Résumé synthétique des équations différentielles linéaires

1. Vue d'ensemble

Les équations différentielles linéaires décrivent des relations entre une fonction et ses dérivées, avec coefficients constants ou variables. Elles se situent en analyse, notamment en modélisation physique et en ingénierie. La résolution repose sur la recherche de solutions générales, particulières, et l'étude de leur structure. Les principaux outils abordés incluent la méthode de Lagrange, le théorème de Cauchy, la variation de la constante, la superposition, et le prolongement des solutions. La distinction entre équations du premier ordre, du second ordre, homogènes et non homogènes est fondamentale.

2. Concepts clés & Éléments essentiels

Équation du premier ordre : y′ + ay = b, avec a, b continues
Solution générale : y(x) = solution particulière + solution de l’homogène
Méthode de Lagrange : intégration factorielle eA(x), avec A primitive de a
Solution particulière : déterminée par la forme du second membre g(x)
Théorème de Cauchy : existence et unicité pour y′ + ay = b avec condition initiale
Solution homogène : y′ + ay = 0, solutions de la forme C·f0(x)
Principe de superposition : solutions de y′ + ay = b1 + b2 sont combinaisons linéaires de solutions particulières
Prolongement : solutions sur un intervalle peuvent s’étendre sous conditions de dérivabilité
Équations du second ordre : ay′′ + by′ + cy = g(x), avec solution générale = solution homogène + particulière
Équation caractéristique : az² + bz + c = 0, détermine la forme de solutions
Cas discriminant :
- Δ > 0 : deux racines réelles distinctes
- Δ = 0 : racine double
- Δ < 0 : racines complexes conjuguées
Solutions réelles : formes exponentielles ou trigonométriques selon les racines
Solutions particulières : formes adaptées selon le second membre (exponentiel, trigonométrique, polynomiale)

3. Points à Haut Rendement

Solution de y′ + ay = b : y(x) = Ce−A(x) + e−A(x)∫ₓ₀ˣ b(t)eA(t) dt, avec A primitive de a
Solution homogène : y(x) = C·f0(x), où f0 ≠ 0 est une solution particulière
Existence/Unicité : garantie par le théorème de Cauchy
Solution générale : y(x) = y_h(x) + y_p(x)
Second ordre : solutions de ay′′ + by′ + cy = 0 : dépend du discriminant Δ
Cas Δ > 0 : solutions réelles exponentielles
Cas Δ = 0 : solutions avec terme polynômial x·eλx
Cas Δ < 0 : solutions trigonométriques modifiées par exponentielle
Solution particulière pour g(x) = Aeλx : B·eλx ou B·x·eλx selon racines
Principe de superposition : solutions particulières pour différentes sources g1, g2 s’additionnent linéairement

4. Tableau de synthèse

Concept	Points Clés	Notes
Solution générale 1er ordre	y(x) = Ce−A(x) + e−A(x)∫ b(t)eA(t) dt	A primitive de a
Solution homogène 1er ordre	y(x) = C·f0(x)	f0 solution particulière de y′ + ay = 0
Théorème de Cauchy	Existence et unicité conditionnée	Solution unique pour y(x₀) = y₀
Solution 2nd ordre	y(x) = y_h(x) + y_p(x)	y_h solution homogène, y_p particulière
Racines distinctes	Solutions exponentielles	r1, r2 racines de l’équation caractéristique
Racine double	Solutions de la forme x·eλx	λ racine double
Racines complexes	Solutions trigonométriques	e^{ux} (α cos vx + β sin vx)
Solution particulière	Forme adaptée à g(x)	exponentielle, trigonométrique, polynomiale

5. Mini-Schéma (ASCII)

Équation linéaire
 ├─ Premier ordre
 │   ├─ Solution générale : y = Ce−A(x) + intégrale
 │   └─ Méthode : facteur intégrant eA(x)
 └─ Second ordre
     ├─ Homogène : racines de l’équation caractéristique
     │   ├─ Δ > 0 : exponentielles réelles
     │   ├─ Δ = 0 : x·eλx
     │   └─ Δ < 0 : trigonométriques modifiées
     └─ Particulière : formes selon g(x)

