Fiche de révision : Modèle binomial et valorisation d'options

📋 Plan du Cours

1. Modèle Cox-Ross-Rubinstein
2. Arbitrage et Probabilités
3. Évolution binomiale d'un actif
4. Calcul de la prime d'option
5. Hedging et Delta
6. Extensions multi-périodes
7. Calcul u et d
8. Options américaines vs européennes
9. Application à la parité call-put

📖 1. Modèle Cox-Ross-Rubinstein

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre binomial (Cox, Ross et Rubinstein, 1979) : Représentation discrète de l'évolution du prix d’un actif sous forme d’un arbre à deux branches à chaque étape, illustrant toutes les trajectoires possibles du sous-jacent.
• Probabilité risque-neutre (q) : Probabilité artificielle calculée pour évaluer le prix de l’option en neutralisant le risque, donnée par $q = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$, où $r$ est le taux sans risque, $u$ et $d$ sont les facteurs de croissance à la hausse et à la baisse.
• Hedging delta (∆) : Quantité d’actifs à détenir pour neutraliser le risque de l’option, calculée par $\Delta = \frac{c_{u} - c_{d}}{S_{0} (u - d)}$, où $c_{u}$ et $c_{d}$ sont les valeurs de l’option dans les états haut et bas.
• Valeur de l’option en période t (c0) : Prix actuel de l’option, obtenu par la formule $c_{0} = e^{-r \Delta t} (q c_{u} + (1 - q) c_{d})$, intégrant la probabilité risque-neutre.
• Estimation u et d (volatilité) : Paramètres de croissance à la hausse et à la baisse, estimés par $u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$ et $d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}$, où $\sigma$ est la volatilité du sous-jacent.
• Extension multi-périodes : Construction d’un arbre à n périodes, où le prix évolue selon des facteurs $u$ et $d$, permettant de modéliser la trajectoire du sous-jacent sur une durée plus longue.

📝 Points essentiels

• Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein (1979) simplifie la valorisation des options en utilisant un arbre binomial discret, évitant la complexité du mouvement brownien continu.
• La probabilité risque-neutre $q$ permet d’évaluer l’espérance de l’option sans arbitrage, indépendamment des probabilités réelles de mouvement du sous-jacent.
• La construction de l’arbre repose sur l’estimation de $u$ et $d$, liés à la volatilité $\sigma$, pour refléter la variabilité du prix.
• La valeur de l’option est calculée par rétrogradation (backward induction) à partir de la valeur à l’échéance, en utilisant la formule de valorisation sans arbitrage.
• La méthode s’étend naturellement à plusieurs périodes, avec une formule combinant toutes les trajectoires possibles via une distribution binomiale.

💡 À retenir

Le modèle Cox-Ross-Rubinstein offre une approche intuitive et flexible pour la valorisation des options, en discretisant l’évolution du sous-jacent et en utilisant la probabilité risque-neutre pour assurer l’absence d’arbitrage.

📖 2. Arbitrage et Probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbitrage : Opportunité de réaliser un profit sans risque ni investissement initial, en exploitant des incohérences de prix sur différents marchés ou produits financiers. (AUTEUR : Cox, Ross et Rubinstein, 1979)**

• Absence d'Arbitrage Opportunités (AAO) : Hypothèse fondamentale en finance selon laquelle il n'existe pas de stratégie permettant un profit sans risque. Elle implique que d < 1 + r < u dans un modèle binomial discret. (AUTEUR : Cox, Ross et Rubinstein, 1979)**

• Probabilité Risquée (q) : Probabilité subjective ou réelle ajustée, utilisée dans le modèle binomial pour calculer la valeur attendue des payoffs, intégrant la neutralité au risque. Elle est donnée par :
  $q = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$
  où $u$ et $d$ sont les facteurs de croissance en cas de mouvement "up" ou "down". (AUTEUR : Cox, Ross et Rubinstein, 1979)**

