Fiche de révision : Analyse des fonctions quadratiques et leur forme canonique

📋 Plan du Cours

1. Définition et forme canonique
2. Sommet et sens de variation
3. Discriminant et factorisation

📖 1. Définition et forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du second degré : Fonction qui s’écrit sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a$, $b$ et $c$ réels et $a\neq 0$.
• Forme canonique : Écriture d’une fonction du second degré sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
• Sommet S(α;β) : Point $S(\alpha;\beta)$ de la parabole correspondant au minimum ou maximum selon le signe de $a$.

📝 Points essentiels

• Dans $f(x)=ax^2+bx+c$, le coefficient $a$ est non nul, avec $a$, $b$ et $c$ réels.
• La forme canonique s’obtient avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
• Le sommet $S(\alpha;\beta)$ correspond à la valeur $\beta$ atteinte par $f(x)$ lorsque $x=\alpha$.
• On garde le même $a$ dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ pour décrire l’ouverture de la parabole.

📖 2. Sommet et sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Sens de variation : Direction du changement de $f(x)$ quand on s’éloigne du sommet, déterminée par l’ouverture de la parabole.
• Ouverture vers le haut : Configuration d’une parabole quand $a>0$, avec un sommet qui correspond alors à un minimum.
• Ouverture vers le bas : Configuration d’une parabole quand $a<0$, avec un sommet qui correspond alors à un maximum.

📝 Points essentiels

• Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut et le sommet est un minimum.
• Si $a<0$, la parabole est tournée vers le bas et le sommet est un maximum.
• Le sens de variation dépend directement du signe de $a$ et donc de la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$.
• Le sommet $S(\alpha;\beta)$ sert de point d’appui pour situer minimum ou maximum.

📖 3. Discriminant et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant Δ : Expression $\Delta=b^2-4ac$ qui détermine le nombre de solutions réelles de l’équation $ax^2+bx+c=0$.
• Factorisation selon Δ : Formes factorisées de $f(x)$ construites à partir des racines $x_1$, $x_2$ ou de $x_0$ quand $\Delta\ge 0$.

📝 Points essentiels

• Le discriminant vaut $\Delta=b^2-4ac$ et conduit à trois cas : $\Delta>0$, $\Delta=0$, $\Delta<0$.
• Si $\Delta>0$, il y a deux solutions $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta=0$, il y a une solution double $x_0=\dfrac{-b}{2a}$.
• Si $\Delta<0$, il n’y a aucune solution réelle.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ avec $\alpha=\dfrac{b}{2a}$ ou oublier le signe de $b$ dans la formule du sommet.
2. Prendre $\beta$ comme une formule indépendante de $f$ au lieu de $\beta=f(\alpha)$.
3. Oublier la condition $a\neq 0$ : sinon l’expression ne décrit plus un vrai second degré.
4. Intervertir les cas du discriminant : $\Delta>0$ donne 2 racines réelles distinctes, tandis que $\Delta<0$ donne aucune racine réelle.
5. Se tromper dans l’écriture de $x_1$ et $x_2$ : le signe devant $\sqrt{\Delta}$ distingue les deux solutions.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire une fonction du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
2. Savoir donner la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
3. Calculer $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ à partir de $a$ et $b$.
4. Calculer $\beta=f(\alpha)$ en remplaçant $\alpha$ dans $f$.
5. Identifier le sommet $S(\alpha;\beta)$ et relier $\beta$ à la valeur de $f$.
6. Déterminer le sens d’ouverture : conclure minimum si $a>0$ et maximum si $a<0$.
7. Calculer le discriminant $\Delta=b^2-4ac$.
8. Déterminer le nombre de solutions réelles selon $\Delta>0$, $\Delta=0$ ou $\Delta<0$.
9. Donner les solutions quand $\Delta>0$ sous la forme avec $\pm\sqrt{\Delta}$ et divisé par $2a$.
10. Donner la solution unique quand $\Delta=0$ sous la forme $x_0=\dfrac{-b}{2a}$.