Fiche de révision : Aire de la sphère
1. 📌 L'essentiel
- La surface d’une sphère de rayon R est donnée par la formule : $ 4 \pi R^2 $.
- La sphère est une surface géométrique définie par un O et un rayon R.
- La surface résulte d’une rotation d’un demi-cerc de rayon R autour de l’axe x.
- La relation entre rayon R et aire : l’aire est proportionnelle à R².
- Approche intégrale : calcul de la surface par rotation d’une courbe (semi-cercle).
- La formule intégrale : $ S = 2 \pi \int y \sqrt{1 + (dy/dx)^2} dx $.
- La dérivée de la courbe génératrice : $ dy/dx $.
- La longueur d’arc : $ ds = \sqrt{1 + (dy/dx)^2} dx $.
- La formule est valable en coordonnées paramétriques ou cartésiennes.
- La surface est une surface de révolution autour de l’axe passant par le centre.
2. 🧩 Structures & Composants clés
- Sphère — surface d’un solide avec centre O et rayon R.
- Demi-cercle — générateur de la surface par rotation.
- Courbe génératrice — demi-cercle de rayon R.
- Surface de révolution — surface obtenue par rotation d’une courbe.
- Coordonnées sphériques / paramétriques — méthodes d’intégration.
- Longueur d’arc — élément de calcul pour la surface.
3. 🔬 Fonctions, Mécanismes & Relations
- La surface d’une sphère résulte de la rotation d’un demi-cercle de rayon R.
- La formule de la surface : intégrale de la courbe génératrice en rotation.
- La dérivée dy/dx permet de calculer la longueur d’arc ds.
- La surface de révolution : multiplication par 2π du périmètre de la courbe génératrice.
- La relation entre rayon R et surface : $ S = 4 \pi R^2 $.
- La formule intégrale : intégration de la courbe y = √(R² - x²).
- La rotation autour de l’axe x ou y selon la paramétrisation.
- La surface est une surface de révolution autour de l’axe passant par le centre.
4. Tableau de synthèse
| Élément | Caractéristiques clés | Notes / Différences |
|---|
| Formule de la surface | $ 4 \pi R^2 $ | Formule classique, simple |
| Approche intégrale | Rotation d’un demi-cercle | $ S = 2 \pi \int y \sqrt{1 + (dy/dx)^2} dx $ |
| Paramétrisation | $ y = \sqrt{R^2 - x^2} $ | Utilisée pour intégration directe |
| Longueur d’arc | $ ds = \sqrt{1 + (dy/dx)^2} dx $ | Éléments pour calcul intégral |
5. 🗂️ Diagramme Hiérarchique (ASCII)
Surface de la sphère
├─ Définition
│ └─ Surface d’un solide avec centre O, rayon R
├─ Approche géométrique
│ ├─ Rotation d’un demi-cercle
│ └─ Surface de révolution
└─ Formule
└─ $ 4 \pi R^2 $
6. ⚠️ Pièges & Confusions fréquentes
- Confondre la surface d’une sphère avec sa volume.
- Oublier la factorisation 2π dans la formule d’intégrale.
- Confondre la courbe génératrice (semi-cercle) et la surface totale.
- Utiliser la formule sans vérifier la paramétrisation ou la dérivée.
- Confondre la surface de révolution autour de x ou y.
- Négliger la relation entre dy/dx et ds dans le calcul.
- Croire que la formule s’applique à toute surface sans rotation.
- Oublier que la surface est proportionnelle à R².
7. ✅ Checklist Examen Final
- Connaître la formule classique : $ 4 \pi R^2 $.
- Comprendre l’approche par rotation d’un demi-cercle.
- Savoir écrire la formule intégrale : $ S = 2 \pi \int y \sqrt{1 + (dy/dx)^2} dx $.
- Savoir paramétriser la courbe : $ y = \sqrt{R^2 - x^2} $.
- Calculer la longueur d’arc : $ ds = \sqrt{1 + (dy/dx)^2} dx $.
- Identifier la surface comme surface de révolution.
- Maîtriser la relation entre rayon R et surface.
- Être capable de réaliser une intégration pour obtenir la surface.
- Connaître la différence entre surface et volume.
- Savoir associer la formule à la géométrie analytique.
- Comprendre le principe de rotation d’un demi-cercle pour générer la sphère.
- Être capable de représenter la surface par un schéma simple.
- Vérifier la cohérence des unités et des paramètres.
- Assimiler la relation entre dy/dx, ds, et la surface.
- Savoir utiliser coordonnées paramétriques pour simplifier le calcul.