• Processus de marche aléatoire : Modèle selon lequel le prix d’un actif évolue de façon stochastique, avec chaque étape indépendante et suivant une distribution probabiliste. La trajectoire de l’actif est représentée par un arbre binomial. (AUTEUR : Cox, Ross et Rubinstein, 1979)**

• Hedging Delta (∆) : Quantité d’actifs à détenir pour neutraliser le risque d’un portefeuille face à une variation infinitésimale du prix de l’actif sous-jacent. Calculée comme :
  $\Delta = \frac{c_{u} - c_{d}}{S_{0} (u - d)}$
  où $c_{u}$ et $c_{d}$ sont les payoffs dans les états "up" et "down". (AUTEUR : Cox, Ross et Rubinstein, 1979)**

📝 Points essentiels

• Le modèle binomial simplifie la complexité de la valorisation des options en représentant l’évolution du prix de l’actif sous-jacent par un arbre à deux branches à chaque étape, correspondant à un mouvement "up" ou "down".
• La formule de la probabilité neutre au risque $q$ permet de calculer la valeur attendue des payoffs futurs en actualisant au taux sans risque $r$, sans dépendre des probabilités réelles de mouvement.
• La condition d’AAO (d < 1 + r < u) garantit qu’aucune stratégie d’arbitrage ne peut générer un profit sans risque, assurant la cohérence du modèle.
• La construction d’un portefeuille de couverture (hedging) avec une quantité Δ permet de neutraliser le risque de variation du prix de l’actif, facilitant la valorisation de l’option.
• La méthode de backward induction, en partant de la valeur à l’échéance, permet de remonter jusqu’au prix actuel de l’option en utilisant la formule :
  $c_{0} = e^{-r \Delta t} (q c_{u} + (1 - q) c_{d})$
  où $c_{u}$ et $c_{d}$ sont les valeurs dans les états "up" et "down".

💡 À retenir

L’arbitrage empêche toute opportunité de profit sans risque, ce qui permet de modéliser et de valoriser les options via le principe de neutralité au risque, en utilisant un arbre binomial et la formule de probabilité risquée $q$. La construction d’un portefeuille de couverture est essentielle pour assurer une valorisation cohérente et sans arbitrage.

📖 3. Évolution binomiale d'un actif

🔑 Notions clés & Définitions

• Modèle binomiale (Cox, Ross et Rubinstein, 1979) : Modèle discret représentant l'évolution du prix d’un actif sous forme d’un arbre à deux branches par période, où le prix peut augmenter (u) ou diminuer (d).
• Probabilité risque-neutre (q) : Probabilité implicite dans le modèle, utilisée pour calculer la valeur attendue de l’actif en l'absence d’arbitrage, indépendamment des probabilités réelles de mouvement.
• Hedging delta (∆) : Quantité d’actifs à détenir pour neutraliser le risque d’un portefeuille, calculée comme le ratio de variation du prix de l’option sur la variation du prix de l’actif sous-jacent dans le modèle binomiale.
• Absence d’arbitrage (AAO) : Hypothèse fondamentale assurant que le prix d’un actif ne permet pas de réaliser un profit sans risque, impliquant d < 1 + r < u dans le modèle à une période (avec r taux sans risque).
• Évolution stochastique (Brownian motion) : Concept lié à la modélisation continue du mouvement des prix, utilisé dans d’autres modèles comme Black-Scholes, mais ici adapté à un cadre discret (binomiale).
• Extension multi-périodes : Généralisation du modèle binomiale à plusieurs périodes, permettant de représenter l’évolution du prix sur un horizon plus long avec n étapes, en utilisant la formule multinomiale pour la valorisation.

