Fiche de révision : Bases orthonormales et diagonalisation

📋 Plan du Cours

1. Produit scalaire en espace préhilbertien
2. Propriétés de l'orthogonalité
3. Familles orthogonales et orthonormales
4. Procédé Gram-Schmidt
5. Bases orthonormales en dimension finie
6. Projections orthogonales
7. Projecteurs et symétries orthogonaux
8. Distance à un sous-espace
9. Somme directe orthogonale
10. Endomorphismes autoadjoints
11. Spectre d’un endomorphisme autoadjoint
12. Diagonalisation et base orthonormée

📖 1. Produit scalaire en espace préhilbertien

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire euclidien : Sur un espace vectoriel réel 𝐸, c’est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive. AUTEUR (source) : « On dit qu’une application 𝐵 de 𝐸 × 𝐸 est un produit scalaire (euclidien) sur 𝐸 quand 𝐵 est une forme bilinéaire, symétrique, définie-positive sur 𝐸. »
• Forme bilinéaire : Fonction 𝐵 : 𝐸 × 𝐸 → ℝ, linéaire dans chaque argument.
• Symétrie : Pour tout 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, ⟨𝑥|𝑦⟩ = ⟨𝑦|𝑥⟩.
• Définie positive : Pour tout 𝑥 ≠ 0, ⟨𝑥|𝑥⟩ > 0.
• Notations : Le produit scalaire est noté ⟨ | ⟩ et la norme associée est ‖𝑥‖ = √⟨𝑥|𝑥⟩.

📝 Points essentiels

• Propriétés fondamentales :
  1. Linéarité dans le premier argument : ⟨a𝑥 + b𝑥' | 𝑦⟩ = a⟨𝑥 | 𝑦⟩ + b⟨𝑥' | 𝑦⟩.
  2. Symétrie : ⟨𝑥|𝑦⟩ = ⟨𝑦|𝑥⟩.
  3. Positivité : ⟨𝑥|𝑥⟩ > 0 pour 𝑥 ≠ 0.
• Identités importantes :
  • Identité du parallélogramme : pour tout 𝑥, 𝑦, ⟨𝑥 + 𝑦 | 𝑥 + 𝑦⟩ + ⟨𝑥 − 𝑦 | 𝑥 − 𝑦⟩ = 2(⟨𝑥|𝑥⟩ + ⟨𝑦|𝑦⟩).
  • Identité de polarisation : ⟨𝑥|𝑦⟩ = 1/4 [‖𝑥 + 𝑦‖² − ‖𝑥 − 𝑦‖²].
• Inégalité de Cauchy-Schwarz : |⟨𝑥|𝑦⟩| ≤ ‖𝑥‖‖𝑦‖, avec égalité si et seulement si 𝑥 et 𝑦 sont liés par une proportion scalaire positive ou négative.
• Inégalité de Minkowski : ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖, avec égalité si 𝑥 et 𝑦 sont colinéaires dans le même sens ou dans le sens opposé.

💡 À retenir

Le produit scalaire euclidien est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive qui permet de définir une norme et d’établir des propriétés fondamentales telles que l’inégalité de Cauchy-Schwarz et l’identité du parallélogramme, essentielles pour l’étude des espaces vectoriels de dimension finie ou infinie.

📖 2. Propriétés de l'orthogonalité

🔑 Notions clés & Définitions

• A⊥ = {x ∈ E : ∀ y ∈ A, ⟨x|y⟩=0} : orthogonal de A, ensemble des vecteurs orthogonaux à tous ceux de A.
• A⊥ est un sous-espace vectoriel : propriété fondamentale, l'ensemble des vecteurs orthogonaux à une partie forme un sous-espace de E.
• A ⊂ B ⇒ B⊥ ⊂ A⊥ : inclusion entre parties entraîne l'inclusion inverse entre leurs orthogonaux.
• (A⊥)⊥ contient A : double orthogonalité, l'orthogonal du orthogonal contient la partie initiale.
• E⊥ = {0} et {0}⊥=E : orthogonal de l'espace nul est {0}, et l'orthogonal de {0} est l'ensemble entier E, propriété des espaces préhilbertiens (voir section 1).

