Fiche de révision : Géométrie des Droites dans le Plan

📋 Plan du Cours

1. Fonction affine, fonction linéaire et coefficient directeur
2. Équation réduite d'une droite et sens de variation selon le coefficient directeur
3. Vecteur directeur d'une droite et colinéarité
4. Position relative de deux droites : parallèles, sécantes, colinéaires et détermination par système
5. Équation cartésienne d'une droite et passage entre formes réduite et cartésienne
6. Méthode pour déterminer l'équation réduite d'une droite à partir de deux points
7. Méthode pour vérifier si un point appartient à une droite donnée
8. Détermination d'une équation cartésienne connaissant un point et un vecteur directeur

📖 1. Fonction affine, fonction linéaire et coefficient directeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction définie par une expression de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres réels.
• Coefficient directeur : Le paramètre a dans l'expression f(x) = ax + b qui correspond à la pente de la droite représentative de la fonction.
• Ordonnée à l'origine : Le paramètre b dans l'expression f(x) = ax + b qui correspond à l'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.
• Fonction linéaire : Remarque : si b = 0 alors : f(x)

📝 Points essentiels

• Une fonction affine est définie par f(x) = ax + b, où a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.
• Si b = 0, la fonction affine devient une fonction linéaire de la forme f(x) = ax.

💡 À retenir

Une fonction affine est définie par f(x) = ax + b, où a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.

📖 2. Équation réduite d'une droite et sens de variation selon le coefficient directeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation réduite d'une droite : Une forme d'expression algébrique d'une droite dans le plan cartésien, écrite sous la forme y = ax + b, où a représente la pente et b l'ordonnée à l'origine.

📝 Points essentiels

• L'équation réduite d'une droite est y = ax + b, où a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.
• Méthode pour déterminer l'équation réduite d'une droite connaissant les coordonnées de 2 points
• D2 d'équation : -15x + 3y = 21
• D1 d'équation : 4x - 2y = -2 et D2 d'équation : -15x + 3y = 21

💡 À retenir

L'équation réduite d'une droite relie directement le coefficient directeur à son comportement graphique, indiquant si la droite monte, descend ou reste constante.

📖 3. Vecteur directeur d'une droite et colinéarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur non nul : Un vecteur dont la norme est strictement positive, c'est-à-dire différent du vecteur nul.

📝 Points essentiels

• Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul ayant la même direction que la droite.
• On appelle vecteur directeur d'une droite tout vecteur non nul de même direction que celle-ci
• Alors un vecteur col à u est v (3/-2)

💡 À retenir

Identifier la direction d'une droite à travers ses vecteurs directeurs et comprendre la notion de colinéarité permet de caractériser leur orientation et leur relation.

📖 4. Position relative de deux droites : parallèles, sécantes, colinéaires et détermination par système

🔑 Notions clés & Définitions

• Parallèles : Équation de d2 a = c' x = c' y
• Sécantes : Relation entre deux droites qui ont des coefficients directeurs différents et un unique point d'intersection déterminé par la résolution d'un système d'équations.

📝 Points essentiels

• Deux droites sont colinéaires si elles sont parallèles et partagent tous leurs points, c'est-à-dire qu'elles représentent la même droite.
• Même coefficient directeur Ou résolution du système impossible

💡 À retenir

Deux droites sont colinéaires si elles sont parallèles et partagent tous leurs points, c'est-à-dire qu'elles représentent la même droite.

📖 5. Équation cartésienne d'une droite et passage entre formes réduite et cartésienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cartésienne : Expression algébrique d'une droite dans le plan sous la forme ax + by + c = 0, où a, b, c sont des nombres réels.

📝 Points essentiels

• L'équation cartésienne d'une droite s'écrit sous la forme ax + by + c = 0 avec a, b, c réels.
• L'équation réduite y = mx + p peut être obtenue à partir de l'équation cartésienne en isolant y lorsque b ≠ 0.
• Inversement, on peut passer d'une équation réduite à une équation cartésienne en réarrangeant les termes.
• Equations cartésienne d'une droite

💡 À retenir

Maîtriser la conversion entre les différentes formes d'équations d'une droite permet de mieux l'utiliser dans divers contextes géométriques.

📖 6. Méthode pour déterminer l'équation réduite d'une droite à partir de deux points

🔑 Notions clés & Définitions

Calcul du coefficient directeur à partir de deux points :
Le coefficient directeur d'une droite passant par deux points A(xA, yA) et B(xB, yB) est une valeur qui mesure la pente ou l'inclinaison de la droite. Il se calcule en faisant la différence des ordonnées divisée par la différence des abscisses :
a = (yB - yA) / (xB - xA).
Ce rapport indique combien y varie lorsque x augmente d'une unité, en tenant compte que les points doivent être distincts en x pour que le calcul soit valable.

Détermination de l'ordonnée à l'origine à partir d'un point et du coefficient directeur :
L'ordonnée à l'origine, notée b, correspond à la valeur de y lorsque x est nul. Elle se trouve en remplaçant dans l'équation y = ax + b un point connu de la droite, puis en isolant b :
b = y - ax.
Ce calcul permet d'obtenir la position de la droite par rapport à l'origine du repère.

Équation réduite d'une droite à partir de deux points :
Une fois le coefficient directeur a et l'ordonnée à l'origine b déterminés, l'équation de la droite peut s'écrire sous la forme y = ax + b.
Cette forme est dite "réduite" car elle exprime directement y en fonction de x, facilitant la lecture de la pente et du positionnement par rapport à l'origine.