📝 Points essentiels

• Le modèle binomiale est une approximation discrète de l’évolution continue des prix, basé sur une marche aléatoire avec deux états possibles par période (u ou d).
• La probabilité risque-neutre q est donnée par :
  $q = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$
  où $\Delta t$ est la durée d’une période, $r$ le taux sans risque, $u$ et $d$ les facteurs de hausse et de baisse.
• La valorisation d’une option dans ce cadre repose sur la construction d’un portefeuille sans risque (delta hedge) et la formule d’actualisation du payoff attendu sous la probabilité risque-neutre :
  $c_0 = e^{-r \Delta t} \left( q c_u + (1 - q) c_d \right)$
  où $c_u$ et $c_d$ sont les valeurs de l’option dans les états "up" et "down".
• La méthode s’étend à plusieurs périodes en utilisant la formule multinomiale, permettant de modéliser des trajectoires plus complexes.
• La neutralité au risque implique que la probabilité réelle n’interfère pas dans le calcul du prix, seule la structure de l’arbre et le taux sans risque comptent (voir AUTEUR (1979)).
• La construction d’un portefeuille hedge implique le calcul du delta :
  $\Delta = \frac{c_{u} - c_{d}}{S_{0} (u - d)}$
  pour neutraliser le risque à chaque étape.

💡 À retenir

Le modèle binomiale permet de représenter l’évolution du prix d’un actif sous forme d’un arbre à deux branches, en utilisant la probabilité risque-neutre pour valoriser les options de manière cohérente avec l’absence d’arbitrage, et peut être étendu à plusieurs périodes pour une approximation plus précise.

📖 4. Calcul de la prime d'option

🔑 Notions clés & Définitions

• Prime d’option : Montant payé par l’acheteur à le vendeur pour obtenir le droit, mais non l’obligation, d’acheter ou vendre un actif sous-jacent à un prix fixé (strike) avant ou à l’échéance.
• Valeur intrinsèque : La valeur immédiate d’une option si elle était exercée à l’instant, par exemple, pour un call : max(ST - K, 0).
• Valeur temps : La différence entre la prime d’une option et sa valeur intrinsèque, représentant la probabilité que l’option devienne profitable avant l’échéance.
• Modèle binomial Cox-Ross et Rubinstein (1979) : Approche discrète pour évaluer la prime d’option en construisant un arbre à n périodes, en utilisant des probabilités de mouvement up/down (voir CRITIQUE).
• Probabilité risque-neutre (q) : Probabilité artificielle utilisée dans le modèle binomial pour calculer l’espérance de l’évolution du prix, indépendante des vraies probabilités de marché, définie par CRITIQUE : q = (er - d) / (u - d).
• Hedging delta (∆) : Quantité d’actif sous-jacent à détenir pour neutraliser le risque d’un portefeuille, calculée comme le rapport de variation du prix de l’option à celle de l’actif sous-jacent (voir CRITIQUE).
• Arbitrage : Opportunité de réaliser un profit sans risque, que le modèle cherche à éliminer pour assurer une valorisation cohérente (voir CRITIQUE).
• Équation de la prime (formule de Cox-Ross-Rubinstein) : c0 = e^(-r∆t) [q cu + (1 - q) cd], où cu et cd sont les valeurs de l’option en cas de mouvement up ou down, et q la probabilité risque-neutre (voir CRITIQUE).

📝 Points essentiels

• La prime d’option se décompose en valeur intrinsèque et valeur temps, cette dernière étant liée à la volatilité, au temps restant et à la possibilité de profit futur (voir AUTEUR : Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• Le modèle binomial construit un arbre de prix pour l’actif sous-jacent, permettant de calculer la prime en remontant l’arbre à partir de la valeur à l’échéance (voir AUTEUR : Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• La probabilité risque-neutre q est calculée indépendamment des vraies probabilités de marché, en utilisant u, d, et le taux d’intérêt sans risque, ce qui simplifie la valorisation (voir CRITIQUE).
• La formule de la prime d’une option européenne dans le modèle binomial est :
  c0 = e^(-r∆t) [q cu + (1 - q) cd], avec q = (er - d) / (u - d).
• La méthode permet également de valoriser des options américaines en tenant compte de la possibilité d’exercice anticipé, en comparant la valeur de l’exercice immédiat et la valeur de l’attente (voir CRITIQUE).
• La volatilité implicite, estimée à partir du prix de marché, influence directement u et d, et donc la prime d’option (voir CRITIQUE).

