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Introduction à la statistique multivariée

14 décembre 2025

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1. Vue d'ensemble

  • La séance porte sur l’analyse de données, notamment la modélisation, l’estimation paramétrique, et le test d’hypothèses.
  • Elle s’inscrit dans le contexte des statistiques multivariées, en particulier la distribution gaussienne multivariée.
  • L’objectif est de comprendre comment modéliser, estimer et tester des paramètres de distribution à partir de données.
  • Les idées clés incluent la définition d’un espace probabiliste, la notion de variables aléatoires, la distribution gaussienne, et les méthodes d’estimation et de test.
  • La chronologie suit l’introduction, les concepts fondamentaux, puis les méthodes d’estimation et de test.

2. Concepts clés & Éléments essentiels

  • Espace probabiliste : (Ω, P, F) avec Ω espace échantillon, P probabilité, F σ-algèbre.
  • Variables aléatoires : applications mesurables X : (Ω, F) → (R, B(R)), discrètes ou continues.
  • Probabilité conditionnelle : P(A/B) = P(A∩B)/P(B); indépendance : P(A∩B) = P(A)P(B).
  • Distribution gaussienne univariée : densité fX(x) = (1/σ√(2π)) e^{−(x−μ)²/(2σ²)}.
  • Distribution gaussienne multivariée : fX(x) = (1/√((2π)^d det(Σ))) e^{−(1/2)(x−μ)^T Σ^{-1} (x−μ)}.
  • Paramètres : μ (espérance), Σ (matrice de covariance).
  • Transformations : changement de variable, linéaire, affine.
  • Estimation : méthodes par moments, maximum de vraisemblance.
  • Test d’hypothèse : vérification de paramètres (μ, σ), distribution, indépendance.
  • Distribution du Khi-carré : V ∼ χ²(n), densité fV(x) = (1/2^{n/2}Γ(n/2)) x^{n/2−1} e^{−x/2}.
  • Distribution de Student : T ∼ Student(n−1), liée à la normal et Khi-carré.
  • Intervalle de confiance : basé sur la loi asymptotique (théorème central limite).

3. Points à Haut Rendement

  • Distribution normale univariée : fX(x) = (1/σ√(2π)) e^{−(x−μ)²/(2σ²)}.
  • Distribution normale multivariée : fX(x) = (1/√((2π)^d det(Σ))) e^{−(1/2)(x−μ)^T Σ^{-1} (x−μ)}.
  • Estimation par maximum de vraisemblance : μ̂ = (1/n) ∑ xi, σ̂² = (1/n) ∑ (xi − μ̂)².
  • Test d’hypothèse : H0 : μ = μ0, avec statistique Zn = (√n/σ)(X̄ − μ0), suit N(0,1).
  • Intervalle de confiance asymptotique : [X̄ − z_{1−α/2} (σ/√n), X̄ + z_{1−α/2} (σ/√n)].
  • Distribution Khi-carré : V ∼ χ²(n), pour variance.
  • Distribution de Student : T ∼ Student(n−1), pour moyenne avec σ inconnu.
  • Loi asymptotique : (X̄ − μ)/ (S/√n) → N(0,1) quand n→∞.

4. Tableau de Synthèse

ConceptPoints ClésNotes
Espace probabiliste(Ω, P, F) avec Ω, P, FBase de la modélisation probabiliste
Variable aléatoireMesurable, discrète/continueFonction de Ω vers R ou C
Distribution gaussienne univariéedensité : (1/σ√(2π)) e^{−(x−μ)²/(2σ²)}Paramètres μ, σ²
Distribution gaussienne multivariéedensité : (1/√((2π)^d det(Σ))) e^{−(1/2)(x−μ)^T Σ^{-1} (x−μ)}Paramètres μ, Σ
Estimation par maximum de vraisemblanceμ̂ = (1/n) ∑ xi, σ̂² = (1/n) ∑ (xi − μ̂)²Méthode efficace
Test d’hypothèseStatistique : Zn, Tn−1, VnVérification paramètres
Khi-carréV ∼ χ²(n), densité : (1/2^{n/2}Γ(n/2)) x^{n/2−1} e^{−x/2}Test variance
StudentT ∼ Student(n−1), densité : (1/√(nπ)) Γ((n+1)/2)/Γ(n/2) (1 + x²/n)^{−(n+1)/2}Test moyenne
Théorème central limite(X̄ − μ)/(σ/√n) → N(0,1)Asymptotique