6. Bullets de Révision Rapide

Solution de y′ + ay = b : y = Ce−A(x) + e−A(x)∫ b(t)eA(t) dt
Solution homogène : y = C·f0(x), f0 ≠ 0
Théorème de Cauchy : existence et unicité avec condition initiale
Équation du second ordre : dépend du discriminant Δ
Racines réelles distinctes : solutions exponentielles
Racine double : solutions en x·eλx
Racines complexes : solutions trigonométriques avec e^{ux}
Solution particulière pour g(x) = Aeλx : B·eλx ou B·x·eλx
Principe de superposition : solutions pour différentes sources s’additionnent
Solutions prolongées : conditions de dérivabilité en points limites
Forme générale : somme d’une solution particulière + homogène
Résolution par la méthode de variation de la constante
Solutions réelles selon le discriminant Δ
Solutions pour second membre trigonométrique : formes cosinus et sinus
Unicité garantie par le théorème de Cauchy dans des conditions continues

Ce résumé respecte l’ordre chronologique du cours, synthétise l’essentiel pour l’examen, et utilise un format organisé pour une mémorisation efficace.

Fiche de révision : Équations différentielles linéaires

1. 📌 L'essentiel

Équations différentielles linéaires : relations entre une fonction et ses dérivées, coefficients constants ou variables.
Solution générale : somme d’une solution particulière et d’une solution homogène.
Théorème de Cauchy : existence et unicité sous condition initiale.
Méthode de Lagrange : intégrationielle e^{A(x)}, A primitive de a.
Solution homogène : y_h(x) = C·f0(x), avec f0 solution y′ + ay = 0.
Solution particulière : forme adaptée selon g(x) (exponentielle, trigonométrique, polynomiale).
Équation du second ordre : dépend du discriminant Δ (positif, nul, négatif).
Racines de l’équation caractéristique : déterminent la forme de la solution.
Principe de superposition : solutions pour différentes sources s’additionnent.
Prolongement des solutions : extension sous conditions de dérivabilité.
Résolution par variation de la constante pour second ordre.

2. 🧩 Structures & Composants clés

Équation du premier ordre — y′ + ay = b : relation linéaire avec coefficients continus.
Solution générale — y(x) = solution particulière + solution homogène.
Intégration factorielle — e^{A(x)} : facilite la résolution.
Solution homogène — y_h(x) = C·f0(x) : solution de y′ + ay = 0.
Équation caractéristique — az² + bz + c = 0 : détermine la nature des solutions.
Racines de l’équation — réelles distinctes, double, ou complexes.
Solution particulière — forme adaptée à g(x) (exponentielle, trigonométrique, polynomiale).
Discriminant Δ — influence la nature des racines.
Solutions pour Δ > 0 — exponentielles réelles.
Solutions pour Δ = 0 — x·e^{λx}.
Solutions pour Δ < 0 — formes trigonométriques modifiées.
Principe de superposition — solutions linéairement combinables.

3. 🔬 Fonctions, Mécanismes & Relations

La solution générale : y(x) = y_h(x) + y_p(x).
La méthode de Lagrange : intégration factorielle e^{A(x)} avec A′(x) = a(x).
La solution homogène : résout y′ + ay = 0, solutions exponentielles ou trigonométriques.
La solution particulière : forme dépend du second membre g(x).
Racines distinctes : solutions exponentielles e^{r_i x}.
Racine double : solution en x·e^{λx}.
Racines complexes : solutions en formes cosinus/sinus modifiées par exponentielle.
La résolution du second ordre : dépend du discriminant Δ.
La superposition : solutions particulières pour différentes g(x) s’additionnent.
Le prolongement : solutions prolongées sous conditions de dérivabilité.
La relation cause-effet : racines déterminent la forme de la solution.
La hiérarchie : solution homogène + particulière.

4. Tableau comparatif

Élément	Caractéristiques clés	Notes / Différences
Solution 1er ordre homogène	y_h(x) = C·e^{−∫a(x)dx}	Solution exponentielle selon a(x)
Solution 1er ordre particulière	Forme selon g(x) (exponentielle, polynomiale, trigonométrique)	Dépend du second membre g(x)
Théorème de Cauchy	Existence et unicité garanties sous condition initiale	Condition initiale y(x₀)=y₀
Solution 2nd ordre homogène	racines de az² + bz + c = 0 : Δ > 0, = 0, < 0	Détermine la forme générale de y_h
Racines Δ > 0	solutions exponentielles réelles	r1, r2 racines distinctes
Racine Δ = 0	solution en x·e^{λx}	racine double
Racines Δ < 0	solutions trigonométriques (cos, sin) modifiées par exponentielle	racines complexes conjugées
Solution particulière g(x)	forme adaptée : exponentielle, trigonométrique, polynomiale	selon la nature de g(x)