📝 Points essentiels

• La définition de l'orthogonal de A, A⊥, repose sur la condition ⟨x|y⟩=0 pour tout y ∈ A, ce qui implique que A⊥ est un sous-espace vectoriel de E (propriété 1).
• La relation A ⊂ B entraîne B⊥ ⊂ A⊥, illustrant la dualité entre inclusion des parties et inclusion de leurs orthogonaux (propriété 2).
• Le double orthogonal (A⊥)⊥ contient toujours A, et dans le cas d’un espace préhilbertien, on a souvent égalité sous certaines conditions (voir section 1.3).
• La propriété E⊥ = {0} montre que l’orthogonal de l’espace total est trivial, tandis que {0}⊥=E indique que tout vecteur est orthogonal à {0} (propriétés fondamentales).
• La restriction de l’orthogonal à un sous-espace F de E est un produit scalaire sur F (voir section 1.1).

💡 À retenir

L’orthogonal de A, A⊥, est un sous-espace vectoriel contenant tous les vecteurs orthogonaux à A, et la double orthogonalité (A⊥)⊥ contient A, illustrant la dualité fondamentale de l’orthogonalité dans un espace préhilbertien.

📖 3. Familles orthogonales et orthonormales

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille orthogonale : Une famille (𝑎𝑖)𝑖∈𝐼 de vecteurs dans un espace préhilbertien (𝐸, ⟨|⟩) est dite orthogonale si, pour tout (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐼² avec 𝑖 ≠ 𝑗, ⟨𝑎𝑖, 𝑎𝑗⟩ = 0.
• Famille orthonormale : Une famille orthogonale dont chaque vecteur est unitaire, c’est-à-dire ⟨𝑎𝑖, 𝑎𝑖⟩ = 1 pour tout 𝑖.
• Théorème de Pythagore (pour familles orthogonales) : Si (𝑎𝑖)₁≤𝑖≤𝑝 est une famille orthogonale dans un espace préhilbertien, alors
  \left\| \sum_{i=1}^p \𝑎𝑖 \right\|^2 = \sum_{i=1}^p \| \𝑎𝑖 \|^2.
• Liberté d’une famille orthogonale de vecteurs non nuls : Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
• Notations et propriétés :
  • Une famille orthogonale (𝑎𝑖) est orthonormale si ⟨𝑎𝑖, 𝑎𝑗⟩ = δ𝑖,𝑗 (le symbole δ étant la Kronecker).
  • La propriété fondamentale : dans une famille orthogonale, chaque vecteur est orthogonal aux autres, ce qui permet de décomposer tout vecteur en une somme de projections sur ces vecteurs (voir section 2.2 sur projections orthogonales).

📖 4. Procédé Gram-Schmidt

🔑 Notions clés & Définitions

• Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt : méthode permettant de transformer une famille libre de vecteurs en une famille orthogonale (ou orthonormale) tout en conservant l’espace vectoriel engendré par la famille initiale. AUTEUR (1883) : ce procédé est attribué à J. Gram et E. Schmidt.

• Formule explicite de Gram-Schmidt : pour une famille libre (a₁, ..., aₚ), la famille orthogonale (b₁, ..., bₚ) est définie par :

  • b₁ = a₁
  • bk = ak - ∑_{q=1}^{k-1} ⟨b_q | a_k⟩ / ‖b_q‖² * b_q, pour k ≥ 2. Cette formule permet de calculer chaque vecteur orthogonal en soustrayant ses projections sur les vecteurs précédents. AUTEUR (1883) : formule explicitée dans le cadre du procédé Gram-Schmidt.

• Conservation des espaces vectoriels engendrés : à chaque étape, l’espace engendré par (a₁, ..., aₖ) est identique à celui engendré par (b₁, ..., bₖ). Cela garantit que la transformation ne modifie pas l’espace initial, mais seulement la famille de vecteurs. AUTEUR (1883) : propriété fondamentale du procédé.

• Existence d’une famille orthogonale associée : pour toute famille libre de vecteurs, il existe une famille orthogonale (ou orthonormale si normalisée) qui engendre le même espace. Cela permet de simplifier la base pour des calculs et des applications. AUTEUR (1883) : résultat du procédé Gram-Schmidt.

📝 Points essentiels

• Le procédé Gram-Schmidt commence avec une famille libre (a₁, ..., aₚ) et construit successivement une famille orthogonale (b₁, ..., bₚ) en utilisant la formule explicite : bk = ak - ∑_{q=1}^{k-1} ⟨b_q | a_k⟩ / ‖b_q‖² * b_q.
• La famille (b₁, ..., bₚ) est orthogonale, et si on la normalise, elle devient orthonormale.
• La propriété de conservation des espaces vectoriels engendrés assure que chaque étape ne modifie pas l’espace généré par la famille initiale.
• La famille orthogonale (ou orthonormale) obtenue est unique pour une famille donnée, et elle facilite la diagonalisation d’endomorphismes autoadjoints (voir section 5).

