Fiche de révision : Principes fondamentaux des sols et fondations

📋 Plan du Cours

1. Propriétés physiques des sols
2. Classification des sols
3. Contraintes et cercle de Mohr
4. Perméabilité, compactage et consolidation
5. Résistance au cisaillement des sols
6. Poussée, butée et rupture des sols
7. États limites et actions de calcul
8. Fondations superficielles
9. Fondations profondes et pieux
10. Murs de soutènement et poussée des terres

📖 1. Propriétés physiques des sols

🔑 Notions clés & Définitions

• Porosité : La porosité est la fraction du volume total occupée par l’ensemble des vides entre les grains, et elle vaut entre 0 et 1.
• Indice des vides e : L’indice des vides e mesure le rapport entre le volume des vides et le volume des grains solides.
• Degré de saturation Sr : Le degré de saturation Sr traduit la proportion des vides remplis par l’eau, exprimée en pourcentage.
• Teneur en eau w : La teneur en eau w est le rapport entre le poids de l’eau contenue dans le sol et le poids des solides.
• Poids volumique des grains γs : Le poids volumique des grains γs est le poids du squelette solide divisé par le volume occupé par ces grains.

📝 Points essentiels

• Le volume total vérifie $V=V_s+V_v$ avec $n=V_v/V$ et $e=V_v/V_s$ reliés par $n=e/(1+e)$, donc $e=n/(1-n)$.
• Le degré de saturation est $S_r=V_w/V_v$ et la teneur en eau est $w=W_{eau}/W_{solide}$ (en %).
• La classification par taille de pores distingue porosité réticulaire autour de $1\,\text{Å}$, colloïdale vers $100\,\text{Å}$, microporosité jusqu’à $2\times10^{-7}\,\text{m}$, capillaire de $2\times10^{-7}$ à $2\times10^{-3}\,\text{m}$, et macroporosité au-delà de $2\,\text{mm}$.
• La classification origine sépare porosité primaire (liée à la genèse) et porosité secondaire (liée à la fracturation ou à la dissolution).
• La porosité intergranulaire peut être nette si le tri des grains est bon, restreinte si les fines comblent les vides, et réduite si des dépôts diminuent la taille des pores.
• Pour la granulométrie, on fait un tamisage si le diamètre moyen est $>80\,\mu m$ et une sédimentation si le diamètre moyen est $<80\,\mu m$, avec “passing” = % massique de grains de taille $<D$.

💡 Astuce mémo

n et e : $n=\dfrac{e}{1+e}$ (les vides pèsent moins quand les solides grossissent).

📖 2. Classification des sols

🔑 Notions clés & Définitions

• Classification des sols : Méthode d’identification rapide d’un terrain à partir de la granulométrie et des limites d’Atterberg, donnant une image globale du comportement mécanique.
• Classification USCS : Système de classification proche de la méthode française, basé sur une logique comparable utilisant granulométrie et critères d’Atterberg pour qualifier les sols.
• Coupure 80 µm : Seuil granulométrique qui distingue les sols grenus des sols fins selon la proportion de grains de diamètre inférieur ou supérieur à 80 µm.
• Limites d’Atterberg : Repères empiriques appliqués aux fractions fines (< 400 µm) qui permettent de distinguer des états et de classer les sols fins via la plasticité.

📝 Points essentiels

• La classification des sols se fonde sur l’analyse granulométrique et sur les limites d’Atterberg, car elles servent à définir rapidement la nature du sol.
• Un sol est considéré grenu si plus de 50% des éléments ont un diamètre supérieur à 0,08 mm (80 µm), et fin si plus de 50% sont inférieurs à 80 µm.
• En France, on utilise une classification du Laboratoire des Ponts et Chaussées, proche de l’USCS, et on définit un sol par deux symboles.
• Le premier symbole identifie la fraction principale : G (grave), S (sable), L (limon), A (argile), T (tourbe), O (organique).
• Le second symbole indique la granulométrie : b (bien graduée, sans fraction prédominante) ou m (mal graduée, granulométrie discontinue avec prédominance).
• Pour les sols grenus, les graves et sables sont séparés notamment avec la coupure 2 mm, et la position par rapport à la ligne A des limites d’Atterberg distingue notamment les variantes limoneuses vs argileuses.

