Fiche de révision : Analyse des critères de stabilité en contrôle automatique

📋 Plan du Cours

1. Structure et rôle des signaux dans une boucle de commande
2. Critère de stabilité d’une fonction de transfert par les pôles
3. Stabilité des systèmes en boucle fermée et point critique (-1,0)
4. Critère de Nyquist simplifié basé sur les diagrammes de Bode
5. Définition et calcul des marges de gain et de phase pour la robustesse
6. Application pratique des critères de stabilité sur des exemples et exercices
7. Interprétation des résultats d’exercices sur stabilité et marges à partir de diagrammes
8. Synthèse des réponses aux exercices sur la stabilité et marges

📖 1. Structure et rôle des signaux dans une boucle de commande

🔑 Notions clés & Définitions

• Signal d'entrée de consigne e(t) : signal représentant le comportement souhaité à la sortie, c’est-à-dire la valeur ou la trajectoire que l’on veut que le système atteigne ou suive.
• Signal de sortie s(t) : grandeur physique mesurée du processus à commander, qui reflète l’état ou la réponse réelle du système.
• Signal de retour m(t) : image de la grandeur de sortie utilisée pour la rétroaction, permettant de comparer la sortie effective à la consigne.
• Signal d'erreur ϵ(t) : différence entre la sortie désirée et la sortie effective, servant à ajuster la commande pour atteindre le comportement souhaité.

📝 Points essentiels

• Le signal d'entrée de consigne e(t) représente le comportement désiré à la sortie, en indiquant la valeur ou la trajectoire attendue.
• Le signal de sortie s(t) est la grandeur physique mesurée du processus à commander, qui doit suivre la consigne pour assurer la performance du système.
• Le signal de retour m(t) est l’image de la sortie s(t) utilisée dans la boucle de rétroaction, permettant de comparer la réponse réelle à la consigne.
• Le signal d'erreur ϵ(t) est la différence entre la consigne e(t) et la sortie mesurée s(t), et il sert à ajuster la commande u(t) pour corriger l’écart.

💡 À retenir

Comprendre la fonction de chaque signal dans la boucle de commande permet d’analyser et de concevoir efficacement un système de contrôle, en assurant que la sortie suive la consigne avec précision.

📖 2. Critère de stabilité d’une fonction de transfert par les pôles

🔑 Notions clés & Définitions

• Stabilité d’une fonction de transfert : Propriété d’un système linéaire continu selon laquelle toute entrée bornée produit une sortie bornée, ce qui est équivalent à ce que tous les pôles de la fonction de transfert aient une partie réelle strictement négative.
• Critère de Routh : Méthode permettant de déterminer le nombre de pôles instables d’un système sans calculer explicitement leurs valeurs, en analysant les signes et la nullité des coefficients du polynôme caractéristique.

📝 Points essentiels

• Un signal borné en entrée produit une sortie bornée si et seulement si le système est stable.
• Le critère de Routh permet de déterminer le nombre de pôles instables sans calculer explicitement leurs valeurs.
• Pour appliquer le critère de Routh, tous les coefficients du polynôme caractéristique doivent être non nuls et de même signe.
• Pour qu’il n’y ait pas de racines `a partie r´eelle positive, la condition n´ecessaire mais non suffisante est que tous les coefficients de l’´equation caract´eristique soient de mˆeme signe et non nuls.
• Tous les coefficients sont pr´esents et de mˆeme signe.

💡 À retenir

La stabilité d’un système linéaire continu est directement liée à la position des pôles de sa fonction de transfert dans le plan complexe.

📖 3. Stabilité des systèmes en boucle fermée et point critique (-1,0)

🔑 Notions clés & Définitions

• Boucle ferm´ee - Boucle ouverte : Configuration d'un système où la sortie est réinjectée à l'entrée via une rétroaction pour réguler le comportement.

📝 Points essentiels

• La fonction de transfert en boucle fermée s’écrit H(p) = A(p) / (1 + A(p)B(p)).
• La stabilité en boucle fermée dépend des racines de 1 + A(p)B(p), soit des points où A(p)B(p) = -1.
• Le point critique (-1,0) dans le plan complexe correspond à un module unitaire et une phase de -180°.
• Celui-ci poss`ede un module unitaire et une phase de -180◦.

💡 À retenir

La stabilité en boucle fermée s’analyse via la fonction de transfert en boucle ouverte et son comportement autour du point critique (-1,0).