💡 À retenir

Le procédé Gram-Schmidt permet de construire une famille orthogonale ou orthonormale à partir d’une famille libre, tout en conservant l’espace engendré, grâce à une formule explicite qui soustrait les projections successives.

📖 5. Bases orthonormales en dimension finie

🔑 Notions clés & Définitions

• Base orthonormale : Ensemble de vecteurs (𝑒₁, ..., 𝑒ₙ) d’un espace euclidien (𝐸, ⟨|⟩) tel que chaque vecteur est unitaire (⟨𝑒𝑖|𝑒𝑖⟩=1) et orthogonal aux autres (⟨𝑒𝑖|𝑒𝑗⟩=0 pour 𝑖 ≠ 𝑗). AUTEUR (date) : "Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre" (voir section 1.4).

• Représentation matricielle dans une base orthonormale : Si (𝑒₁, ..., 𝑒ₙ) est une base orthonormale de 𝐸, alors pour tout vecteur 𝑥, ses coordonnées dans cette base sont données par la colonne 𝑋 = (𝑥₁, ..., 𝑥ₙ) où 𝑥𝑖 = ⟨𝑥|𝑒𝑖⟩. La matrice de l’endomorphisme u dans cette base est une matrice réelle 𝑀 = (𝑚_{ij}) où 𝑚_{ij} = ⟨u(𝑒𝑗)|𝑒𝑖⟩. AUTEUR (date) : "La matrice de passage d’une base orthonormée à une autre est orthogonale" (voir section 4.2).

• Norme euclidienne : Pour tout vecteur 𝑥 dans un espace euclidien (𝐸, ⟨|⟩), la norme est définie par ‖𝑥‖ = √⟨𝑥|𝑥⟩. En coordonnées dans une base orthonormale (𝑒₁, ..., 𝑒ₙ), ‖𝑥‖² = ∑_{i=1}^n 𝑥𝑖². AUTEUR (date) : "La norme euclidienne s’exprime en coordonnées par la somme des carrés" (voir section 1.2).

• Existence d’une base orthonormale : Tout espace vectoriel euclidien non nul admet au moins une base orthonormale (voir section 1.6). La construction se fait par le procédé de Gram-Schmidt à partir d’une famille libre de vecteurs. AUTEUR (date) : "Tout espace euclidien non nul possède une base orthonormale" (voir section 1.6).

📝 Points essentiels

• La caractérisation d’une base orthonormale repose sur la propriété ⟨𝑒𝑖|𝑒𝑗⟩ = δ_{ij}, où δ_{ij} est le symbole de Kronecker, ce qui implique que la famille est orthogonale avec vecteurs unitaires. La norme dans une base orthonormale s’exprime simplement par ‖𝑥‖ = √∑_{i=1}^n 𝑥𝑖².

• La représentation matricielle d’un endomorphisme u dans une base orthonormale (𝑒₁, ..., 𝑒ₙ) est une matrice réelle 𝑀 = (𝑚_{ij}) où 𝑚_{ij} = ⟨u(𝑒𝑗)|𝑒𝑖⟩. La propriété fondamentale est que si u est une isométrie (membre du groupe orthogonal 𝑂(𝐸)), alors 𝑀 est une matrice orthogonale, c’est-à-dire 𝑀ᵀ𝑀 = 𝐼ₙ.

• La diagonalisation d’un endomorphisme autoadjoint dans un espace euclidien repose sur le théorème spectral : il existe une base orthonormée formée de vecteurs propres, ce qui permet de représenter l’endomorphisme par une matrice diagonale dans cette base. AUTEUR (date) : "Tout endomorphisme autoadjoint est diagonalisable dans une base orthonormée" (voir section 5.3).

• La réduction d’un automorphisme orthogonal en une forme simple (rotation, réflexion) dans une dimension ou dimension 2 ou 3 repose sur la structure particulière des matrices orthogonales, notamment dans le cas de dimension 2 (voir section 4.3) et dimension 3 (voir corollaire sur les rotations).

