Géométrie dans l'espace: vecteurs et relations

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs dans l'espace
2. Combinaisons linéaires
3. Droites et plans
4. Direction d'une droite
5. Direction d'un plan
6. Positions relatives droites
7. Positions relatives plans
8. Positions droite-plan
9. Bases de l'espace
10. Coordonnées dans l'espace

📖 1. Vecteurs dans l'espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur dans l'espace : Objet géométrique défini par une direction, un sens et une norme (longueur). Représente un déplacement d’un point à un autre.
  Exemple : Le vecteur $\vec{u}$ peut être représenté par ses coordonnées dans un repère.

• Combinaison linéaire : Vecteur obtenu par la somme de multiples scalaires de vecteurs donnés.
  Formule : $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$, avec $a, b, c \in \mathbb{R}$.

• Vecteur directeur d’une droite : Vecteur non nul qui donne la direction de la droite.
  Propriété : Un point $M$ appartient à la droite si $\vec{AM}$ est colinéaire au vecteur directeur.

• Vecteurs non coplanaires : Trois vecteurs qui ne peuvent pas tous appartenir au même plan.
  Caractéristique : Leur triplet forme une base de l’espace si non coplanaires.

• Base de l’espace : Triplet de vecteurs non coplanaires permettant de décrire tout point ou vecteur par décomposition unique.
  Exemple : $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$ dans un repère orthonormé.