5. Diagramme hiérarchique ASCII

Équations différentielles linéaires
 ├─ Premier ordre
 │   ├─ Solution générale : y = solution particulière + homogène
 │   └─ Méthode : facteur intégrant e^{A(x)}
 └─ Second ordre
     ├─ Solution homogène : racines de l’équation caractéristique
     │   ├─ Δ > 0 : exponentielles réelles
     │   ├─ Δ = 0 : x·e^{λx}
     │   └─ Δ < 0 : trigonométriques
     └─ Solution particulière : formes selon g(x)

6. ⚠️ Pièges & Confusions fréquentes

Confondre solution homogène et particulière.
Négliger la condition initiale pour l’unicité.
Mal identifier la nature des racines Δ.
Utiliser la mauvaise forme pour y_p selon g(x).
Confondre racines réelles et complexes.
Oublier le facteur intégrant dans la méthode de Lagrange.
Négliger la prolongation de solutions en dehors de l’intervalle.
Confondre solutions du second ordre selon Δ.

7. ✅ Checklist Examen Final

Savoir écrire la solution générale d’une équation du premier ordre.
Maîtriser la méthode du facteur intégrant.
Identifier la nature des racines de l’équation caractéristique.
Déterminer la forme de y_h selon Δ.
Construire une solution particulière adaptée à g(x).
Appliquer le théorème de Cauchy pour garantir l’unicité.
Résoudre une équation du second ordre en fonction de Δ.
Reconnaître solutions exponentielles, polynomiales ou trigonométriques.
Utiliser la superposition pour solutions non homogènes.
Prolonger une solution sous conditions de dérivabilité.
Différencier solution homogène et particulière.
Résoudre par variation de la constante.
Vérifier la conformité de la solution avec la condition initiale.
Identifier la forme de solution selon le second membre.
Connaître la structure de l’équation caractéristique.
Être capable de représenter la hiérarchie des solutions.

Résumé synthétique des équations différentielles linéaires

1. Vue d'ensemble

2. Concepts clés & Éléments essentiels

Équation du premier ordre : y′ + ay = b, avec a, b continues
Solution générale : y(x) = solution particulière + solution de l’homogène
Méthode de Lagrange : intégration factorielle eA(x), avec A primitive de a
Solution particulière : déterminée par la forme du second membre g(x)
Théorème de Cauchy : existence et unicité pour y′ + ay = b avec condition initiale
Solution homogène : y′ + ay = 0, solutions de la forme C·f0(x)
Principe de superposition : solutions de y′ + ay = b1 + b2 sont combinaisons linéaires de solutions particulières
Prolongement : solutions sur un intervalle peuvent s’étendre sous conditions de dérivabilité
Équations du second ordre : ay′′ + by′ + cy = g(x), avec solution générale = solution homogène + particulière
Équation caractéristique : az² + bz + c = 0, détermine la forme de solutions
Cas discriminant :
- Δ > 0 : deux racines réelles distinctes
- Δ = 0 : racine double
- Δ < 0 : racines complexes conjuguées
Solutions réelles : formes exponentielles ou trigonométriques selon les racines
Solutions particulières : formes adaptées selon le second membre (exponentiel, trigonométrique, polynomiale)

3. Points à Haut Rendement

Solution de y′ + ay = b : y(x) = Ce−A(x) + e−A(x)∫ₓ₀ˣ b(t)eA(t) dt, avec A primitive de a
Solution homogène : y(x) = C·f0(x), où f0 ≠ 0 est une solution particulière
Existence/Unicité : garantie par le théorème de Cauchy
Solution générale : y(x) = y_h(x) + y_p(x)
Second ordre : solutions de ay′′ + by′ + cy = 0 : dépend du discriminant Δ
Cas Δ > 0 : solutions réelles exponentielles
Cas Δ = 0 : solutions avec terme polynômial x·eλx
Cas Δ < 0 : solutions trigonométriques modifiées par exponentielle
Solution particulière pour g(x) = Aeλx : B·eλx ou B·x·eλx selon racines
Principe de superposition : solutions particulières pour différentes sources g1, g2 s’additionnent linéairement