💡 À retenir

Une base orthonormale permet une représentation simple et efficace des vecteurs et endomorphismes dans un espace euclidien de dimension finie, en exprimant les opérations par des matrices orthogonales ou diagonales, facilitant ainsi leur étude et leur classification.

📖 6. Projections orthogonales

🔑 Notions clés & Définitions

• Supplémentaire orthogonal : Soit (𝐸, ⟨ | ⟩) un espace préhilbertien réel et 𝐹 un sous-espace vectoriel. 𝐹 a un supplémentaire orthogonal dans 𝐸 si 𝐸 = 𝐹 ⊕ 𝐹⊥, où 𝐹⊥ est l’ensemble des vecteurs orthogonaux à tous ceux de 𝐹 (théorème de séparation). AUTEUR (date) : définition fondamentale en espace préhilbertien.

• Projection orthogonale : La projection 𝑝𝐹 : 𝐸 → 𝐹 parallèlement à 𝐹⊥ est la application qui, pour tout 𝑥 ∈ 𝐸, associe le vecteur unique 𝑝𝐹(𝑥) ∈ 𝐹 tel que 𝑥 - 𝑝𝐹(𝑥) ∈ 𝐹⊥. Elle est caractérisée par la décomposition 𝐸 = 𝐹 ⊕ 𝐹⊥ (théorème 2.2).

• Caractérisation par la décomposition E = F ⊕ F⊥ : Un espace 𝐸 peut être décomposé en somme directe orthogonale de 𝐹 et 𝐹⊥ si et seulement si 𝐹 est un sous-espace avec un supplémentaire orthogonal. La projection 𝑝𝐹 est alors l’application associée à cette décomposition (théorème 2.2).

• Formule explicite via une base orthonormale : Si (𝑒𝑘)₁≤𝑝 est une base orthonormale de 𝐹, alors pour tout 𝑥 ∈ 𝐸, 𝑝𝐹(𝑥) = ∑ₖ ⟨𝑒ₖ, 𝑥⟩ 𝑒ₖ (théorème 2.2).

• Relation entre noyau et image : La projection 𝑝𝐹 est un projecteur orthogonal dont le noyau est 𝐹⊥ et l’image est 𝐹. En particulier, 𝑘𝑒𝑟(𝑝𝐹) = 𝐹⊥ et 𝑖𝑚(𝑝𝐹) = 𝐹 (théorème 2.2).

📝 Points essentiels

• La décomposition 𝐸 = 𝐹 ⊕ 𝐹⊥ est fondamentale pour définir la projection orthogonale. Elle garantit que tout vecteur 𝑥 ∈ 𝐸 peut s’écrire de façon unique comme 𝑥 = 𝑥_F + 𝑥_{F⊥} avec 𝑥_F ∈ 𝐹 et 𝑥_{F⊥} ∈ 𝐹⊥.

• La projection 𝑝𝐹 est un projecteur orthogonal, c’est-à-dire qu’il est idempotent (𝑝𝐹² = 𝑝𝐹) et auto-adjoint (𝑝𝐹 = 𝑝𝐹*). Elle est caractérisée par la propriété ⟨𝑝𝐹(𝑥), 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑝𝐹(𝑦)⟩ pour tout 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸.

• La formule explicite 𝑝𝐹(𝑥) = ∑ₖ ⟨𝑒ₖ, 𝑥⟩ 𝑒ₖ permet de calculer la projection sur 𝐹 à partir d’une base orthonormale.

• La relation entre noyau et image : 𝑘𝑒𝑟(𝑝𝐹) = 𝐹⊥ et 𝑖𝑚(𝑝𝐹) = 𝐹, ce qui montre que la projection est un isomorphisme de 𝐸/𝐹⊥ vers 𝐹.

💡 À retenir

La projection orthogonale sur un sous-espace 𝐹 dans un espace préhilbertien est définie par la décomposition orthogonale 𝐸 = 𝐹 ⊕ 𝐹⊥, et peut s’exprimer explicitement via une base orthonormale de 𝐹. Elle est caractérisée par ses propriétés d’idempotence, d’auto-adjointie, et par la relation entre noyau et image.

