Produit scalaire et orthogonalité

📋 Plan du Cours

1. Produit scalaire définition
2. Propriétés du produit scalaire
3. Calcul avec coordonnées
4. Orthogonalité vecteurs
5. Formules de polarisation

📖 1. Produit scalaire définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire par le cosinus :
  Lorsque $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls, leur produit scalaire est défini par :
  $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\widehat{(\vec{u}, \vec{v})})$
  où $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$ sont les normes des vecteurs, et $\widehat{(\vec{u}, \vec{v})}$ est un angle orienté entre eux, exprimé en radians.
  La relation utilise la définition du cosinus dans un triangle rectangle, avec un représentant de chaque vecteur depuis un même point.

• Produit scalaire de deux vecteurs non nuls :
  C'est le produit défini par la formule ci-dessus, reliant le produit scalaire à la norme et à l'angle orienté entre les vecteurs.

• Notation $\text{angle orienté}$ :
  $\widehat{(\vec{u}, \vec{v})}$ désigne un angle orienté, exprimé en radians, qui peut être positif ou négatif selon le sens de rotation de $\vec{u}$ vers $\vec{v}$. La propriété importante : $\cos(\widehat{(\vec{u}, \vec{v})}) = \cos(\widehat{BAC})$ (dans un triangle), et $\cos(-x) = \cos(x)$.

📝 Points essentiels