📖 3. Contraintes et cercle de Mohr

🔑 Notions clés & Définitions

• Tenseur des contraintes : Le tenseur des contraintes rassemble, en un point, toutes les composantes normales et de cisaillement définies sur les facettes possibles grâce aux équations d’équilibre.
• Contraintes principales : Les contraintes principales sont les trois contraintes normales associées aux trois directions principales du tenseur, où le cisaillement sur ces plans vaut zéro.
• Cercle de Mohr : Le cercle de Mohr est une représentation 2D qui décrit, pour toutes les facettes tournantes autour d’un point, la relation entre la contrainte normale n et le cisaillement t.
• Courbe intrinsèque : La courbe intrinsèque est l’enveloppe des cercles de Mohr correspondant à des états limites qui provoquent une perte de continuité ou une rupture locale.

📝 Points essentiels

• La matrice des composantes de contrainte $t_{ij}$ est symétrique, donc $t_{ij}=t_{ji}$, ce qui résulte des équations d’équilibre en milieu continu.
• Sur les plans principaux, deux des trois valeurs de contrainte sont nulles et les contraintes sont uniquement normales, correspondant aux valeurs principales $n_1$, $n_2$, $n_3$.
• Le cercle enveloppant (cercle de Mohr) est déterminé par les points (n,t) possibles pour les facettes quand l’élément tourne autour de la direction de la contrainte principale intermédiaire $n_2$.
• Sur le cercle de Mohr, l’angle au centre vaut le double de l’angle entre la normale à la facette et la direction de la contrainte principale majeure.
• Pour un tenseur isotrope $n_1=n_2=n_3$, les trois cercles principaux se confondent en un point et toutes les contraintes sont normales et constantes.
• Pour un cisaillement pur (tenseur plan avec $n_1=-n_2$ et $n_3=0$), le point décrivant $(n,t)$ reste sur le cercle de Mohr et les facettes perpendiculaires au plan portent la contrainte principale intermédiaire nulle.

💡 Astuce mémo

Angle Mohr : au centre = 2× angle de la normale (règle du “double”).

📖 4. Perméabilité, compactage et consolidation

🔑 Notions clés & Définitions

• Perméabilité de Darcy : La perméabilité de Darcy caractérise l’aptitude d’un sol à laisser circuler l’eau à travers ses vides interconnectés.
• Vitesse de Darcy : La vitesse de Darcy est la vitesse macroscopique utilisée dans la loi de Darcy pour relier le débit au gradient hydraulique.
• Compactage : Le compactage est la réduction des vides du sol sous une action mécanique, ce qui augmente la densité et la portance.
• Optimum Proctor : L’optimum Proctor est la teneur en eau associée au maximum du poids volumique sec lors d’un essai de compactage.
• Consolidation primaire : La consolidation primaire est le tassement progressif lié au départ d’eau interstitielle sous l’effet d’une surcharge.

📝 Points essentiels

• Dans la loi de Darcy, le débit $Q$ vérifie $Q=K\,S\,\frac{\Delta H}{L}$ (et donc $V=K\,I$), avec $I=\frac{\Delta H}{L}$ et le signe indiquant l’écoulement vers les gradients décroissants.
• La perméabilité intrinsèque $k$ (dépendant du terrain, pas du fluide) est reliée à $K$ par $K=\frac{\gamma_w}{\mu}\,k$, et s’exprime souvent en m2 (1 Darcy $\approx0{,}987\times10^{-12}$ m2).
• La charge hydraulique $H=z+\frac{P}{\gamma_w}+\frac{V^2}{2g}$ se confond généralement avec le niveau piézométrique quand les vitesses dans le sol sont faibles (terme cinétique négligeable).
• Le diagramme de Proctor a une forme en cloche : pour une énergie donnée, le poids volumique sec $\gamma_d$ est maximal à une teneur en eau $w_{opt}$ appelée optimum Proctor.
• Le tassement se décompose classiquement en trois termes : tassement instantané, consolidation primaire (départ d’eau) et compression secondaire (déformation une fois les surpressions interstitielles dissipées).
• L’œdomètre (échantillon ~70 mm de diamètre, épaisseur 12 ou 24 mm) permet de tracer notamment la compressibilité et les courbes de tassement en fonction du temps pour en déduire la consolidation (et éventuellement la perméabilité verticale).