📖 7. Projecteurs et symétries orthogonaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Projecteur orthogonal : Un projecteur $p$ de $E$ dont l’image et le noyau sont orthogonaux, c’est-à-dire que $\operatorname{Im}(p) \perp \ker(p)$. Selon la propriété, $p$ est un projecteur autoadjoint, donc $p = p^*$. (source : rappel)

• Symétrie orthogonale : Une application $s$ de $E$ est une symétrie orthogonale si elle est une isométrie (donc $s \in O(E)$) et si elle peut s’écrire sous la forme $s = 2p - I_d$, où $p$ est un projecteur orthogonal. Elle vérifie $s = s^*$ et $s \in O(E)$. (source : rappel)

• Caractérisation des projecteurs orthogonaux : Un projecteur $p$ est orthogonal si et seulement si il est auto-adjoint, c’est-à-dire $p = p^*$. (source : rappel)

• Caractérisation des symétries orthogonales : Une symétrie $s$ est une application auto-adjointe ($s = s^*$) et isométrique ($\|s(x)\| = \|x\|$ pour tout $x \in E$). Elle peut s’écrire sous la forme $s = 2p - I_d$ avec $p$ projecteur orthogonal. (source : rappel)

• Lien entre projecteurs orthogonaux et symétries orthogonales : Toute symétrie orthogonale $s$ peut s’obtenir à partir d’un projecteur orthogonal $p$ par la formule $s = 2p - I_d$. Inversement, tout projecteur orthogonal $p$ définit une symétrie $s$. (source : rappel)

📝 Points essentiels

• La propriété fondamentale d’un projecteur orthogonal est qu’il est auto-adjoint : $p = p^*$. Cela implique que $\operatorname{Im}(p)$ et $\ker(p)$ sont orthogonaux, et que $E$ se décompose en somme directe orthogonale $E = \operatorname{Im}(p) \oplus \ker(p)$.

• La symétrie orthogonale $s$ est une application involutive ($s^2 = I_d$) qui conserve la norme ($\|s(x)\| = \|x\|$) et vérifie $s = s^*$. Elle est liée à un projecteur orthogonal par la formule $s = 2p - I_d$.

• La caractérisation par l’auto-adjonction permet de distinguer facilement les projecteurs orthogonaux et symétries orthogonales dans un espace préhilbertien, en utilisant la propriété $p = p^*$ ou $s = s^*$.

• La relation entre projecteurs et symétries orthogonales établit une correspondance bijective : chaque projecteur orthogonal donne une symétrie, et chaque symétrie peut s’écrire en termes d’un projecteur orthogonal.

💡 À retenir

Les projecteurs orthogonaux sont caractérisés par leur auto-adjonction, et ils permettent de construire des symétries orthogonales via la formule $s = 2p - I_d$. La relation entre ces deux notions repose sur leur propriété d’être auto-adjoint et leur lien avec la décomposition orthogonale de l’espace.

📖 8. Distance à un sous-espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance d’un vecteur à une partie A de E :
  $d(a, A) = \inf \{ \|a - x\| : x \in A \}$ (définition).
  Point à retenir : La distance est la borne inférieure des distances entre a et tous les points x de A.

• Projection orthogonale sur un sous-espace F :
  $p_F(a)$ est le point de F qui réalise la distance minimale entre a et F, c’est-à-dire que $\|a - p_F(a)\| = d(a, F)$ (caractérisation).
  Point à retenir : La projection orthogonale est unique dans un espace préhilbertien et réalise la distance minimale.

• Relation entre distance et projection orthogonale :
  $d(a, F) = \|a - p_F(a)\|$ (relation fondamentale).
  Point à retenir : La distance d’un vecteur à un sous-espace F est donnée par la norme de la différence entre le vecteur et son projection orthogonale.

• Condition d’optimalité pour la projection :
  Si x est un point de F réalisant la distance, alors $a - x \in F^\perp$ (condition d’optimalité).
  Point à retenir : Le vecteur $a - x$ est orthogonal à F, ce qui caractérise le point projeté.

• Caractérisation du point projeté :
  $p_F(a)$ est l’unique point x de F tel que $a - x \in F^\perp$ (caractérisation du point projeté).
  Point à retenir : La projection orthogonale est la seule qui vérifie cette orthogonalité.

📝 Points essentiels

• La distance d’un vecteur $a$ à un sous-espace F est définie par $d(a, F) = \inf_{x \in F} \|a - x\|$ (d’après la définition dans un espace préhilbertien).
• La projection orthogonale $p_F(a)$ est l’unique point de F qui minimise la distance, et elle vérifie la relation $\|a - p_F(a)\| = d(a, F)$.
• La relation fondamentale $d(a, F) = \|a - p_F(a)\|$ établit le lien direct entre la distance et la projection orthogonale.
• La condition d’optimalité $a - x \in F^\perp$ pour x réalisant la distance minimale est essentielle pour la caractérisation du point projeté.
• La propriété $E = F \oplus F^\perp$ (somme directe orthogonale) garantit l’existence et l’unicité de la projection orthogonale.

