Fiche de révision : Analyse statistique des pourcentages et tests associés

📋 Plan du Cours

1. Comparaison de pourcentages
2. Test de l’écart réduit
3. Test du Chi2 et tableaux de contingence
4. Chi2 pour pourcentage théorique
5. Conditions d’application et corrections

📖 1. Comparaison de pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Test d’hypothèse : Méthode statistique qui compare ce que l’on observe à ce qu’on obtiendrait si l’hypothèse nulle était vraie.
• Hypothèse nulle H0 : Hypothèse représentant l’absence de différence entre pourcentages (ou absence de lien entre variable et résultat).
• Hypothèse alternative bilatérale H1 : Hypothèse qui affirme que les pourcentages diffèrent, quel que soit le sens de la différence.

📝 Points essentiels

• La différence observée peut provenir de la fluctuation d’échantillonnage même si les populations ont un même pourcentage réel.
• On rejette H0 si la p-value est < α ou si la statistique dépasse la valeur seuil correspondante à α fixé à l’avance.
• Sans interprétation causale : une différence significative n’implique pas que le traitement A rende causalement le résultat différent.

📖 2. Test de l’écart réduit

🔑 Notions clés & Définitions

• Écart réduit ε : Statistique standardisée basée sur la différence entre deux pourcentages observés et une estimation de la variance sous H0.
• Moyenne pondérée des pourcentages p : Pourcentage global sous H0, obtenu comme moyenne des pourcentages observés pondérée par la taille des groupes.

📝 Points essentiels

• Pour deux échantillons, on calcule p puis ε avec les effectifs et les pourcentages observés, et on compare ε à 1,96 pour tester une différence bilatérale.
• Condition d’application : $n_Ap_A\ ,\ n_A(1-p_A)\ ,\ n_Bp_B\ ,\ n_B(1-p_B)\ge 5$, pour que l’approximation soit valable.
• Exemple : avec pA=0,90, pB=0,75, p=0,84 et ε=3,17, on a rejet de H0 car ε>1,96 et p-value<0,05.

📖 3. Test du Chi2 et tableaux de contingence

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de contingence : Tableau d’effectifs qui croise deux variables qualitatives (par exemple traitement et guérison) en cellules et totaux.
• Effectifs théoriques : Effectifs attendus dans chaque cellule si H0 est vraie, en supposant que les marges sont fixées.
• Degrés de liberté ddl : Nombre utilisé pour lire la loi du $\chi^2$ dans une table, calculé à partir de la forme du tableau.

📝 Points essentiels

• On calcule $\chi^2$ à partir des écarts (observé - théorique) cellule par cellule, puis on lit la significativité via la table selon le ddl.
• Pour un tableau à (L,C) catégories, $ddl=(L-1)\times(C-1)$ et, pour ddl=1, la valeur seuil à α=0,05 est 3,84.
• Exemple traitement A/B : observé et théorique donnent $\chi^2=10{,}04$ à 1 ddl, donc rejet de H0 car $10{,}04>3{,}84$ et p-value ≤ 0,05.

📖 4. Chi2 pour pourcentage théorique

🔑 Notions clés & Définitions

• Comparaison observé vs théorique : Cas où l’on oppose une répartition observée (effectifs comptés) à une répartition attendue dictée par un pourcentage théorique.
• Répartition théorique : Répartition attendue obtenue à partir du pourcentage théorique appliqué à l’effectif total de l’échantillon.
• Interprétation du $\chi^2$ : Décision identique au test du $\chi^2$ en contingence : rejet si p-value < 0,05 ou si $\chi^2$ dépasse la valeur seuil.

📝 Points essentiels

• On construit un tableau à 2 colonnes (observé) et 2 lignes (catégories) en remplaçant les effectifs théoriques par ceux calculés à partir du pourcentage attendu.
• Exemple mortalité Covid : avec 200 traités, 34 décès et 20% théoriques donnent effectifs théoriques 40 et 160, puis $\chi^2=1{,}125$ à 1 ddl.
• Comme $1,125<3,84$, H0 n’est pas rejetée, donc la mortalité observée ne diffère pas significativement de 20% au seuil 0,05.

📖 5. Conditions d’application et corrections

🔑 Notions clés & Définitions

• Condition $\ge 5$ des effectifs théoriques : Règle de validité du test du $\chi^2$ qui exige que les effectifs théoriques dans les cellules soient suffisamment grands.
• Correction de Yates : Ajustement du $\chi^2$ applicable quand la table est à 4 cases et que les effectifs théoriques sont proches de 5 (ou légèrement plus petits).
• Test exact de Fischer : Alternative au $\chi^2$ lorsque les effectifs théoriques sont trop faibles pour que l’approximation du $\chi^2$ reste fiable.

📝 Points essentiels

• Si tous les effectifs théoriques sont ≥ 5, le $\chi^2$ standard est approprié.
• Si le tableau a 4 cases et 1 ou 2 effectifs théoriques sont entre 3 et 5, on utilise la correction de Yates.
• Si au moins un effectif théorique est < 3 ou si 3 effectifs théoriques sont < 5, on utilise le test exact de Fischer (d’après le cours, calcul non détaillé).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre significativité et causalité : une différence de pourcentage rejetant H0 ne prouve pas que le traitement cause la guérison.
2. Oublier la p-value et comparer directement à tort à ε sans tenir compte du seuil ou du bon test (écart réduit vs $\chi^2$).
3. Se tromper sur les effectifs théoriques : ils se calculent avec les marges fixées sous H0, pas à partir des pourcentages observés cellule par cellule.
4. Utiliser le $\chi^2$ alors que la condition des effectifs théoriques n’est pas satisfaite, ce qui impose la correction de Yates ou Fisher selon le cas.
5. Interpréter les degrés de liberté incorrectement : la lecture de la table dépend de $ddl=(L-1)(C-1)$.
6. Faire le tableau avec des pourcentages au lieu d’effectifs pour le $\chi^2$, alors que la formule travaille sur les effectifs (observé et théorique).

✅ Checklist Examen

1. Écrire H0 et H1 bilatérale pour comparer deux pourcentages (égalité vs différence quelle que soit la direction).
2. Identifier quand utiliser le test de l’écart réduit plutôt que le $\chi^2$ (deux pourcentages vs tableaux).
3. Pour le test de l’écart réduit, calculer le pourcentage global p comme moyenne pondérée et calculer ε avec les effectifs.
4. Vérifier la condition d’application du test de l’écart réduit : $n_Ap_A$, $n_A(1-p_A)$, $n_Bp_B$, $n_B(1-p_B)\ge 5$.
5. Décider la règle de rejet sur le test de l’écart réduit en utilisant le seuil bilatéral 1,96 et/ou la p-value < 0,05.
6. Pour le $\chi^2$, construire un tableau de contingence en effectifs, puis calculer les effectifs théoriques cellule par cellule via marges fixées.
7. Calculer $\chi^2$ à partir des écarts observé - théorique et déterminer correctement $ddl=(L-1)(C-1)$.
8. Lire la table pour décider : rejet si p-value < 0,05 ou si $\chi^2$ > valeur seuil (ex : 3,84 pour ddl=1).
9. Pour comparer un pourcentage observé à un pourcentage théorique, construire le tableau avec effectifs théoriques calculés à partir du pourcentage attendu sur l’effectif total.
10. Appliquer la règle des effectifs théoriques ≥ 5 et choisir la correction : Yates si tableau 4 cases avec 3-5, Fischer si effectifs trop faibles (<3 ou trop nombreux <5).
11. Conclure le sens de la différence uniquement avec les données observées (pas de causalité déduite du test).