📌 L'essentiel
- La fonction affine est de la forme $f(x) = ax + b$.
- Le signe de $ax + b$ dépend de $a$, $b$ et de la valeur de $x$ par rapport à la racine $x = -\frac{b}{a}$.
- La droite de la fonction est décroissante si $a < 0$ et croissante si $a > 0$.
- Le tableau de signe permet d’identifier où la fonction est positive, négative ou nulle.
- La résolution d’inéquations implique l’analyse du signe de la fonction sur différents intervalles.
- La représentation graphique illustre le comportement de la fonction et facilite la lecture des solutions.
- Pour résoudre $ax + b = 0$, on calcule $x = -\frac{b}{a}$.
- Lorsqu’on répond à une inéquation, on indique les intervalles où la fonction respecte le signe demandé.
- La dérivée d’une fonction affine étant constante, la concavité ne varie pas ; l’étude du signe de $a$ suffit.
- La compréhension des intervalles et notation est essentielle pour analyser précisément le comportement.
📖 Concepts clés
Fonction affine : Fonction de la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ est le coefficient directeur et $b$ l’ordonnée à l’origine.
Signe de $ax + b$ : Dépend de $a$ et de la position de $x$ par rapport à la racine $x = -\frac{b}{a}$ ; détermine la positivité ou négativité de la fonction.
Tableau de signe : Représentation visuelle du signe de la fonction selon les intervalles délimités par sa racine.
Intervalles : Segments de la droite réelle, outils pour décrire l’ensemble des solutions d’une inéquation.
Sens de variation : La fonction est croissante si $a > 0$, décroissante si $a < 0$.
Point d’annulation : $x = -\frac{b}{a}$, où la fonction s’annule.
Courbe représentative : La droite qui montre graphiquement la fonction.
Résolution graphique : Processus consistant à utiliser la représentation graphique pour répondre aux questions.
Résolution analytique : Mise en équation et calcul pour trouver l’ensemble solution.
Racine : La valeur de $x$ qui annule la fonction, solution de $ax + b = 0$.
📐 Formules et lois
Fonction affine : $$f(x) = ax + b$$
Signe de $ax + b$ :
- Si $a > 0$, $ax + b$ est négatif à gauche de $x = -\frac{b}{a}$, positif à droite.
- Si $a < 0$, $ax + b$ est positif à gauche de $x = -\frac{b}{a}$, négatif à droite.
Résolution de $ax + b = 0$ : $$x = -\frac{b}{a}$$
Tableau de signe :
- Si $a > 0$ :
| $x$ | $-\infty$ | \multicolumn{1}{c|}{$-\frac{b}{a}$} | $+\infty$ |
|------|------------|------------------------------|-----------|
| Sign | - | 0 | + |
- Si $a < 0$ :
| $x$ | $-\infty$ | \multicolumn{1}{c|}{$-\frac{b}{a}$} | $+\infty$ |
|------|------------|------------------------------|-----------|
| Sign | + | 0 | - |
🔍 Méthodes
- Identifier $a$, $b$ dans $f(x) = ax + b$.
- Calculer la racine $x_0 = -\frac{b}{a}$.
- Déterminer le signe de $ax + b$ en analysant la position de $x$ par rapport à $x_0$.
- Construire le tableau de signe en fonction de $a$.
- Résoudre l’inéquation selon le signe voulu ($>$, $\geq$, $<$, $\leq$).
- Vérifier si la solution inclut la racine pour inéquations avec $\geq$, $\leq$.
- Représenter graphiquement pour confirmer.
💡 Exemples
- Résoudre $f(x) = -2x + 3 \geq 0$ :
- Racine en $x = \frac{3}{2}$.
- La fonction décroissante, négative à gauche, positive à droite de $\frac{3}{2}$.
- Solution : $x \leq \frac{3}{2}$.
- Résoudre $f(x) = 4x - 2 \geq 0$ :
- Racine en $x = \frac{1}{2}$.
- Fonction croissante, positive à droite de $\frac{1}{2}$.
- Solution : $x \geq \frac{1}{2}$.
- Tracer $f(x) = x + 5$ :
- Croissante, zéro en $x = -5$, solutions $x \geq -5$.
⚠️ Pièges
- Confondre le signe de la fonction et celui du coefficient $a$.
- Oublier que le signe change à la racine $x = -\frac{b}{a}$.
- Confondre solutions incluses ou non selon $\geq$, $>$, $\leq$, $<$.
- Négliger la construction précise du tableau de signe.
- Interpréter incorrectement la position de la racine dans l’analyse.
📊 Synthèse comparative
| Propriété | Croissante ($a > 0$) | Décroissante ($a < 0$) |
|---|
| Signe à gauche de la racine | Négatif | Positif |
| Signe à droite de la racine | Positif | Négatif |
| Solution de $f(x) \geq 0$ | $x \geq -\frac{b}{a}$ | $x \leq -\frac{b}{a}$ |
✅ Checklist examen
- Maîtriser la formule $f(x) = ax + b$ et sa signification.
- Savoir déterminer la racine $x = -b/a$.
- Construire le tableau de signe selon $a$.
- Résoudre analytiquement et graphiquement les inéquations.
- Identifier les intervalles solution.
- Vérifier la cohérence entre graphique et analyse.
- Connaître l’impact du signe de $a$ sur la variation de la fonction.