💡 À retenir

La distance d’un vecteur à un sous-espace est égale à la norme de la différence entre ce vecteur et sa projection orthogonale, laquelle est caractérisée par l’orthogonalité du vecteur différence à ce sous-espace.

📖 9. Somme directe orthogonale

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme orthogonale de sous-espaces : Soit (𝐸, ⟨ | ⟩) un espace préhilbertien réel et (𝐸𝑘)₁≤𝑘≤𝑝 une famille finie de sous-espaces vectoriels de 𝐸. La somme 𝑆 = ∑ 𝐸𝑘 est dite orthogonale si pour tout 𝑖 ≠ 𝑗, 𝐸𝑖 et 𝐸𝑗 sont orthogonaux, c’est-à-dire ⟨𝑥|𝑦⟩=0 pour tout 𝑥 ∈ 𝐸𝑖, 𝑦 ∈ 𝐸𝑗. La somme orthogonale est une somme directe car toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
  (Rappel : cette notion est liée à la définition de somme orthogonale dans la section 1.4)

• Condition d'orthogonalité mutuelle : Deux sous-espaces 𝐸𝑖 et 𝐸𝑗 (avec 𝑖 ≠ 𝑗) sont orthogonaux si ⟨𝑥|𝑦⟩=0 pour tout 𝑥 ∈ 𝐸𝑖, 𝑦 ∈ 𝐸𝑗. Cela implique que leur intersection est réduite au vecteur nul et que leur somme est directe.
  (Rappel : cette propriété est essentielle pour la définition de somme orthogonale)

• Existence d'une famille de projecteurs orthogonaux : Lorsqu’une somme 𝑆 = ∑ 𝐸𝑘 est orthogonale, il existe une famille de projecteurs orthogonaux (𝑝𝐸𝑘)₁≤𝑘≤𝑝, où chaque 𝑝𝐸𝑘 est le projecteur orthogonal sur 𝐸𝑘 parallèlement à la somme des autres 𝐸𝑗. Ces projecteurs sont auto-adjoints, c’est-à-dire 𝑝𝐸𝑘 = 𝑝𝐸𝑘* (voir section 7).
  (Rappel : cette propriété est liée à l’existence de projecteurs orthogonaux dans la section 7)

• Lien entre somme orthogonale et somme directe : La somme orthogonale 𝑆 est une somme directe car toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre. La liberté de la famille assure que 𝐸 = ∑ 𝐸𝑘, avec chaque 𝐸𝑘 orthogonal aux autres, ce qui garantit la somme directe.
  (Rappel : cette relation est une conséquence de la propriété d’orthogonalité mutuelle)

📖 10. Endomorphismes autoadjoints

🔑 Notions clés & Définitions

• Endomorphisme autoadjoint (ou symétrique) : Soit (𝐸, ⟨ | ⟩) un espace euclidien. Un endomorphisme 𝑢 ∈ 𝐿(𝐸) est autoadjoint si 𝑢 = 𝑢* (c’est-à-dire ⟨𝑢(𝑥), 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑢(𝑦)⟩ pour tout (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸²). **(Théorème spectral) : 𝑢 est autoadjoint si et seulement si il existe une base orthonormée de 𝐸 formée de vecteurs propres de 𝑢 (diagonalisabilité dans ℝ).
• Propriétés de l’adjoint : L’application 𝑢 ↦ 𝑢* est un involution sur 𝐿(𝐸), involutive et compatible avec la composition : (𝑢 ∘ 𝑣)* = 𝑣* ∘ 𝑢* (Prop 13, LIEU).
• Relations entre noyau et image : Pour 𝑢 ∈ 𝐿(𝐸), on a 𝑘𝑒𝑟(𝑢*) = (𝑖𝑚(𝑢))⊥ et 𝑖𝑚(𝑢*) = (𝑘𝑒𝑟(𝑢))⊥ (Prop 14).
• Diagonalisation : Un endomorphisme autoadjoint est diagonalisable par une base orthonormée de vecteurs propres (Théorème spectral). Tout endomorphisme autoadjoint est diagonalisable dans ℝ (Corollaire 1).
• Endomorphisme autoadjoint positif : 𝑢 est positif si ⟨𝑢(𝑥), 𝑥⟩ ≥ 0 ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 ; défini-positif si en plus ⟨𝑢(𝑥), 𝑥⟩ = 0 ⇒ 𝑥=0 (Déf 5.4). (Théorème) : 𝑢 est positif si et seulement si son spectre 𝑆𝑝(𝑢) ⊂ ℝ+ (Prop 15).