💡 Astuce mémo

Darcy : Débit $\uparrow$ avec $K$ et la surface $S$, et avec le gradient $\Delta H/L$ : $Q\propto K\,S\,\Delta H/L$.

📖 5. Résistance au cisaillement des sols

🔑 Notions clés & Définitions

• Critère de Mohr-Coulomb : Le critère de Mohr-Coulomb relie le cisaillement limite aux contraintes normales via la cohésion c et l’angle de frottement interne φ.
• Teneur en contraintes effectives : La résistance au cisaillement dépend des contraintes effectives (pas uniquement des contraintes totales), car c’est l’action des grains les uns sur les autres qui intervient.
• Essai UU : L’essai UU correspond à une condition non consolidée et non drainée, où la surpression interstitielle se développe pendant le cisaillement.
• Essai CD : L’essai CD correspond à une condition consolidée et drainée, réalisée suffisamment lentement pour que la pression interstitielle reste nulle pendant le cisaillement.

📝 Points essentiels

• Sur un cercle principal de Mohr, l’une des trois quantités principales α, β ou γ est nulle, et le cercle enveloppant est le cercle de Mohr.
• La courbe intrinsèque peut s’écrire sous forme de critère de cisaillement limite du type τ = c + σn tan φ (avec cohésion c et angle φ).
• Dans l’essai triaxial, les paramètres c’ et φ’ sont obtenus à partir des cercles de Mohr tracés aux états de rupture en contraintes effectives.
• Essai UU : l’angle de frottement effectif déduit peut être considéré nul théoriquement si l’échantillon est saturé, et la rupture est décrite en contraintes totales sans pouvoir identifier directement les caractéristiques effectives.
• Essai CD : on draine pour rendre u = 0, puis on augmente la contrainte longitudinale sous drainage ouvert jusqu’à rupture, ce qui caractérise le comportement à long terme.
• Pour les sables, la courbe intrinsèque passe par l’origine (c = 0) et l’angle de frottement φ dépend de la compacité via $\tan \varphi = \frac{K}{e}$ (Caquot et Kérisel).

💡 Astuce mémo

Mohr → enveloppe = rupture : intrinsèque, puis Mohr-Coulomb c + σn tanφ ; UU/ CD/ CU choisissent u (0 ou non) donc changent la résistance mesurée.

📖 6. Poussée, butée et rupture des sols

🔑 Notions clés & Définitions

• Équilibre limite actif : État de rupture d’un massif permettant une dilatation latérale, où le cercle de Mohr devient tangent à la droite de Mohr-Coulomb côté poussée.
• Équilibre limite passif : État de rupture obtenu quand le massif est empêché de se dilater et contracte, conduisant à une tangence du cercle de Mohr à la droite de Mohr-Coulomb côté butée.
• Coefficient de poussée : Coefficient qui relie la contrainte horizontale effective à la contrainte verticale effective dans l’état limite actif, noté $K_a=\sigma'_{H}/\sigma'_{V}$.
• Coefficient de butée : Coefficient qui relie la contrainte horizontale effective à la contrainte verticale effective dans l’état limite passif, noté $K_p=\sigma'_{H}/\sigma'_{V}$.

📝 Points essentiels

• Pour un sol sans cohésion, l’état de poussée correspond à $K_a=\tan^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\varphi}{2}\right)=\frac{1-\sin\varphi}{1+\sin\varphi}$ et l’état de butée à $K_p=\tan^2\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi}{2}\right)=\frac{1+\sin\varphi}{1-\sin\varphi}$.
• Dans l’équilibre limite actif comme passif, la tangence du cercle de Mohr à la droite de Mohr-Coulomb traduit l’atteinte de la rupture dans tout le massif.
• Les plans de glissement font un angle $\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi}{2}$ avec $\sigma'_H$ et $\frac{\pi}{4}-\frac{\varphi}{2}$ avec $\sigma'_V$ en poussée (cas actif).
• Pour une excitation d’un mur de soutènement, l’état de poussée se développe pour des déplacements de l’ordre de $H/1000$ à $H/10000$ tandis que l’état de butée demande plutôt $H/10$ à $H/50$.
• Une déformation horizontale d’environ 1% peut suffire à atteindre la poussée, alors que la butée requiert typiquement 4% pour un sable dense et 12% pour un sable lâche.
• Pour un sol cohérent et frottant, les cercles de Mohr se ramènent à un cas sans cohésion par un décalage lié à $c'\tan\varphi$ (théorème des états correspondants) donnant des expressions de $K_a$ et $K_p$ obtenues à partir de $c'$ et $\varphi$.

