Fiche de révision : Bases de la théorie des probabilités

📋 Plan du Cours

1. Univers et issues aléatoires
2. Types d’univers probabilistes
3. Événements et opérations ensemblistes
4. Axiomes et propriétés des probabilités
5. Probabilités sur un univers fini
6. Probabilité uniforme et dénombrement
7. Univers infinis dénombrables
8. Univers continus

📖 1. Univers et issues aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Expérience dont on ne peut pas prévoir à l’avance le résultat, même si l’ensemble des résultats possibles est connu.
• Univers : Ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire, et une issue ω vérifie ω ∈ Ω.

📝 Points essentiels

• Pour deux lancers successifs d’un dé, l’univers est le produit cartésien Ω = Ω₁ × Ω₂ et contient 36 couples ordonnés, dont (3, 5).

📖 2. Types d’univers probabilistes

★ À maîtriser

📌 Un univers fini contient un nombre fini d’issues, un univers infini dénombrable contient une infinité d’issues que l’on peut numéroter par les entiers naturels, et un univers continu contient une infinité non dénombrable d’issues.

Compléments

• Lorsqu’une pièce est lancée jusqu’au premier Pile, l’univers Ω = {P, FP, FFP, FFFP, …} est infini dénombrable.

• Pour le temps d’attente d’un bus passant toutes les 30 minutes, l’univers est l’intervalle réel Ω = [0, 30], qui est continu.

💡 Astuce mémo

Discret = dénombrable ; continu = non dénombrable

📖 3. Événements et opérations ensemblistes

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement : Assertion logique relative à une expérience aléatoire et correspond à une partie A de l’univers Ω.
• Union : Événement « A ou B », réalisé lorsqu’au moins l’un des deux événements est réalisé.
• Système complet d’événements : Famille non vide d’événements deux à deux incompatibles dont l’union est Ω, de sorte qu’exactement un événement se réalise.

📝 Points essentiels

📌 L’événement certain est Ω, l’événement impossible est ∅ et l’événement élémentaire associé à une issue ω est {ω}.

💡 Astuce mémo

Union = ou ; intersection = et ; complémentaire = non

📖 4. Axiomes et propriétés des probabilités

★ À maîtriser

📐 Formule — Une probabilité P associe à tout événement A ⊆ Ω un réel P(A) ∈ [0,1] et vérifie $P(Ω)=1$.

📐 Formule — Pour des événements incompatibles A₁ et A₂, on a $P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)$.

📐 Formule — Pour deux événements quelconques, la formule de Poincaré est $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Compléments

📐 Formule — Pour tout événement A, $P(\overline{A})=1-P(A)$ et $P(\varnothing)=0$.

💡 Astuce mémo

Incompatibilité ⟶ additivité des probabilités

📖 5. Probabilités sur un univers fini

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité élémentaire : Dans un univers fini Ω = {ω₁, …, ωₙ}, la probabilité de l’issue {ωᵢ}.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un univers fini, la somme des probabilités élémentaires vaut $\sum_{\omega\in\Omega}P(\omega)=1$.

📐 Formule — Pour tout événement A d’un univers fini, sa probabilité est $P(A)=\sum_{\omega\in A}P(\omega)$.

Compléments

• Un univers fini de cardinal n possède 2ⁿ événements possibles, car |𝒫(Ω)| = 2ⁿ.

💡 Astuce mémo

Issues élémentaires ⟶ somme sur un événement ⟶ probabilité totale

📖 6. Probabilité uniforme et dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité uniforme : Probabilité sur un univers fini Ω lorsque chaque issue a la même probabilité $P(\omega)=\frac{1}{|\Omega|}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Sous une probabilité uniforme, tout événement A vérifie $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$, soit le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles.

Compléments

• Pour un paquet de 32 cartes mélangé uniformément, l’univers contient 32! permutations et chaque permutation a une probabilité 1/(32!).

• Pour l’événement où la première carte d’un paquet de 32 cartes est un as, le dénombrement donne P(B) = (4 × 31!)/(32!) = 1/8.

📖 7. Univers infinis dénombrables

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un univers infini dénombrable Ω = {ωᵢ : i ∈ ℕ*}, la probabilité totale vérifie $P(Ω)=\sum_{i=1}^{\infty}P(\omega_i)=1$.

📌 Il n’existe pas de probabilité uniforme sur un univers infini dénombrable, car attribuer une même probabilité positive à chaque issue rendrait la somme infinie supérieure à 1.

Compléments

📐 Formule — Pour une pièce lancée jusqu’au premier Pile, l’issue ωᵢ, composée de i − 1 Faces puis d’un Pile, a la probabilité $P(\omega_i)=\frac{1}{2^i}$.

• La probabilité d’obtenir un premier Pile en au plus 10 lancers vaut $\sum_{i=1}^{10}\frac{1}{2^i}\simeq 0{,}9990$.

💡 Astuce mémo

Issues numérotées ⟶ série des probabilités ⟶ probabilité d’un événement

📖 8. Univers continus

★ À maîtriser

• Dans un univers continu, toute éventualité précise a une probabilité nulle.

📐 Formule — Pour un temps d’attente uniforme dans [0, 30], la probabilité d’attendre au plus x minutes est $P([0,x])=\frac{x}{30}$.

Compléments

📐 Formule — Dans l’intervalle [0, 30], deux intervalles de même longueur ont la même probabilité, par exemple $P([0{,}10])=P([5{,}15])=\frac{1}{3}$.

📐 Formule — Pour tout instant x ∈ [0,30], l’événement d’attendre exactement x minutes est de probabilité $P(\{x\})=0$.

💡 Astuce mémo

Une issue précise a probabilité nulle ; un intervalle a une probabilité liée à sa longueur

📊 Tableaux de synthèse

Types d’univers

Probabilités selon l’univers