Synthèse rapide

• La courbe d'une équation à deux inconnues est l'ensemble des points solution (x, y).
• La résolution graphique consiste à tracer deux courbes et repérer leurs intersections.
• Les solutions d'une équation ou inéquation se déterminent via leurs courbes représentatives.
• La réunion d'intervalles est utilisée pour représenter des solutions constructives.
• La résolution graphique est un outil visuel pour anticiper solutions et plages de solutions.
• La distinction entre solutions d'égalités et d'inégalités est essentielle (sous/sur la courbe).

Concepts et définitions

• Équation d'une courbe : ensemble des points (x, y) vérifiant l'équation.
• Solution graphique : point(s) d'intersection de deux courbes.
• Inéquation : condition où une courbe est située au-dessus ou en dessous d'une autre.
• Réunion d'intervalles : union de plusieurs intervalles, notée avec le symbole ∪.

Formules, lois, principes

• Solutions de $f(x) = g(x)$ : abscisses des intersections de $y=f(x)$ et $y=g(x)$.
• Solutions de $f(x) < g(x)$ : abscisses des points de $y=f(x)$ sous $y=g(x)$.
• Solutions de $f(x) > g(x)$ : abscisses des points de $y=f(x)$ au-dessus de $y=g(x)$.
• Intersection des courbes : points où $y=f(x)$ et $y=g(x)$ se croisent.
• Réunion d'intervalles pour $f(x) \leq g(x)$ ou $f(x) \geq g(x)$ : union des intervalles où la courbe est en dessous ou au-dessus de l'autre.

Méthodes et procédures

1. Tracer les courbes correspondant aux deux équations $y=f(x)$ et $y=g(x)$.
2. Chercher leurs points d’intersection pour résoudre $f(x)=g(x)$.
3. Identifier, en regardant le graphique, les plages correspondant à $f(x)<g(x)$ ou $f(x)>g(x)$.
4. Noter les abscisses des points clés (intersections, points où la courbe coupe l'axe x).
5. Construire la solution à l'aide des intervalles (pour inéquations).

Exemples illustratifs

• Intersection de $y=x^2$ et $y=x+2$ : solutions approximatives autour de $x=-1$ et $x=2$.
• Résolution graphique de $x^2 < x+2$ : solutions dans l’intervalle $]-1; 2[$.
• Résolution graphique de $x^2 \geq x+2$ : solutions dans $]-\infty; -1]\cup [2; +\infty[$.

Pièges et points d'attention

• Confusion entre solutions d'une équation (points d’intersection) et solutions d'une inéquation (zones du graphique).
• Négliger les valeurs approchées ou oublier certaines solutions.
• Confondre la réunion d’intervalles avec leur intersection.
• Mal repérer le positionnement des courbes (au-dessus, en dessous).
• Attention aux bornes ouvertes ou fermées selon la nature de l’inégalité.

Glossaire

• Courbe : représentation graphique d'une fonction ou d'une équation à deux variables.
• Intersections : points où deux courbes se croisent.
• Intervalle : ensemble de nombres compris entre deux bornes.
• Réunion d’intervalles : union de plusieurs intervalles.
• Solutions : valeurs de x vérifiant l’équation ou l’inéquation.
• Graphique : représentation visuelle d’une relation mathématique.