💡 Astuce mémo

Ka et Kp sont « miroirs » : poussée $K_a<1$ (sol qui se dilate), butée $K_p>1$ (sol qui se contracte), avec $K_aK_p=1$ pour le sol sans cohésion.

📖 7. États limites et actions de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Démarche semi-probabiliste : approche de dimensionnement qui vise à rendre la probabilité d’atteinte d’états limites suffisamment faible via des modèles de calcul et des coefficients de sécurité.
• États limites (ELS, ELU) : situations à éviter pour l’ouvrage, où les ELS concernent le mauvais fonctionnement et l’aptitude au service, tandis que les ELU concernent la ruine, l’instabilité ou la rupture.
• Actions permanentes (G) : actions qui représentent notamment le poids de structure et de sols, ainsi que certaines actions persistantes autres que celles dues à l’eau, classées comme défavorables ou favorables.
• Valeur caractéristique et valeur de calcul : valeur caractéristique utilisée comme référence (côté défavorable) puis ajustée par coefficients pour obtenir la valeur de calcul servant aux comparaisons avec les états limites.

📝 Points essentiels

• La vérification de dimensionnement s’écrit sous la forme Ed ≤ Rd, où Ed est l’effet calculé des actions et Rd la valeur limite à ne pas dépasser (résistance, déplacement, etc.).
• Les actions sont classées en G permanentes, Q variables et FA accidentelles, et pour l’eau on distingue souvent Fw.
• Les combinaisons à l’ELU utilisent une combinaison fondamentale avec des coefficients de sécurité partiels et, pour l’action variable de base, un coefficient de combinaison i0ψ valant 0,77 dans les cas courants.
• Dans les combinaisons accidentelles, on utilise une valeur fréquente pour Q1 et une valeur quasi permanente pour les autres variables, via des coefficients ψ adaptés à la situation.
• Le principe des coefficients partiels consiste à pondérer les valeurs caractéristiques : des coefficients γG/γQ pour les actions et γM pour les propriétés des matériaux donnent les valeurs de calcul, avec des sens majorant ou minorant selon le cas.

📖 8. Fondations superficielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fondations superficielles : Fondations faiblement encastrées qui transmettent principalement les charges aux couches superficielles du sol.
• Profondeur critique : Profondeur au-dessous de laquelle la résistance sous la base de la fondation n’augmente plus.
• Radier : Fondation superficielle dont toute la surface du bâtiment sert de base.
• Semelle : Fondation superficielle ne correspondant qu’à une partie de la surface du bâtiment.
• Contrainte de référence : Contrainte conventionnelle utilisée pour comparer une sollicitation à une contrainte de rupture du sol sous la base de la fondation.

📝 Points essentiels

• Une fondation est dite superficielle si $De<1{,}5B$, profonde si $De>5B$, et semi-profonde si $1{,}5B<De<5B$.
• Pour les fondations superficielles, l’étude impose au minimum de vérifier la capacité portante du sol et le tassement sous charges de fonctionnement.
• La capacité portante correspond à la charge ultime $Q_l$, au-delà de laquelle les déplacements deviennent incontrôlables et le sol ne supporte plus de charge supérieure.
• Pour une contrainte verticale centrée, la contrainte ultime s’écrit $q_u=N_q q \, rac{ ext{terme profondeur}}{}+N_c c+N_\gamma\gamma\,B$ (forme générale à 3 termes) où $N_q,N_c,N_\gamma$ dépendent de $\varphi$.
• En conditions non drainées, $c_u$ et $\varphi=0$ donnent la relation $q_u=c_u N_c+\gamma D N_\gamma$ avec $\gamma N_\gamma$ lié au poids du sol latéral.
• Pour l’ELU de mobilisation de la capacité portante, la condition à vérifier est $q'_{u}\le \gamma_q\,\big(q_{ref}+\tfrac{1}{3}(q_{u}-q_{ref})\big)$, avec la même forme pour les ELS mais des valeurs différentes de $\gamma_q$ et de la sollicitation combinée.

