Qu'est-ce qu'une fonction composée v ∘ u ?
C'est la fonction définie par (v ∘ u)(x) = v(u(x)).
Sur quel ensemble est définie la fonction composée v ∘ u ?
Elle est définie sur l'ensemble I.
Qu'impose la composition des fonctions sur leur commutativité ?
La composition des fonctions n'est pas commutative en général.
Quelle est la dérivée de la composée (v ∘ u)(x) si u et v sont dérivables ?
C'est v'(u(x)) × u'(x).
Quelle est la dérivée de la fonction au+b avec u dérivable et a,b constants ?
La dérivée est au'.
Quelle est la dérivée de u^n pour une fonction dérivable u ?
C'est nu'u^{n-1}.
Quelle est la dérivée de 1/u pour une fonction dérivable u ?
C'est -u'/u^2.
Quelle est la dérivée de √u pour une fonction dérivable u ?
C'est u'/(2√u).
Quelle est la dérivée de e^u pour une fonction dérivable u ?
C'est u'e^u.
Quelle est la dérivée de 1/u^n pour une fonction dérivable u ?
C'est -n u'/u^{n+1}.
Quelle est la monotonie de la composée de deux fonctions de même monotonie ?
Elle est croissante.
Quelle est la monotonie de la composée de deux fonctions de monotonies contraires ?
Elle est décroissante.
Qu'est-ce que la dérivée seconde d'une fonction f ?
C'est la dérivée de la dérivée première f'.
Comment se note la dérivée seconde de f ?
Elle se note f''(x) = (f'(x))'.
Quelle est la première étape pour étudier les variations de f avec f'' ?
On calcule f''.
Que fait-on après avoir calculé f'' pour étudier les variations de f ?
On étudie le signe de f''.
Que déduit-on du signe de f'' dans l'étude des variations de f ?
On en déduit les variations de f'.
Comment utilise-t-on le signe de f' pour étudier f ?
On détermine les variations de f.
Qu'impose la convexité d'une fonction sur un intervalle ?
Sa courbe est en dessous de ses sécantes sur cet intervalle.
Qu'impose la concavité d'une fonction sur un intervalle ?
Sa courbe est au-dessus de ses sécantes sur cet intervalle.
Qu'est-ce qu'une sécante d'une courbe ?
Un segment reliant deux points de cette courbe.
Qu'impose la convexité d'une fonction dérivable sur sa courbe ?
La courbe est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes.
Qu'impose la concavité d'une fonction dérivable sur sa courbe ?
La courbe est entièrement en dessous de chacune de ses tangentes.
Quelle condition sur f' caractérise la convexité de f sur I ?
f' est croissante sur I.
Quelle inégalité doit satisfaire f''(x) pour que f soit convexe sur I ?
f''(x) ≥ 0 pour tout x de I.
Quelle condition sur f' caractérise la concavité de f sur I ?
f' est décroissante sur I.
Quelle inégalité doit satisfaire f''(x) pour que f soit concave sur I ?
f''(x) ≤ 0 pour tout x de I.
Quelle est la première étape pour démontrer une inégalité par convexité ?
Étudier la convexité de la fonction.
Que fait-on après avoir étudié la convexité pour démontrer une inégalité ?
On détermine une tangente adaptée.
Quelle est la dernière étape pour démontrer une inégalité par convexité ?
Utiliser la position de la courbe par rapport à la tangente.
Quelle fonction est étudiée pour obtenir une inégalité sur les réels négatifs ?
La fonction f(x)=x^3−2x^2.
Quelle tangente est utilisée pour démontrer l'inégalité sur f(x) en −1 ?
La tangente en −1.
Quelle inégalité obtient-on pour tout réel négatif x avec f(x)=x^3−2x^2 ?
x^3−2x^2 ≤ 7x+4.
Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?
Un point où la courbe traverse sa tangente.
Quelle condition caractérise un point d'inflexion pour une fonction deux fois dérivable ?
La dérivée seconde s'annule en ce point en changeant de signe.
Comment utilise-t-on les tableaux de variations pour esquisser une courbe ?
Ils déterminent les variations, la convexité et les changements de forme.
Que lit-on sur la représentation graphique de f, f' ou f'' ?
Les intervalles de convexité, concavité et les points d’inflexion.
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1. Si u est définie sur I à valeurs dans J et v est définie sur J, comment définit-on la fonction composée v ∘ u sur I ?
2. Quelle affirmation décrit correctement la composition de deux fonctions u et v ?
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