puissance d’une puissance) facilitent la manipulation algébrique.
• La forme irréductible d'une fraction est obtenue en divisant numerator et denominator par leur NCD.
• Les nombres irrationnels ne peuvent pas s’écrire sous forme fractionnaire simple.
• La simplification fractionnaire repose sur la propriété du NCD et la réduction à la forme irréductible.

📖 Concepts clés

Puissance : Produit d’un même nombre élevé à un exposant, par exemple $a^n$, où $a$ est la base et $n$ l’exposant.

Écriture scientifique : Forme d’écriture d’un nombre sous la forme $a \times 10^n$, avec $a$ réel tel que $1 \leq a < 10$, et $n$ entier.

Forme irréductible : Fraction dans laquelle le NCD du numérateur et du dénominateur est 1, donc impossible de simplifier davantage.

Nombre irrationnel : Nombre qui ne peut pas s’exprimer comme une fraction simple, souvent non-réductible.

NCD (Nombre Combiné Diviseur) : Plus grand nombre qui divise exactement le numérateur et le dénominateur d’une fraction.

📐 Formules et lois

Puissances :

• $a^m \times a^n = a^{m+n}$
• $\left(a^m\right)^n = a^{m \times n}$
• $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• $(ab)^n = a^n \times b^n$
• $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Ecriture scientifique :

• $a \times 10^n$, avec $1 \leq a < 10$, $n$ entier.

Forme irréductible :

• Fraction où le NCD du numérateur et du dénominateur est 1.

🔍 Méthodes

1. Calcul avec puissances :
   • Identifier la base commune.
   • Appliquer la règle correspondante (addition, soustraction, puissance d’une puissance).
2. Ecriture scientifique :
   • Déplacer la virgule pour que $a$ soit entre 1 et 10.
   • Ajuster $n$ selon le nombre de déplacements.
3. Simplification d’une fraction :
   • Calculer le NCD du numérateur et dénominateur.
   • Diviser les deux termes par le NCD.
4. Vérification de la forme irréductible :
   • S’assurer que le NCD est 1 après simplification.

💡 Exemples

• Simplifier $\frac{12}{16}$ :
  • NCD = 4, fraction simplifiée : $\frac{3}{4}$
• Convertir $0,0034$ en notation scientifique :
  • $3,4 \times 10^{-3}$
• Calculer $2^3 \times 2^4$ :
  • $2^{3+4} = 2^7 = 128$

⚠️ Pièges

• Confondre la multiplication et l’addition des exposants.
• Oublier de déplacer la virgule et d’ajuster $n$ lors de l’écriture scientifique.
• Ne pas vérifier que la fraction est bien irréductible, en utilisant le NCD.
• Confusion entre nombres rationnels et irrationnels.
• Diviser ou multiplier par des nombres autres que le NCD lors de la simplification, risquant de fausser la fraction.

📊 Synthèse comparative

✅ Checklist examen

• Maîtriser les lois sur les puissances.
• Savoir convertir un nombre en notation scientifique.
• Savoir réduire une fraction à sa forme irréductible.
• Connaître la différence entre nombres rationnels et irrationnels.
• Être capable d’appliquer les règles de simplification et d’écrire proprement une puissance ou une fraction.

Synthèse rapide

• Les puissances et leur calcul sont fondamentaux pour simplifier et exprimer les nombres.
• La notation scientifique permet de représenter de grands ou petits nombres de façon concise.
• Les règles sur les puissances facilitent la manipulation algébrique.
• La forme irréductible d’une fraction est essentielle pour la simplification.
• Un nombre irrationnel ne peut pas s’exprimer sous forme de fraction simple.
• La propriété de la division de puissances et la forme irréductible sont clés pour la simplification fractionnaire.