💡 À retenir

La prime d’option se calcule en utilisant un arbre binomial, où la probabilité risque-neutre permet d’évaluer la valeur future de l’option sans dépendre des vraies probabilités de marché, en assurant une absence d’arbitrage.

📖 5. Hedging et Delta

🔑 Notions clés & Définitions

• Delta (Δ) : La sensibilité du prix d'une option par rapport à une variation infinitésimale du prix de l'actif sous-jacent. (Cox, Ross et Rubinstein, 1979) : « Le delta est la dérivée du prix de l'option par rapport au prix de l’actif sous-jacent. »
• Hedging delta (Delta hedging) : La stratégie consistant à ajuster la position dans l’actif sous-jacent pour neutraliser le risque lié à une variation du prix de cet actif.
• Portefeuille riskless (sans risque) : Un portefeuille composé d’actifs dont la valeur future est connue avec certitude, permettant de fixer la valeur de l’option sans risque d’arbitrage.
• Gains de couverture (Hedging gains) : Les profits réalisés en ajustant continuellement la position delta pour compenser les variations de prix de l’actif sous-jacent.
• Relation entre delta et prix d’option : Le delta permet de déterminer la quantité d’actifs à détenir pour couvrir une position en option, en assurant une couverture parfaite dans le modèle binomial (voir Cox, Ross et Rubinstein, 1979).

📝 Points essentiels

• Le delta est calculé comme la dérivée du prix de l’option par rapport au prix de l’actif sous-jacent, permettant de mesurer la variation du prix de l’option pour une petite variation du sous-jacent.
• La stratégie de hedging consiste à détenir une quantité Δ d’actifs sous-jacent pour neutraliser le risque de fluctuation du prix de l’option.
• Dans le modèle binomial, le delta est déterminé par la formule :
  $\Delta = \frac{c_{u} - c_{d}}{uS_0 - dS_0}$
  où $c_{u}$ et $c_{d}$ sont les valeurs de l’option dans les états "up" et "down".
• La couverture delta est ajustée à chaque période pour maintenir la neutralité du portefeuille face aux variations du sous-jacent.
• La relation entre delta et la stratégie de couverture est fondamentale pour la gestion du risque dans la modélisation binomiale et Black-Scholes (voir Cox, Ross et Rubinstein, 1979).
• La stratégie de hedging permet également de déterminer le prix de l’option en construisant un portefeuille sans risque, dont la valeur doit évoluer au taux sans risque (voir section 4).

💡 À retenir

Le delta est un indicateur clé permettant de construire une stratégie de couverture efficace en ajustant la position dans l’actif sous-jacent pour neutraliser le risque de fluctuation, ce qui est essentiel pour la gestion des options dans le cadre du modèle binomial.

📖 6. Extensions multi-périodes

🔑 Notions clés & Définitions

Modèle binomial multi-périodes : Approche permettant de modéliser l'évolution du prix d’un actif sur plusieurs périodes discrètes en utilisant un arbre binomial, où à chaque étape, le prix peut augmenter ou diminuer selon des paramètres spécifiques. (Cox, Ross et Rubinstein, 1979)

u et d (facteurs de croissance) : Coefficients représentant respectivement la hausse (u) ou la baisse (d) du prix de l’actif à chaque période. Ils sont estimés via la volatilité σ et la durée Δt, avec u = e^{σ√Δt} et d = e^{-σ√Δt} (Cox, Ross et Rubinstein, 1979)

Probabilité risque-neutre (q) : Probabilité artificielle utilisée pour la valorisation sans arbitrage, intégrant la volatilité et le taux d’intérêt, donnée par q = (erΔt - d) / (u - d). Elle permet de calculer la valeur attendue des payoffs dans l’arbre binomial (Cox, Ross et Rubinstein, 1979)

Extension multi-périodes : Généralisation du modèle binomial à n périodes, permettant de modéliser l’évolution du prix sur un horizon plus long, avec une recombinaison des branches pour simplifier le calcul (Cox, Ross et Rubinstein, 1979)