4. Tableau de synthèse

Concept	Points Clés	Notes
Solution générale 1er ordre	y(x) = Ce−A(x) + e−A(x)∫ b(t)eA(t) dt	A primitive de a
Solution homogène 1er ordre	y(x) = C·f0(x)	f0 solution particulière de y′ + ay = 0
Théorème de Cauchy	Existence et unicité conditionnée	Solution unique pour y(x₀) = y₀
Solution 2nd ordre	y(x) = y_h(x) + y_p(x)	y_h solution homogène, y_p particulière
Racines distinctes	Solutions exponentielles	r1, r2 racines de l’équation caractéristique
Racine double	Solutions de la forme x·eλx	λ racine double
Racines complexes	Solutions trigonométriques	e^{ux} (α cos vx + β sin vx)
Solution particulière	Forme adaptée à g(x)	exponentielle, trigonométrique, polynomiale

5. Mini-Schéma (ASCII)

Équation linéaire
 ├─ Premier ordre
 │   ├─ Solution générale : y = Ce−A(x) + intégrale
 │   └─ Méthode : facteur intégrant eA(x)
 └─ Second ordre
     ├─ Homogène : racines de l’équation caractéristique
     │   ├─ Δ > 0 : exponentielles réelles
     │   ├─ Δ = 0 : x·eλx
     │   └─ Δ < 0 : trigonométriques modifiées
     └─ Particulière : formes selon g(x)

6. Bullets de Révision Rapide

Solution de y′ + ay = b : y = Ce−A(x) + e−A(x)∫ b(t)eA(t) dt
Solution homogène : y = C·f0(x), f0 ≠ 0
Théorème de Cauchy : existence et unicité avec condition initiale
Équation du second ordre : dépend du discriminant Δ
Racines réelles distinctes : solutions exponentielles
Racine double : solutions en x·eλx
Racines complexes : solutions trigonométriques avec e^{ux}
Solution particulière pour g(x) = Aeλx : B·eλx ou B·x·eλx
Principe de superposition : solutions pour différentes sources s’additionnent
Solutions prolongées : conditions de dérivabilité en points limites
Forme générale : somme d’une solution particulière + homogène
Résolution par la méthode de variation de la constante
Solutions réelles selon le discriminant Δ
Solutions pour second membre trigonométrique : formes cosinus et sinus
Unicité garantie par le théorème de Cauchy dans des conditions continues

Ce résumé respecte l’ordre chronologique du cours, synthétise l’essentiel pour l’examen, et utilise un format organisé pour une mémorisation efficace.

Fiche de révision : Équations différentielles linéaires

1. 📌 L'essentiel

Équations différentielles linéaires : relations entre une fonction et ses dérivées, coefficients constants ou variables.
Solution générale : somme d’une solution particulière et d’une solution homogène.
Théorème de Cauchy : existence et unicité sous condition initiale.
Méthode de Lagrange : intégrationielle e^{A(x)}, A primitive de a.
Solution homogène : y_h(x) = C·f0(x), avec f0 solution y′ + ay = 0.
Solution particulière : forme adaptée selon g(x) (exponentielle, trigonométrique, polynomiale).
Équation du second ordre : dépend du discriminant Δ (positif, nul, négatif).
Racines de l’équation caractéristique : déterminent la forme de la solution.
Principe de superposition : solutions pour différentes sources s’additionnent.
Prolongement des solutions : extension sous conditions de dérivabilité.
Résolution par variation de la constante pour second ordre.

2. 🧩 Structures & Composants clés

Équation du premier ordre — y′ + ay = b : relation linéaire avec coefficients continus.
Solution générale — y(x) = solution particulière + solution homogène.
Intégration factorielle — e^{A(x)} : facilite la résolution.
Solution homogène — y_h(x) = C·f0(x) : solution de y′ + ay = 0.
Équation caractéristique — az² + bz + c = 0 : détermine la nature des solutions.
Racines de l’équation — réelles distinctes, double, ou complexes.
Solution particulière — forme adaptée à g(x) (exponentielle, trigonométrique, polynomiale).
Discriminant Δ — influence la nature des racines.
Solutions pour Δ > 0 — exponentielles réelles.
Solutions pour Δ = 0 — x·e^{λx}.
Solutions pour Δ < 0 — formes trigonométriques modifiées.
Principe de superposition — solutions linéairement combinables.