📖 4. Critère de Nyquist simplifié basé sur les diagrammes de Bode

🔑 Notions clés & Définitions

• D´efinition : Description précise d'un concept ou d'une grandeur, telle que la pulsation ω0dB où le gain coupe 0 dB, ou la pulsation ω−π où la phase atteint -180°.
• Critère de Nyquist simplifié : Méthode d'évaluation de la stabilité en boucle fermée applicable uniquement lorsque la fonction de transfert en boucle ouverte ne possède ni pôles ni zéros à partie réelle strictement positive, reposant sur la comparaison de la phase à -180° à la pulsation où le gain est à 0 dB.
• Diagramme de Bode : Morel 4 sur 11 ESTACA 2`eme ann´ee CMA 8 | − 1| = 1 arg(−1)

📝 Points essentiels

• Le critère de Nyquist simplifié s’applique uniquement si la fonction de transfert en boucle ouverte n’a ni pôles ni zéros à partie réelle strictement positive.
• Pour assurer la stabilité en boucle fermée, la phase de la boucle ouverte doit être supérieure à -180° à la pulsation ω0dB.
• Les diagrammes de Bode permettent de visualiser facilement les pulsations ω0dB et ω−π nécessaires à ce critère.

💡 À retenir

Le critère de Nyquist simplifié offre une méthode graphique rapide pour évaluer la stabilité à partir des diagrammes de Bode.

📖 5. Définition et calcul des marges de gain et de phase pour la robustesse

🔑 Notions clés & Définitions

• Robustesse de la stabilité : La robustesse de la stabilité est la capacité d’un système à maintenir sa stabilité en boucle fermée malgré les incertitudes ou variations du modèle, mesurée par la distance aux conditions critiques sur les courbes de gain et de phase.
• Gain et marge de phase : La marge de gain est une mesure exprimée par Mg = -20 log |BO(ω−π)|, où BO est la fonction de transfert en boucle ouverte, quantifiant la distance en gain du système au point critique.

📝 Points essentiels

• Ces marges quantifient la distance du système au point critique, assurant une stabilité robuste face aux incertitudes du modèle.
• Une marge de gain ou de phase trop faible indique un risque d’instabilité en boucle fermée malgré un modèle stable.
• A(p)B(p) est la F.T du syst`eme en boucle ouverte.

💡 À retenir

Les marges de gain et de phase sont des indicateurs essentiels pour garantir la robustesse et la fiabilité de la stabilité d’un système réel.

📖 6. Application pratique des critères de stabilité sur des exemples et exercices

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation caractéristique : Polynôme obtenu à partir du dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée, utilisé pour analyser la stabilité du système.
• Tableau de Routh : Méthode permettant de déterminer le nombre de pôles instables d’un polynôme caractéristique sans calculer explicitement ses racines.
• Eponses des exercices : Applications concrètes des critères de stabilité illustrées à travers des exemples utilisant des fonctions de transfert données.

📝 Points essentiels

• L’équation caractéristique correspond au polynôme du dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée.
• Le tableau de Routh permet de déterminer le nombre de pôles instables sans calculer explicitement les racines.
• Les exemples illustrent l’application concrète des critères sur des fonctions de transfert données.
• Tableau de Routh : an an−2 an−4 .

💡 À retenir

L’équation caractéristique correspond au polynôme du dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée.

📖 7. Interprétation des résultats d’exercices sur stabilité et marges à partir de diagrammes

🔑 Notions clés & Définitions

• Exercice : Analyse pratique utilisant des données numériques et des diagrammes pour déterminer la stabilité et les marges de gain et de phase d'un système.

📝 Points essentiels

• Un oscillateur correspond à un système stable non asymptotiquement, caractérisé par une phase à -180° au même point que le gain 0 dB.
• 2 oscillateur (stable non asymptotiquement).

💡 À retenir

L’analyse des résultats d’exercices numériques et graphiques permet de comprendre la stabilité effective des systèmes en reliant les critères de phase et de gain à leur comportement dynamique.

📖 8. Synthèse des réponses aux exercices sur la stabilité et marges

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

• Le nombre de changements de signe dans la première colonne du tableau de Routh indique le nombre de pôles instables.
• Les pulsations ω0dB et ω−π sont extraites des diagrammes pour appliquer les critères de stabilité et calculer les marges.
• Les réponses synthétisent les méthodes et résultats pour valider la compréhension des concepts et leur application.

💡 À retenir

La synthèse des exercices illustre l’intégration des méthodes analytiques et graphiques pour une évaluation complète de la stabilité et de la robustesse.

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des critères de stabilité

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confusion entre stabilité en boucle ouverte et boucle fermée.
2. Mélanger le critère de Routh avec le critère de Nyquist.
3. Ignorer la phase à -180° dans le critère de Nyquist.
4. Confondre marges de gain et marges de phase.
5. Sous-estimer l'importance des marges pour la robustesse.
6. Interpréter à tort un diagramme de Bode sans considérer la phase.
7. Utiliser des critères sans vérifier les conditions préalables (pôles dans le demi-plan droit).

✅ Checklist Examen

1. Vérifier que tous les coefficients du polynôme caractéristique sont de même signe.
2. Calculer la fonction de transfert en boucle ouverte.
3. Tracer le diagramme de Bode pour analyser phase et gain.
4. Identifier la pulsation ω0dB et ω−π sur le diagramme.
5. Vérifier la position des pôles avec le critère de Routh.
6. Calculer les marges de gain et de phase.
7. Analyser la stabilité en utilisant le critère de Nyquist.
8. Interpréter les résultats pour assurer la robustesse.