Arbre binomial recombiné : Structure où les chemins possibles se rejoignent, évitant une explosion combinatoire, facilitant le calcul de la valeur de l’option par backward induction (Cox, Ross et Rubinstein, 1979)

📝 Points essentiels

• La modélisation multi-périodes repose sur la construction d’un arbre binomial avec n étapes, où chaque branche représente une évolution du prix selon u ou d.
• La valeur de u et d est estimée à partir de la volatilité σ du sous-jacent : u = e^{σ√Δt} et d = e^{-σ√Δt}.
• La probabilité risque-neutre q est indépendante de la probabilité réelle, elle est utilisée pour calculer l’espérance de la valeur de l’option : q = (erΔt - d) / (u - d).
• La valorisation de l’option se fait par backward induction, en remontant de la maturité vers le présent, en utilisant la formule : c0 = e^{-rΔt} Σ_{i=0}^{n} (n! / (i!(n-i)!)) q^i (1-q)^{n-i} max(S_{i,n-i} - K, 0) pour une call européenne.
• La structure d’arbre recombiné permet de réduire la complexité du calcul, en regroupant les chemins ayant le même prix à chaque étape.
• La formule de la valeur de l’option dans le cadre multi-périodes est une extension de la formule à une seule étape, adaptée à plusieurs périodes.

💡 À retenir

L’extension multi-périodes du modèle binomial permet de modéliser l’évolution du prix d’un actif sur plusieurs périodes en utilisant un arbre recombiné, facilitant la valorisation précise des options dans un cadre discret et sans arbitrage.

📖 7. Calcul u et d

🔑 Notions clés & Définitions

• u (up factor) : Facteur multiplicatif représentant la hausse du prix de l’actif dans un intervalle de temps donné. Selon Cox, Ross et Rubinstein (1979), u = e^{σ√Δt}, où σ est la volatilité de l’actif et Δt la durée de la période.
• d (down factor) : Facteur multiplicatif représentant la baisse du prix de l’actif dans un intervalle de temps donné. Selon Cox, Ross et Rubinstein (1979), d = e^{−σ√Δt}.
• Volatilité (σ) : Mesure de la dispersion ou de l’incertitude sur le rendement de l’actif, utilisée pour estimer u et d.
• Δt (durée de la période) : Fréquence de l’évolution dans le modèle binomial, généralement exprimée en fraction d’année (ex : 1/4 pour un trimestre).
• Probabilité neutre q : Probabilité ajustée pour le calcul de l’espérance sous la mesure risque-neutre, donnée par q = (e^{rΔt} − d) / (u − d), où r est le taux d’intérêt sans risque (voir CRITIQUE).

📝 Points essentiels

• La détermination de u et d repose sur la volatilité σ du sous-jacent et la durée Δt de chaque période, permettant de modéliser la croissance ou la décroissance du prix dans un cadre discret.
• La formule u = e^{σ√Δt} et d = e^{−σ√Δt} provient de l’estimation de la volatilité sur un intervalle court, en lien avec la loi de Brownian motion (voir Black-Scholes-Merton).
• Ces facteurs garantissent que la croissance et la décroissance sont symétriques en termes de volatilité, ce qui est cohérent avec la propriété de marche aléatoire du modèle binomial.
• La relation entre u, d, et la probabilité neutre q permet de calculer la valeur attendue de l’actif sous la mesure risque-neutre, essentielle pour l’évaluation des options (voir CRITIQUE).
• La formule de u et d est une approximation basée sur la loi normale, adaptée à un cadre discret, et suppose que la volatilité σ est constante dans le temps.

💡 À retenir

Les facteurs u et d, calculés via σ et Δt, modélisent la croissance ou la baisse du prix de l’actif dans le modèle binomial, permettant d’estimer la valeur des options en intégrant la volatilité du sous-jacent dans un cadre discret.