3. 🔬 Fonctions, Mécanismes & Relations

La solution générale : y(x) = y_h(x) + y_p(x).
La méthode de Lagrange : intégration factorielle e^{A(x)} avec A′(x) = a(x).
La solution homogène : résout y′ + ay = 0, solutions exponentielles ou trigonométriques.
La solution particulière : forme dépend du second membre g(x).
Racines distinctes : solutions exponentielles e^{r_i x}.
Racine double : solution en x·e^{λx}.
Racines complexes : solutions en formes cosinus/sinus modifiées par exponentielle.
La résolution du second ordre : dépend du discriminant Δ.
La superposition : solutions particulières pour différentes g(x) s’additionnent.
Le prolongement : solutions prolongées sous conditions de dérivabilité.
La relation cause-effet : racines déterminent la forme de la solution.
La hiérarchie : solution homogène + particulière.

4. Tableau comparatif

Élément	Caractéristiques clés	Notes / Différences
Solution 1er ordre homogène	y_h(x) = C·e^{−∫a(x)dx}	Solution exponentielle selon a(x)
Solution 1er ordre particulière	Forme selon g(x) (exponentielle, polynomiale, trigonométrique)	Dépend du second membre g(x)
Théorème de Cauchy	Existence et unicité garanties sous condition initiale	Condition initiale y(x₀)=y₀
Solution 2nd ordre homogène	racines de az² + bz + c = 0 : Δ > 0, = 0, < 0	Détermine la forme générale de y_h
Racines Δ > 0	solutions exponentielles réelles	r1, r2 racines distinctes
Racine Δ = 0	solution en x·e^{λx}	racine double
Racines Δ < 0	solutions trigonométriques (cos, sin) modifiées par exponentielle	racines complexes conjugées
Solution particulière g(x)	forme adaptée : exponentielle, trigonométrique, polynomiale	selon la nature de g(x)

5. Diagramme hiérarchique ASCII

Équations différentielles linéaires
 ├─ Premier ordre
 │   ├─ Solution générale : y = solution particulière + homogène
 │   └─ Méthode : facteur intégrant e^{A(x)}
 └─ Second ordre
     ├─ Solution homogène : racines de l’équation caractéristique
     │   ├─ Δ > 0 : exponentielles réelles
     │   ├─ Δ = 0 : x·e^{λx}
     │   └─ Δ < 0 : trigonométriques
     └─ Solution particulière : formes selon g(x)

6. ⚠️ Pièges & Confusions fréquentes

Confondre solution homogène et particulière.
Négliger la condition initiale pour l’unicité.
Mal identifier la nature des racines Δ.
Utiliser la mauvaise forme pour y_p selon g(x).
Confondre racines réelles et complexes.
Oublier le facteur intégrant dans la méthode de Lagrange.
Négliger la prolongation de solutions en dehors de l’intervalle.
Confondre solutions du second ordre selon Δ.

7. ✅ Checklist Examen Final

Savoir écrire la solution générale d’une équation du premier ordre.
Maîtriser la méthode du facteur intégrant.
Identifier la nature des racines de l’équation caractéristique.
Déterminer la forme de y_h selon Δ.
Construire une solution particulière adaptée à g(x).
Appliquer le théorème de Cauchy pour garantir l’unicité.
Résoudre une équation du second ordre en fonction de Δ.
Reconnaître solutions exponentielles, polynomiales ou trigonométriques.
Utiliser la superposition pour solutions non homogènes.
Prolonger une solution sous conditions de dérivabilité.
Différencier solution homogène et particulière.
Résoudre par variation de la constante.
Vérifier la conformité de la solution avec la condition initiale.
Identifier la forme de solution selon le second membre.
Connaître la structure de l’équation caractéristique.
Être capable de représenter la hiérarchie des solutions.

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7. ✅ Checklist Examen Final

Introduction aux équations différentielles linéaires

Introduction aux équations différentielles linéaires

Quelle est la forme générale de la solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre y′ + ay = b ?

Introduction aux équations différentielles linéaires

Progression globale

Détail par thème

Introduction au système

Les différents types

Structure axiale

Structure appendiculaire

Suivi de progression par thème

Introduction aux équations différentielles linéaires

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2. 🧩 Structures & Composants clés

3. 🔬 Fonctions, Mécanismes & Relations

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6. ⚠️ Pièges & Confusions fréquentes

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Introduction au système

Les différents types

Structure axiale

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