💡 Astuce mémo

Capacité portante = “charger jusqu’au $Q_l$” puis comparer via $q_{ref}$ (3/4 de la zone comprimée).

📖 9. Fondations profondes et pieux

🔑 Notions clés & Définitions

• Fondation profonde : Une fondation profonde transmet les efforts à des couches profondes en mobilisant à la fois la pointe et le frottement latéral le long du fût.
• Pieu : Un pieu désigne une fondation profonde dont la charge est reprise par la pointe et surtout par le contact latéral entre le pieu et le sol.
• Pieu refoulant : Un pieu refoulant est mis en place en comprimant le sol autour du pieu, ce qui rapproche l’interface d’un état de butée.
• Charge de fluage : La charge de fluage est la charge limite au-delà de laquelle l’enfoncement du pieu ne se stabilise plus dans le temps.

📝 Points essentiels

• Une fondation est dite profonde si son encastrement est supérieur à 5 fois sa largeur (De > 5 B).
• Dans un pieu, la résistance se décompose en pointe et frottement latéral : $Q_u=Q_{pu}+Q_{su}$.
• La charge limite $Q_u$ est prise conventionnellement à l’enfoncement $B/10$ ou à une vitesse d’enfoncement de $1$ à $5\,\text{mm/min}$.
• La charge de fluage $Q_c$ correspond à la charge pour laquelle l’enfoncement ne se stabilise plus dans le temps.
• Le frottement négatif apparaît quand le sol est en cours de tassement : le pieu « retient » le sol et le frottement latéral mobilisé devient opposé au frottement positif.

💡 Astuce mémo

Qu = pointe Qpu + frottement latéral Qsu : pense « pointe + peau » pour la capacité d’un pieu.

📖 10. Murs de soutènement et poussée des terres

🔑 Notions clés & Définitions

• Mur de soutènement : Ouvrage destiné à reprendre la poussée des terres et à la transmettre au sol via son poids, des ancrages ou un encastrement.
• Poussée des terres : Effort horizontal mobilisé par le sol derrière le mur en fonction de l’état limite et des déplacements admissibles du soutènement.
• Butée des terres : Effort horizontal mobilisé lorsque le sol est dans un état de compression latérale contre le mur, plus critique que la poussée pour l’adhérence.”

📝 Points essentiels

• La stabilité d’un mur poids en externe se vérifie notamment au renversement, au glissement, puis vis-à-vis de la résistance du sol de fondation et du “grand glissement” du talus environnant avec un coefficient de sécurité global de 1,5 ou 2.
• Le coefficient de sécurité au renversement FR se calcule comme un rapport de moments stabilisants sur moments de renversement et doit être ≥ 1,5 (cas ELU dans la réglementation actuelle).
• Le coefficient de sécurité au glissement FG vaut $F_G=\dfrac{N\,\tan\varphi^*}{T}$ et doit être ≥ 1,5, avec en pratique souvent $\tan\varphi^*\approx\dfrac{2}{3}\tan\varphi$.
• Pour un mur, si l’excentricité $e/B>1/6$, la résultante sort du tiers central et il apparaît un risque de traction sous une partie de la base menant au décollement.
• La méthode de Coulomb (1773) suppose un plan de rupture et une direction de force connue liée à l’angle mur-sol, mais ne donne pas le point d’application exact de la poussée (on l’assume en général au tiers de la hauteur).
• La méthode de Rankine suppose une rupture généralisée et l’absence de frottement mur-sol, donne une répartition linéaire des contraintes et surestime la poussée tout en sous-estimant la butée, donc globalement sous-estime le coefficient de sécurité.