📖 8. Options américaines vs européennes

🔑 Notions clés & Définitions

• Option européenne : Option qui ne peut être exercée qu'à la date d’échéance T (voir section 2).
• Option américaine : Option qui peut être exercée à tout moment avant ou à la date d’échéance T (voir section 3).
• Valeur d’exercice anticipé : La possibilité pour une option américaine d’être exercée avant l’échéance, ce qui peut augmenter sa valeur (voir section 3).
• Hedging (couverture) : Technique de neutralisation du risque par la création d’un portefeuille composé de l’actif sous-jacent et de l’option (voir section 5).
• Delta (∆) : Quantité d’actif sous-jacent à détenir pour couvrir le risque d’un portefeuille, ajustée en fonction de l’évolution du prix de l’actif (voir section 5).
• Prix d’une option américaine vs européenne : La valeur d’une option américaine est toujours supérieure ou égale à celle d’une option européenne, en raison de la possibilité d’exercice anticipé (voir section 3).
• Exercice anticipé : La décision d’exercer une option avant la date d’échéance, pertinente pour les options américaines (voir section 3).
• Critère d’arbitrage : La non-existence d’opportunités de profit sans risque, qui impose des limites sur les prix et stratégies d’exercice (voir section 2 et 3).
• Modèle binomial (CRR, 1979) : Modèle discret permettant d’évaluer la valeur d’options américaines et européennes en construisant un arbre de prix (voir section 3).

📝 Points essentiels

• La principale différence entre options américaines et européennes réside dans la possibilité d’exercice anticipé pour les options américaines, ce qui peut leur conférer une valeur supplémentaire (voir section 3).
• La valeur d’une option américaine est toujours supérieure ou égale à celle d’une option européenne de même sous-jacent, strike et échéance, en raison de cette flexibilité (voir section 3).
• La décision d’exercice anticipé dépend de la comparaison entre la valeur immédiate de l’exercice (intrinsèque) et la valeur de conserver l’option (valeur temps).
• La modélisation par arbre binomial (CRR, 1979) permet de calculer la valeur des options américaines en remontant l’arbre, en tenant compte de l’option d’exercice à chaque étape (voir section 3).
• La couverture (hedging) d’une option américaine doit prendre en compte la possibilité d’exercice anticipé, ce qui complexifie la gestion du risque (voir section 5).
• La valeur d’une option américaine peut être décomposée en la valeur d’une option européenne plus la valeur de l’option d’exercice anticipé, qui reflète la flexibilité supplémentaire (voir section 3).
• La stratégie d’exercice optimale pour une option américaine est déterminée en comparant la valeur immédiate de l’exercice à la valeur de continuer à détenir l’option, à chaque étape (voir section 3).
• La modélisation binomiale permet aussi d’étendre le cadre à plusieurs périodes, en intégrant la possibilité d’exercice à chaque étape (voir section 3).

💡 À retenir

Les options américaines offrent une flexibilité d’exercice qui peut augmenter leur valeur par rapport aux options européennes, mais leur évaluation nécessite une modélisation plus complexe, notamment par l’arbre binomial, pour prendre en compte l’exercice anticipé.

📖 9. Application à la parité call-put

🔑 Notions clés & Définitions

• Parité call-put : Relation fondamentale en finance qui établit que pour un actif sous-jacent sans dividendes, le prix d’un call européen (c₀) et d’un put européen (p₀) avec le même strike K et la même échéance T vérifient la formule :
  $c_0 + K e^{-rT} = p_0 + S_0$
  (voir section 2, exemple de la parité).

• Prix d’un call européen (c₀) : Prix actuel d’un contrat d’option d’achat qui ne peut être exercé qu’à l’échéance, calculé via la formule de Cox-Ross et Rubinstein :
  $c_0 = e^{-rT} (q c_{u} + (1 - q) c_{d})$
  où $c_{u}$ et $c_{d}$ sont les valeurs de l’option dans les états "up" et "down" (voir section 2).

• Prix d’un put européen (p₀) : Prix actuel d’un contrat d’option de vente, calculé de façon similaire à celui du call :
  $p_0 = e^{-rT} (q p_{u} + (1 - q) p_{d})$
  avec $p_{u}$ et $p_{d}$ valeurs dans les états "up" et "down" (voir section 2).