📖 11. Spectre d’un endomorphisme autoadjoint

🔑 Notions clés & Définitions

• Endomorphisme autoadjoint (ou symétrique) : Un endomorphisme 𝑢 d’un espace euclidien (𝐸, ⟨ | ⟩) est autoadjoint si 𝑢 = 𝑢* (relation ⟨𝑢(𝑥), 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑢(𝑦)⟩ pour tous 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸). AUTEUR (source) : cette propriété implique que 𝑢 est représenté par une matrice symétrique dans toute base orthonormale.

• Spectre d’un endomorphisme autoadjoint : L’ensemble des valeurs propres (éventuellement complexes, mais ici réel) associées à 𝑢, qui sont toutes réelles pour un endomorphisme autoadjoint. AUTEUR (source) : le théorème spectral stipule que 𝑢 est diagonalisable dans une base orthonormale formée de vecteurs propres.

• Diagonalisation dans une base orthonormale : Un endomorphisme autoadjoint 𝑢 peut être diagonalement représenté dans une base orthonormale composée de vecteurs propres, ce qui signifie que 𝐸 est somme directe orthogonale de ses espaces propres. AUTEUR (source) : théorème spectral, corollaire 1.

• Stabilité des sous-espaces propres : Les sous-espaces propres d’un endomorphisme autoadjoint sont deux à deux orthogonaux, ce qui garantit que la décomposition en espaces propres est orthogonale. AUTEUR (source) : théorème spectral, propriété 1.

• Propriétés spectrales : Le polynôme caractéristique de 𝑢 est scindé dans ℝ, et chaque valeur propre est réelle. La diagonalisation orthogonale est possible, ce qui implique que 𝑢 est orthogonalement diagonalisable. AUTEUR (source) : théorème spectral, corollaire 2.

📝 Points essentiels

• La propriété 𝑢 = 𝑢* implique que 𝑢 est représenté par une matrice symétrique réelle dans toute base orthonormale, ce qui garantit que ses valeurs propres sont réelles et que 𝑢 est diagonalisable dans une base orthonormale (théorème spectral).

• Les sous-espaces propres associés à 𝑢 sont orthogonaux deux à deux, permettant une décomposition orthogonale de 𝐸 en somme directe des espaces propres (théorème spectral, propriété 1).

• La diagonalisation orthogonale de 𝑢 se traduit par l’existence d’une base orthonormale formée de vecteurs propres, dans laquelle 𝑢 est représenté par une matrice diagonale réelle (corollaire 1).

• Le spectre de 𝑢 est constitué uniquement de valeurs réelles, ce qui facilite l’analyse de ses propriétés spectrales et la classification des endomorphismes autoadjoints.

💡 À retenir

Un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien est diagonalisable dans une base orthonormale formée de vecteurs propres, avec un spectre réel, ce qui garantit une décomposition orthogonale de l’espace en sous-espaces propres.

📖 12. Diagonalisation et base orthonormée

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de diagonalisation des endomorphismes autoadjoints : Tout endomorphisme autoadjoint 𝑢 d’un espace euclidien 𝐸 admet une base orthonormée formée de vecteurs propres, c’est-à-dire que 𝑢 est diagonalisable dans une base orthonormale (corollaire du théorème spectral). AUTEUR (date) : ce résultat repose sur la propriété que les endomorphismes autoadjoints ont un polynôme caractéristique scindé dans ℝ et une base orthonormée de vecteurs propres.

• Existence d'une base orthonormale formée de vecteurs propres : Dans un espace euclidien 𝐸, tout endomorphisme autoadjoint 𝑢 possède une base orthonormée composée de vecteurs propres, ce qui implique que 𝐸 est la somme directe orthogonale de ses espaces propres. AUTEUR (date) : ce résultat découle du théorème spectral pour les endomorphismes autoadjoints.

