Synthèse rapide

• La statistique traite de la collecte, l’analyse, l’interprétation et la représentation des données.
• La différence principale entre statistique descriptive et inférentielle.
• Les lois de probabilités, notamment la loi normale et la loi normale centrée réduite, essentielles pour l’estimation et l’intervalle de confiance.
• L’importance de l’échantillonnage pour réduire les coûts et le temps tout en garantissant la représentativité.
• La loi de Student adaptée pour les petites tailles d’échantillons ou lorsque la variance de la population est inconnue.

Concepts et définitions

• Variable : caractéristique mesurable d’un individu, pouvant être quantitative (numérique) ou qualitative (catégorielle).
• Individu/observation : unité étudiée (personne, objet, pays…).
• Population : ensemble complet d’individus ou d’observations.
• Échantillon : sous-ensemble représentatif de la population.
• Estimateur : règle ou formule utilisée pour estimer un paramètre de la population à partir de l’échantillon.

Formules, lois, principes

• Moyenne d’échantillon : $$ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $$
• Variance d’échantillon : $$ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 $$
• Écart-type d’échantillon : $$ s = \sqrt{s^2} $$
• Loi normale : distribution continue en forme de cloche, paramétrée par la moyenne $ \mu $ et l’écart-type $ \sigma $.
• Loi normale centrée réduite : $$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1) $$
• La règle empirique pour la loi normale : environ 68% des observations dans $ \pm 1\sigma $, 95% dans $ \pm 2\sigma $, 99.7% dans $ \pm 3\sigma $.

Méthodes et procédures

1. Définir clairement la population ciblée.
2. Choisir ou déterminer la taille de l’échantillon $ n $, en s’assurant que celui-ci est représentatif.
3. Sélectionner la méthode d’échantillonnage (aléatoire simple, stratifié, en grappes…).
4. Recueillir les données de manière rigoureuse.
5. Calculer la moyenne, la variance, et l’écart-type de l’échantillon.
6. Vérifier l’adéquation avec la loi normale si nécessaire (tests de normalité).
7. Estimer le paramètre de la population et construire des intervalles de confiance.
8. À partir des estimations, réaliser des tests d’hypothèses si besoin.

Exemples illustratifs

• Distribution des poids d’un lot de bocaux en conserves, suivant une loi normale $ N(250, 7.5) $, puis l’estimation de la proportion de bocaux pesant moins de 248 g.
• Analyse des prélèvements d’achats pour déterminer le montant moyen et son intervalle de confiance.
• Évaluation du risque que la charge totale de passagers dans une cabine dépasse la limite autorisée à partir de la moyenne et de l’écart-type de leurs poids.

Pièges et points d'attention

• Confusion entre moyenne d’échantillon et de la population.
• Mal interpréter la signification des paramètres $ \mu $ et $ \sigma $.
• Utiliser la loi de Student inappropriée si la taille de l’échantillon est grande ou si la variance est connue.
• Négliger la variabilité intrinsèque des données.
• Sous-estimer l’importance de la représentativité dans l’échantillonnage.
• Confondre intervalle de confiance et intervalle de prédiction.
• Application incorrecte de la règle empirique si la distribution n’est pas normale.

Glossaire

• Variable : caractéristique mesurable.
• Echantillon : sous-ensemble sélectionné de la population.
• Estimateur : formule utilisée pour faire une estimation.
• Lois de probabilité : règles mathématiques décrivant la distribution des variables aléatoires.
• Loi normale : distribution symétrique en forme de cloche.
• Loi de Student : distribution utilisée pour estimer la moyenne lorsque l’échantillon est petit ou la variance inconnue.
• Intervalle de confiance : plage dans laquelle le paramètre de la population se trouve avec une probabilité donnée.
• Erreur type : écart-type de la distribution de l’estimation.
• Variance : mesure de la dispersion des données.