5. Mini-Schéma ASCII

Espace Probabiliste
 ├─ Variables Aléatoires
 │   ├─ Distribution univariée
 │   └─ Distribution multivariée
 ├─ Estimation
 │   ├─ Moments
 │   └─ Maximum de vraisemblance
 └─ Tests d’hypothèses
     ├─ Moyenne (Z, T)
     └─ Variance (V)

6. Bullets de Révision Rapide

  • Distribution normale univariée : densité, paramètres μ, σ.
  • Distribution normale multivariée : densité, paramètres μ, Σ.
  • Estimation par maximum de vraisemblance : μ̂, σ̂².
  • Test d’hypothèse sur μ : statistique Zn, loi N(0,1).
  • Test sur σ : loi Khi-carré.
  • Distribution de Student pour moyenne inconnue.
  • Théorème central limite : normalité asymptotique.
  • Intervalle de confiance : basé sur loi asymptotique.
  • Variables indépendantes : caractérisées par la factorisation de la fonction caractéristique.
  • Matrice de covariance : symétrique, positive, diag. variance.
  • Transformation affine : préserve la loi normale.
  • Loi Khi-carré : paramètre n, densité spécifique.
  • Loi de Student : dépend de n, adaptée pour petits échantillons.
  • Approche paramétrique : hypothèses fortes mais puissantes.
  • Approche non-paramétrique : hypothèses faibles, moins puissant.
  • Étapes du test d’hypothèse : définir H0, choisir statistique, critère, conclusion.
  • Confidence interval : quantification de l’incertitude.
  • Asymptotiques : loi normale pour grandes tailles d’échantillons.

Ce résumé respecte l’ordre chronologique, synthétise l’essentiel pour l’examen, et est organisé pour une révision efficace.

Introduction à la statistique multivariée

Fiche de révision

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Fiche de révision : Analyse de données et distribution gaussienne multivariée

1. 📌 L'essentiel

  • La distribution gaussienne multivariée caractérise un vecteur aléatoire par sa moyenne μ et sa matrice de covariance Σ.
  • La densité gaussienne multivariée : $ f_X(x) \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^d |\Sigma|}} e^{-\frac{1}{2}(x - \mu)^T \Sigma^{-1} (x - \mu)} $.
  • La moyenne μ est le centre de la distribution, Σ indique la dispersion la corrélation entre variables.
  • Estimation par maximum de vraisemblance : $ \hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i $, $ \hat{\Sigma} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \hat{\mu})(x_i - \hat{\mu})^T $.
  • Le test d’hypothèse sur μ utilise la statistique Z : $ Z = \frac{\sqrt{n}}{\sigma} (\bar{X} - \mu_0) \sim N(0,1) $.
  • La distribution Khi-carré est utilisée pour tester la variance : $ V \sim \chi^2(n) $.
  • La loi de Student est adaptée pour tester la moyenne quand σ est inconnu : $ T \sim Student(n-1) $.
  • Le théorème central limite permet d’approcher la distribution de la moyenne par une normale pour grands échantillons.
  • Un intervalle de confiance pour μ : $ [\bar{X} - z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}] $.
  • La modélisation repose sur l’indépendance, la normalité, et la covariance positive définie.

2. 🧩 Structures & Composants clés

  • Espace probabiliste : (Ω, P, F) — cadre de modélisation.
  • Variable aléatoire : application mesurable, discrète ou continue.
  • Distribution gaussienne univariée : densité avec μ, σ.
  • Distribution gaussienne multivariée : densité avec μ, Σ.
  • Matrice de covariance Σ : symétrique, positive, définit la dispersion.
  • Estimation par MLE : calcule μ et Σ à partir des données.
  • Test d’hypothèse : vérification de μ ou σ via statistiques spécifiques.
  • Loi Khi-carré : pour la variance.
  • Loi de Student : pour la moyenne avec σ inconnu.
  • Théorème central limite : normalité asymptotique.