📝 Points essentiels

• Le coefficient directeur a d'une droite passant par deux points A(xA, yA) et B(xB, yB) est :

• a = (yB - yA) / (xB - xA).

• Ce calcul nécessite que xA ≠ xB, sinon la division par zéro est impossible, ce qui indique une droite verticale.

• L'ordonnée à l'origine b se calcule en remplaçant un point dans l'équation y = ax + b :

• b = y - ax.

• Par exemple, en utilisant le point A(xA, yA), on obtient :

• b = yA - a * xA.

• L'équation réduite de la droite est alors :

• y = ax + b.

• Elle permet de connaître la valeur de y pour toute valeur de x, en utilisant les valeurs calculées de a et b.

💡 À retenir

Pour construire l'équation réduite d'une droite, il faut d'abord déterminer son coefficient directeur à partir de deux points distincts, puis calculer l'ordonnée à l'origine en utilisant un point et ce coefficient. L'équation finale y = ax + b synthétise la position et l'inclinaison de la droite dans le plan.

📖 7. Méthode pour vérifier si un point appartient à une droite donnée

🔑 Notions clés & Définitions

Appartenance d'un point à une droite :
Il s'agit de déterminer si un point de coordonnées (x, y) se trouve sur une droite dont l'équation est donnée. La condition repose sur la vérification que les coordonnées du point satisfont l'équation de la droite.

Substitution dans l'équation réduite d'une droite :
C'est le procédé consistant à remplacer dans l'équation y = ax + b, les valeurs de x et y du point considéré. La substitution permet de transformer l'équation en une expression numérique, facilitant la vérification de sa validité.

Vérification d'égalité :
Elle consiste à comparer le membre de gauche et le membre de droite de l'équation après substitution. Si ces deux membres sont égaux, le point appartient à la droite ; sinon, il ne lui appartient pas.

📝 Points essentiels

• Pour qu'un point M(x, y) appartienne à une droite d'équation y = ax + b, il faut que la relation y = ax + b soit vérifiée avec ses coordonnées. Autrement dit, en remplaçant x par la valeur de x du point et y par celle de y, l'égalité doit être respectée.

• La vérification se réalise en effectuant la substitution : on remplace x et y dans l'équation par leurs valeurs respectives. Ensuite, il faut comparer les deux membres de l'égalité obtenue. Si ces deux expressions sont identiques, cela confirme que le point appartient à la droite.

• Exemple : si la droite a pour équation y = 2x + 5, et que le point M(-2, -1), on vérifie en remplaçant x par -2 et y par -1 :

• -1 ?= 2 * (-2) + 5

• -1 ?= -4 + 5

• -1 = 1, ce qui est faux, donc le point n'appartient pas à la droite.

• En revanche, si le point est (0, 5) :

• 5 ?= 2 * 0 + 5

• 5 = 5, la relation est vérifiée, le point appartient à la droite.

💡 À retenir

Utiliser la substitution dans l'équation d'une droite permet de vérifier simplement si un point donné appartient à cette droite en comparant les deux membres après remplacement. La vérification repose sur une égalité numérique, garantissant une méthode claire et efficace.

📖 8. Détermination d'une équation cartésienne connaissant un point et un vecteur directeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur colinéaire : Relation entre deux vecteurs dont les coordonnées sont proportionnelles, ce qui équivaut à ce que le déterminant formé par leurs composantes soit nul.
• Détermination d'une équation cartésienne : Processus consistant à trouver l'équation d'une droite en imposant que le vecteur reliant un point donné à un point quelconque de la droite soit colinéaire au vecteur directeur de cette droite.

📝 Points essentiels

• L'équation cartésienne d'une droite passant par un point A(xA,yA) et de vecteur directeur u = (u1,u2) est obtenue en imposant que le vecteur AM soit colinéaire à u, soit det(AM,u) = 0.
• V méthode de détermination d'une équation cartésienne connaissant d'un point A et d

💡 À retenir

L'équation cartésienne d'une droite passant par un point A(xA,yA) et de vecteur directeur u = (u1,u2) est obtenue en imposant que le vecteur AM soit colinéaire à u, soit det(AM,u) = 0.

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des formes d'équations de droite

Méthodes pour déterminer l'équation d'une droite

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la forme réduite et la forme cartésienne de l'équation d'une droite.
2. Oublier de vérifier que xB ≠ xA lors du calcul du coefficient directeur.
3. Utiliser une équation sans simplifier ou réarranger correctement.
4. Vérifier l'appartenance d'un point en remplaçant dans l'équation sans vérifier l'égalité.
5. Ne pas faire attention à la cohérence des signes lors du passage entre formes.
6. Confondre vecteur directeur et vecteur normal dans la détermination de l'équation.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire une équation réduite à partir de deux points.
2. Savoir convertir entre forme réduite et forme cartésienne.
3. Vérifier si un point appartient à une droite donnée.
4. Calculer le coefficient directeur d'une droite à partir de deux points.
5. Trouver l'ordonnée à l'origine à partir d'un point et du coefficient directeur.
6. Déterminer si deux droites sont parallèles, sécantes ou colinéaires.
7. Utiliser la méthode du système pour déterminer la position relative de deux droites.
8. Construire l'équation cartésienne d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur directeur.