Multiplication scalaire et colinéarité vectorielle

📋 Plan du Cours

1. Multiplication vecteur réel
2. Propriétés calcul vecteurs
3. Norme vecteur multiplié
4. Vecteurs colinéaires
5. Signification scalaire
6. Exemples représentation

📖 1. Multiplication vecteur réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit d’un vecteur par un réel : Opération qui consiste à multiplier un vecteur $u$ par un nombre réel $k$, donnant un vecteur $ku$.

• Vecteur nul : Vecteur dont la norme est zéro, noté $0$. Produit par un réel $k$, on obtient toujours $0$.

• Propriétés de la multiplication :

  • $k(u + v) = ku + kv$ (distributivité)
  • $(k + k')u = ku + k'u$ (distributivité) par rapport à la somme des réels
  • $k(k'u) = (kk')u$ (associativité)
  • $1u = u$ (élément neutre)
  • $k0 = 0$ (multiplication par zéro)
  • Si $ku = 0$, alors $k=0$ ou $u=0$ (relation d'annulation)

• Effet sur la norme : La norme de $ku$ est $|k| \times \|u\|$.

• Signes de $k$ :

  • $k > 0$ : même direction et sens que $u$
  • $k < 0$ : même direction, sens opposé à $u$
  • $k = 0$ : vecteur nul

📝 Points essentiels