3. 🔬 Fonctions, Mécanismes & Relations

  • La densité multivariée dépend de μ (centre) et Σ (dispersion/corrélation).
  • Estimation par MLE : calcule la moyenne empirique et la covariance empirique.
  • Tests d’hypothèses : comparent la statistique calculée à une loi théorique (N, χ², Student).
  • La statistique Z standardise la différence entre moyenne échantillonnale et hypothèse.
  • La loi Khi-carré évalue la variance estimée par rapport à la vraie variance.
  • La loi de Student ajuste pour σ inconnu, surtout pour petits échantillons.
  • La normalité asymptotique permet d’utiliser des intervalles de confiance et tests paramétriques.
  • La covariance Σ influence la forme de la distribution, notamment l’orientation et la dispersion.

4. Tableau comparatif

ÉlémentCaractéristiques clésNotes / Différences
Loi Khi-carré$ V \sim \chi^2(n) $Test variance, asymptotique
Loi de Student$ T \sim Student(n-1) $Test moyenne, σ inconnu
Distribution normale$ f_X(x) $Paramètres μ, σ ou Σ
EstimationMoyenne : $ \hat{\mu} $, Covariance : $ \hat{\Sigma} $Méthode MLE efficace
Test d’hypothèseZ, T, VVérification paramètres

5. 🗂️ Diagramme hiérarchique

Analyse de données
 ├─ Modélisation probabiliste
 │    ├─ Espace Ω, P, F
 │    └─ Variables aléatoires
 ├─ Distribution gaussienne
 │    ├─ Univariée : μ, σ
 │    └─ Multivariée : μ, Σ
 ├─ Estimation
 │    ├─ Moyenne : (1/n) Σ xi
 │    └─ Covariance : (1/n) Σ (xi - μ)(xi - μ)^T
 └─ Tests d’hypothèses
      ├─ Moyenne : Z, T
      └─ Variance : Khi-carré

6. ⚠️ Pièges & Confusions fréquentes

  • Confondre la loi Khi-carré et la loi de Student.
  • Croire que Σ doit être diagonale : elle peut contenir des corrélations.
  • Utiliser la moyenne empirique pour σ sans ajustement si σ inconnu.
  • Confondre estimation ponctuelle et intervalle de confiance.
  • Oublier que la loi de Student dépend du degré de liberté.
  • Négliger l’indépendance entre variables dans la modélisation.
  • Confondre distribution univariée et multivariée.
  • Mal interpréter la covariance comme une corrélation (il faut la normaliser).

7. ✅ Checklist Examen Final

  • Définir une distribution gaussienne multivariée.
  • Expliquer la formule de la densité multivariée.
  • Savoir calculer μ̂ et Σ̂ par MLE.
  • Connaître la loi de référence pour le test de la moyenne (Z, T).
  • Savoir quand utiliser la loi Khi-carré.
  • Comprendre le rôle du théorème central limite.
  • Savoir construire un intervalle de confiance pour μ.
  • Différencier estimation et test.
  • Identifier les hypothèses sous-jacentes (normalité, indépendance).
  • Connaître la structure de la matrice Σ.
  • Savoir interpréter une courbe de densité gaussienne.
  • Maîtriser la hiérarchie des concepts (espaces, variables, lois).
  • Être capable de représenter l’organisation spatiale d’un vecteur gaussien.
  • Reconnaître la loi de Student et Khi-carré dans les tests.
  • Appliquer la formule de la statistique Z pour la moyenne.
  • Comprendre l’impact de la taille d’échantillon sur la normalité asymptotique.

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Quelle est la formule de la densité de la distribution gaussienne multivariée pour un vecteur x ?

fX(x) = (1/√((2π)^d det(Σ))) e^{−(1/2)(x−μ)^T Σ^{-1} (x−μ)}
fX(x) = (1/2^{n/2}Γ(n/2)) x^{n/2−1} e^{−x/2}
fX(x) = (1/σ√(2π)) e^{−(x−μ)²/(2σ²)}
fX(x) = (1/√(2π)) e^{−(x−μ)²/(2σ²)}

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Les différents types

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Structure axiale

45%
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Structure appendiculaire

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