Fiche de révision en Logique Mathématique
📌 L'essentiel
- La proposition peut être vraie ou fausse, mais pas les deux.
- Les connecteurs logiques fondamentaux : négation, conjonction, disjonction, implication, équivalence.
- La table de vérité analyse la validité d'une formule en fonction de ses composants.
- La loi de De Morgan simplifie la négation des opérations composées.
- Les quantificateurs universel ($\forall$) et existentiel ($\exists$) étendent la logique aux propositions concernant plusieurs éléments.
- La logique modale introduit les notions de nécessité ($\Box$) et possibilité ($\Diamond$).
- La dérivation logique utilise règles d’introduction et d’élimination.
📖 Concepts clés
Proposition : Déclaration qui peut être vraie ou fausse, mais pas les deux simultanément.
Connecteur logique : Opérateur reliant des propositions pour en former de nouvelles (ex : $\land$, $\lor$, $\implies$).
Table de vérité : Tableau qui évalue la valeur de vérité d'une formule en fonction de ses propositions composants.
Loi de De Morgan : Relation fondamentale pour la négation de conjonction ou disjonction :
- $\neg (p \land q) \equiv (\neg p) \lor (\neg q)$
- $\neg (p \lor q) \equiv (\neg p) \land (\neg q)$
Quantificateur universel : $\forall x, P(x)$, affirme que $P(x)$ est vrai pour tous les $x$.
Quantificateur existentiel : $\exists x, P(x)$, affirme que $P(x)$ est vrai pour au moins un $x$.
Logique modale : Étudie la nécessité ($\Box$) et la possibilité ($\Diamond$) des propositions.
📐 Formules et lois
Négation : Si $p$ est une proposition, alors sa négation est $\neg p$.
Conjonction : $p \land q$ est vraie si et seulement si $p$ et $q$ sont vraies.
Disjonction : $p \lor q$ est vraie si au moins un de $p$, $q$ est vrai.
Implication : $p \implies q$ est fausse uniquement si $p$ est vrai et $q$ est faux.
Équivalence : $p \iff q$ est vraie si $p$ et $q$ ont la même valeur de vérité.
Loi de De Morgan :
- $\neg (p \land q) \equiv (\neg p) \lor (\neg q)$
- $\neg (p \lor q) \equiv (\neg p) \land (\neg q)$
Quantificateurs :
- Universel : $\forall x, P(x)$
- Existentiel : $\exists x, P(x)$
🔍 Méthodes
- Identifier propositions/formules proposées.
- Construire la table de vérité pour vérifier la validité ou invalidité.
- Appliquer les lois de De Morgan pour simplifier ou transformer.
- Vérifier si la formule est une tautologie, contradiction ou contingente.
- Utiliser règles d’introduction / élimination pour dériver.
- Pour les quantificateurs, tester la propriété pour tous ou au moins un élément du domaine.
💡 Exemples
- La proposition : "Si il pleut, alors le sol est mouillé" s’écrit $p \implies q$.
- La formule : $\neg (p \land q) \equiv (\neg p) \lor (\neg q)$ illustre la loi de De Morgan.
- Il existe un nombre premier pair : $\exists x, (P(x) \wedge \text{"x est premier"})$.
⚠️ Pièges
- Confondre la négation d’une conjonction et une disjonction avec la loi de De Morgan.
- Confusion entre implication ($\implies$) et équivalence ($\iff$).
- Mauvaise utilisation ou portée incorrecte des quantificateurs.
- Négliger la vérification dans la table de vérité pour une implication.
- Confondre logique propositionnelle et logique du premier ordre.
✅ Checklist examen
- Maîtriser la construction des tables de vérité.
- Savoir appliquer et simplifier avec la loi de De Morgan.
- Savoir manipuler quantificateurs universels et existentiels.
- Être capable de distinguer propositions tautologiques, contradictoires ou contingentes.
- Connaître toutes les règles d’introduction et d’élimination.
Synthèse rapide
- La logique étudie la validité des arguments et propositions.
- La proposition : déclaration vraie ou fausse.
- Les connecteurs logiques fondamentaux : négation, conjonction, disjonction, implication, équivalence.
- La table de vérité et la loi de De Morgan sont essentielles pour l’analyse.
- Les quantificateurs étendent la logique aux multiples éléments du domaine.
- La logique modale introduit des notions de nécessité et de possibilité.