Résumé synthétique du cours sur les propriétés des suites et des ensembles dans R

1. Propriétés de R : parties majorées, minorées, bornées

• Majorant : M ∈ R tel que ∀x ∈ A, x ≤ M. Formulation : ∃M, ∀x, x ≤ M.
• Minorant : m ∈ R tel que ∀x ∈ A, x ≥ m. Formulation : ∃m, ∀x, x ≥ m.
• Bornée : A est majorée et minorée. Equivaut à ∃M > 0, |x| ≤ M ∀x ∈ A.
• Partie non majorée : ∀M, ∃x ∈ A, x > M. Idem pour la minorée.
• Exemples :
  • [0, +∞[ : minorée par 0, pas majorée.
  • [0, 1[ : bornée.
  • R : ni majorée ni minorée.

2. Plus grand / plus petit élément

• Plus grand élément (si existe) : M ∈ A, ∀x ∈ A, x ≤ M.
• Plus petit élément : m ∈ A, ∀x ∈ A, x ≥ m.
• Unicité : si existe, est unique.
• Exemples :
  • [0,1] : plus petit = 0, plus grand = 1.
  • Ensemble fini : possède un plus grand et un plus petit.

3. Bornes supérieures et inférieures

• Borne supérieure (sup A) : plus petit majorant de A.
• Borne inférieure (inf A) : plus grand minorant de A.
• Existence :
  • Si A majorée, sup A existe (Proposition 1.1.8).
  • Si A minorée, inf A existe.
• Exemples :
  • [0,1] : sup = 1, inf = 0.
  • [0,1[ : sup = 1, inf = 0.
• Caractérisation :
  • M = sup A ⇔ ∀x ∈ A, x ≤ M et ∀ε > 0, ∃x ∈ A, x > M−ε.

4. Suites numériques

• Définitions :
  • Suite (un)n∈N : application N → R.
  • Bornée : ∃M, |un| ≤ M ∀n.
  • Majorée / minorée : ∃M, un ≤ M / ∃m, un ≥ m.
  • Monotone : croissante ou décroissante.
  • Strictement monotone : strictement croissante ou décroissante.
  • Stationnaire : ∃a, ∀n ≥ N, un = a.

5. Limites de suites

• Convergence : (un) → l si ∀ε > 0, ∃N, ∀n ≥ N, |un − l| ≤ ε.
• Unicité : limite si elle existe, est unique.
• Exemples :
  • (a) constant : lim un = a.
  • (b) 1/n : lim un = 0.
  • (c) (-1)^n : pas limite, oscillation.
  • (d) (E(nx))/n : lim = x.
• Suites bornées convergentes : toute suite convergente est bornée (Proposition 2.2.4).
• Convergence et opérations :
  • Somme, produit, quotient (si lim vn ≠ 0) conservent la limite.
  • Limite de |un| = |l| si (un) → l.
  • Limite de √un = √l si un ≥ 0 et (un) → l ≥ 0.
• Suite de limite infinie :
  • lim un = +∞ si, ∀A, ∃N, n ≥ N, un ≥ A.
  • Limites infinies : si un → +∞ ou −∞, alors la suite est non bornée dans le sens opposé.

6. Suites monotones

• Théorème 2.3.12 :
  • Suite croissante bornée : limite finie, égale à sup A.
  • Suite croissante non bornée : limite = +∞.
• Suite décroissante : limite = inf A si bornée, sinon −∞.
• Suites adjacentes :
  • (un), (vn) croissantes/décroissantes, lim (vn − un) = 0 ⇒ elles convergent vers le même l.
• Suite non bornée :
  • Existe φ strictement croissante avec lim unφ(n) = +∞ ou −∞ (Propositions 2.5.6 et 2.5.7).

7. Valeurs d’adhérence

• Définition : l est valeur d’adhérence si ∃ φ strictement croissante, lim unφ(n) = l.
• Propriétés :
  • Si (un) converge, limite = seule valeur d’adhérence.
  • Si (un) ne converge pas, il peut avoir plusieurs valeurs d’adhérence.
  • Exemple : (−1)^n a deux valeurs d’adhérence : −1 et 1.
  • Suite bornée a limite unique si et seulement si elle a une seule valeur d’adhérence (Théorème 2.5.12).

8. Suites extraites

• Définition : sous-suite (uφ(n)) avec φ strictement croissante.
• Convergence des sous-suites :
  • Si (un) → l, alors toute sous-suite converge vers l.
  • Si (un) → +∞ ou −∞, alors toute sous-suite converge vers +∞ ou −∞.
  • Si (un) ne converge pas, on peut extraire une sous-suite qui tend vers +∞, −∞, ou une valeur d’adhérence.

9. Relations de comparaison

• Notations :
  • un = O(vn) : ∃N, C > 0, ∀n ≥ N, |un| ≤ C vn.
  • un = o(vn) : ∀ε > 0, ∃N, ∀n ≥ N, |un| ≤ ε vn.
  • (un) et (vn) sont équivalentes (un ∼ vn) si ∃ suite (wn) avec lim wn = 1, telle que un = vn wn.
• Propriétés :
  • Si lim vn ≠ 0, alors un ∼ vn si et seulement si lim un = lim vn.
  • Si lim un = 0, alors un = o(vn) si et seulement si lim un / vn = 0.

10. Suites de croissance comparée

• Propositions :
  • lim a^n / n^α = +∞ si a > 1.
  • lim n^α / (ln n)^β = +∞.
• Exemple : suite un = (2^n− n^5 + (−1)^n) / (n^8 + cos n) tend vers +∞ (Proposition 2.3.10).

11. Théorème de Bolzano-Weierstrass

• Toute suite bornée possède une sous-suite convergente (Proposition 2.5.8).

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Ce résumé reprend l’ordre chronologique du cours, en synthétisant les concepts clés, définitions, propriétés essentielles, exemples et résultats fondamentaux pour la révision et la préparation aux examens.