• Probabilité risque-neutre (q) : Probabilité fictive utilisée dans la modélisation binomiale pour calculer la valeur attendue de l’option dans un cadre sans arbitrage :
  $q = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$
  (voir section 2, Trick et extensions).

• Hedging delta (∆) : Quantité d’actif sous-jacent à détenir pour neutraliser le risque d’un portefeuille d’option, calculée à partir des valeurs dans les états "up" et "down" :
  $\Delta = \frac{c_{u} - c_{d}}{S_0 (u - d)}$
  (voir section 3, delta hedging).

• Relation de parité call-put : Loi fondamentale reliant le prix d’un call, d’un put, le prix actuel de l’actif sous-jacent et la valeur actualisée du strike, permettant de vérifier la cohérence des prix d’options européennes (voir section 2, exemple de la parité).

📝 Points essentiels

• La parité call-put repose sur l’absence d’arbitrage et la possibilité de constituer un portefeuille synthétique combinant un call, un put, et l’actif sous-jacent, pour assurer une valeur constante (voir section 2, exemple de la parité).

• La formule de la parité est valable uniquement pour des options européennes sans dividendes, et à échéance identique (voir section 2).

• La relation permet de déduire le prix d’un put à partir du prix d’un call (ou inversement), en utilisant la formule :
  $p_0 = c_0 + K e^{-rT} - S_0$
  (voir section 2, exemple de la parité).

• La probabilité risque-neutre $q$ est indépendante des probabilités réelles de mouvement de l’actif, car elle sert uniquement à la valorisation dans un cadre sans arbitrage (voir section 2, Trick).

• La notion de delta permet de construire une stratégie de couverture pour neutraliser le risque lié à la variation du sous-jacent, essentielle pour comprendre la relation entre options et actifs sous-jacent (voir section 3).

• La parité est un outil de vérification des prix du marché et de détection d’éventuelles anomalies ou arbitrages (voir section 2).

💡 À retenir

La parité call-put établit une relation fondamentale entre le prix d’un call, d’un put, le prix de l’actif sous-jacent et la valeur actualisée du strike, permettant d’assurer l’absence d’arbitrage et de vérifier la cohérence des prix d’options européennes.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la probabilité réelle et la probabilité risque-neutre $q$.
2. Croire que le modèle binomial nécessite une volatilité constante, alors qu’elle est estimée à partir des données du marché.
3. Oublier que la condition d’absence d’arbitrage impose $d < 1 + r < u$.
4. Confondre la formule de la valeur de l’option à l’échéance avec la valorisation actuelle (backward induction).
5. Négliger l’impact de la fréquence des périodes ($\Delta t$) sur l’estimation de $u$ et $d$.
6. Confondre la construction d’un portefeuille de couverture (delta hedge) avec la stratégie d’investissement classique.
7. Mal interpréter l’extension multi-périodes comme une simple répétition, alors qu’elle nécessite une gestion de la complexité combinatoire.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition de l’arbre binomial selon Cox, Ross et Rubinstein (1979).
2. Savoir calculer la probabilité risque-neutre $q = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$.
3. Maîtriser la formule de valorisation de l’option par backward induction : $c_0 = e^{-r \Delta t} (q c_u + (1 - q) c_d)$.
4. Comprendre le concept de hedging delta ($\Delta$) et son calcul dans le modèle binomial.
5. Savoir estimer $u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$ et $d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}$.
6. Connaître la condition d’absence d’arbitrage : $d < 1 + r < u$.
7. Être capable d’étendre le modèle à plusieurs périodes et de construire un arbre multi-périodes.
8. Comprendre la différence entre options européennes et américaines, notamment en termes de possibilité d’exercice anticipé.
9. Savoir appliquer la parité call-put dans le cadre du modèle binomial.
10. Maîtriser la distinction entre la probabilité réelle et la probabilité neutre au risque.
11. Connaître la notion de marche aléatoire et son lien avec l’évolution binomiale.
12. Revoir la définition de l’arbitrage et ses implications dans la modélisation financière.