💡 Astuce mémo

Coulomb=plan de rupture, Rankine=frottement nul (interface lisse), Boussinesq=“rugosité” δ (frottement sol/mur) donc plus vrai.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Verges mécaniques : UU vs CD (cisaillement triaxial)

Poussée vs butée (sol sans cohésion)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre porosité n et indice des vides e : n = Vv/V et e = Vv/Vs, avec la relation n = e/(1+e).
2. Croire que le degré de saturation Sr vaut “l’eau totale/volume solide” : Sr = Vw/Vv (et s’exprime en %), alors que w est un rapport de poids (eau/solide).
3. Mélanger la classification par taille des grains et les deux symboles : “grenu/fin” dépend de 80 μm (50% seuil), tandis que le système utilise un 1er symbole (G,S,L,A,T,O) et un 2e (b ou m).
4. Interpréter le cercle de Mohr comme unique cercle “de rupture” : la courbe intrinsèque est l’enveloppe de cercles correspondant à des états-limites (ce n’est pas le cercle instantané d’un seul état).
5. Oublier que la résistance au cisaillement dépend des contraintes effectives : τ dépend de c’ et φ’ quand u=0 (CD), pas de c et φ des contraintes totales en général.
6. Se tromper d’essai en lisant φu : en UU, la rupture est décrite en contraintes totales et l’angle effectif peut être considéré nul théoriquement si saturation, mais on ne déduit pas directement les caractéristiques effectives à partir d’un seul cercle effectif.
7. Confondre poussée et butée : Ka < 1 (ordre “poussée”, sol qui se dilate) et Kp > 1 (ordre “butée”, sol qui se contracte), avec des déplacements de développement très différents.

✅ Checklist Examen

1. Donner les définitions exactes de n, e, Sr, w et les relations liant V=Vs+Vv et n=e/(1+e).
2. Classer la porosité par ordre de grandeur des pores (réticulaire, colloïdale, micro-, capillaire, macro-) et par origine (primaire/secondaire).
3. Expliquer les types morphologiques de porosité intergranulaire (simple/nette, restreinte, réduite) et l’idée “double porosité”.
4. Décrire la logique de classification des sols : seuil 80 μm (grenu/fin) et le double symbole (1er symbole nature, 2e symbole b/m).
5. Rappeler la détermination granulométrique : tamisage si diamètre moyen >80 μ et sédimentation si <80 μ, et le sens de passing (% massique < D).
6. Présenter le tenseur des contraintes et la symétrie t_ij=t_ji, puis définir contraintes principales et cercle de Mohr (n, t) et la règle “angle au centre = double angle”.
7. Relier courbe intrinsèque et rupture : elle est l’enveloppe de cercles de Mohr correspondant à des états-limites qui provoquent une perte de continuité/rupture locale.
8. Pour Darcy et la perméabilité : énoncer la loi V=−k/μ grad(p+ρgz) (ou Q=K S ΔH/L), distinguer K de k, et rappeler les ordres de grandeur K en m/s (selon le cours).
9. Pour le compactage : expliquer le diagramme Proctor (courbe en cloche), définir wopt et γd,max, et dire comment l’optimum Proctor dépend de l’énergie.
10. Pour la consolidation : décomposer le tassement (instantané, consolidation primaire, compression secondaire) et donner l’objectif du modèle de Terzaghi (équation de consolidation + notion de degré de consolidation).
11. Pour la résistance : donner la forme du critère de Mohr-Coulomb (c, φ) via l’enveloppe τ=c+σn tanφ et distinguer UU vs CD (u se développe vs u=0 pendant le cisaillement).
12. Pour les terres : écrire Ka et Kp du sol sans cohésion, donner l’ordre de déplacement menant à poussée vs butée, et interpréter Ka<1 et Kp>1.
13. Pour la conception : énoncer la démarche semi-probabiliste avec vérification Ed≤Rd, et les combinaisons ELU (fondamentales et accidentelles, ψQ0=0,77 “cas courants”).
14. Pour les fondations superficielles : rappeler la condition de superficialité De<1,5B (et profonde De>5B), la charge limite Ql et l’idée de contrainte de référence qref à 3/4 de la largeur comprimée.