• Lien entre diagonalisation et base orthonormale : La diagonalisation d’un endomorphisme autoadjoint dans une base orthonormale permet de représenter 𝑢 par une matrice diagonale réelle, dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres. La base orthonormale associée est constituée de vecteurs propres orthogonaux. AUTEUR (date) : ce lien est une conséquence directe du théorème spectral.

• Caractérisation matricielle par une matrice diagonale réelle dans une base orthonormale : Un endomorphisme autoadjoint 𝑢 est représenté par une matrice diagonale réelle dans une base orthonormale formée de vecteurs propres. La diagonale contient les valeurs propres réelles, et la matrice est symétrique. AUTEUR (date) : cette caractérisation est une propriété fondamentale des matrices symétriques réelles.

📝 Points essentiels

• Le théorème spectral affirme que tout endomorphisme autoadjoint 𝑢 d’un espace euclidien 𝐸 est diagonalisable dans une base orthonormée composée de vecteurs propres, ce qui implique que 𝐸 est la somme directe orthogonale de ses espaces propres (corollaire 1).
• La diagonalisation d’un endomorphisme autoadjoint 𝑢 se traduit par l’existence d’une matrice diagonale réelle dans une base orthonormale, avec les valeurs propres sur la diagonale. La matrice associée à 𝑢 dans cette base est symétrique (corollaire 2).
• La matrice diagonale réelle caractérise complètement l’opérateur dans une base orthonormale, permettant une représentation simple et efficace pour l’analyse spectrale.
• La diagonalisation est possible si et seulement si 𝑢 est autoadjoint, ce qui garantit la scindabilité du polynôme caractéristique dans ℝ et l’existence d’une base orthonormée de vecteurs propres orthogonaux.
• La propriété fondamentale des endomorphismes autoadjoints est leur diagonalisation dans une base orthonormée, ce qui facilite leur étude et leur classification.

💡 À retenir

Les endomorphismes autoadjoints d’un espace euclidien sont diagonalisables dans une base orthonormale, avec une matrice diagonale réelle, ce qui permet une représentation claire et simplifiée de leurs propriétés spectrales.

📊 Tableau de synthèse comparatif : Produit scalaire, orthogonalité et bases

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la propriété de symétrie ⟨x|y⟩=⟨y|x⟩ avec la bilinéarité, qui concerne la linéarité dans chaque argument.
2. Confondre orthogonalité (⟨x|y⟩=0) avec la perpendicularité géométrique dans l’espace euclidien, surtout en dimension infinie.
3. Oublier que (A⊥)⊥ contient A, mais n’est pas toujours égal à A sauf dans des cas particuliers (espaces complets ou fermés).
4. Confondre famille orthogonale et orthonormale : dans une famille orthogonale, les vecteurs ne sont pas forcément unitaires.
5. Erreur dans la formule de Gram-Schmidt : oublier de soustraire les projections ou mal calculer la normalisation.
6. Confondre la matrice d’un endomorphisme dans une base orthonormale avec une matrice orthogonale : cette dernière doit satisfaire M^T M=I.
7. Négliger la nécessité de normaliser pour obtenir une famille orthonormale à partir d’une famille orthogonale.

✅ Checklist d’examen

1. Connaître la définition d’un produit scalaire euclidien selon Perroux et ses propriétés fondamentales.
2. Savoir démontrer que l’orthogonal d’un sous-espace est un sous-espace vectoriel.
3. Maîtriser la relation entre une famille orthogonale et une famille orthonormale, et leur rôle dans la décomposition de vecteurs.
4. Expliquer le procédé Gram-Schmidt, en précisant sa formule explicite et sa propriété de conservation de l’espace engendré.
5. Savoir caractériser une base orthonormale dans un espace euclidien et la relation avec la matrice orthogonale.
6. Connaître la définition et les propriétés de la projection orthogonale sur un sous-espace.
7. Savoir définir et utiliser un projecteur orthogonal, ainsi que ses propriétés (idempotence, auto-adjointie).
8. Définir la distance d’un vecteur à un sous-espace et calculer cette distance via la projection orthogonale.
9. Maîtriser la notion de somme directe orthogonale et ses conditions d’existence.
10. Connaître la définition d’un endomorphisme autoadjoint et ses propriétés (spectre réel, diagonalisation).
11. Savoir que le spectre d’un endomorphisme autoadjoint est réel et que l’on peut diagonaliser dans une base orthonormale.
12. Connaître la procédure de diagonalisation d’un endomorphisme autoadjoint en utilisant une base orthonormale.