Fiche de révision : Étude des principales fonctions mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Fonction carré
2. Fonction inverse
3. Fonction racine carrée
4. Fonction cube
5. Propriétés monotonicité
6. Symétries fonctions
7. Représentations graphiques
8. Tableaux de variations

📖 1. Fonction carré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction carré : Fonction définie sur R par x → x².
• Parabole : La courbe représentative de la fonction carré est une parabole dont le sommet est en O.
• Fonction paire : Fonction symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, la fonction carré possède cette propriété.
• Sommet O : Point de la parabole en (0,0), qui est le point minimum de la fonction.
• Axe de symétrie : La droite verticale passant par le sommet O, ici l’axe des ordonnées.
• Tableau de variations : Sur R, la fonction carré est strictement décroissante sur ]−1; 0] et strictement croissante sur [0; +∞[.
• Représentation graphique : La courbe est une parabole symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, avec sommet en O.

📝 Points essentiels

• La fonction carré est définie par x → x².
• Elle est strictement décroissante sur l’intervalle ]−1; 0] et strictement croissante sur [0; +∞[.
• La courbe représentative est une parabole avec sommet en O, symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• La propriété de croissance et décroissance est liée à la position par rapport à 0 : décroissante sur ]−1; 0], croissante sur [0; +∞[.
• La fonction est paire, ce qui signifie que f(−x) = f(x).
• Le tableau de variations montre le changement de signe de la dérivée (si étudiée) et la croissance/décroissance.
• La représentation graphique est une parabole dont le sommet est en O.

💡 À retenir

La fonction carré est une parabole symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, avec un sommet en O, et elle présente une croissance sur [0; +∞[ et une décroissance sur ]−1; 0].

📖 2. Fonction inverse

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction inverse : La fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ par $x \mapsto \frac{1}{x}$. Elle associe à chaque $x$ un réel inverse de $x$.

• Hyperbole : La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole de centre $O$. Elle possède deux branches séparées, asymptotes aux axes.

• Centre $O$ : Le point $(0,0)$ est le centre de symétrie de la courbe représentative de la fonction inverse.

• Fonction impaire : La fonction inverse est une fonction impaire, ce qui signifie que $f(-x) = -f(x)$. La courbe est symétrique par rapport à l’origine.

• Propriété de décroissance : La fonction inverse est strictement décroissante sur chaque intervalle $] -1 ; 0 [$ et $] 0 ; +1 [$.

• Représentation graphique : La courbe est une hyperbole centrée en $O$, symétrique par rapport à l’origine, avec asymptotes aux axes.

• Tableau de variations : Sur $] -1 ; 0 [$ et $] 0 ; +1 [$, la fonction inverse décroît strictement.

📝 Points essentiels

• La fonction inverse est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ et associe à chaque $x$ son inverse $\frac{1}{x}$.

• La courbe représentative est une hyperbole, avec un centre en $O$, et possède une symétrie par rapport à l’origine, ce qui en fait une fonction impaire.

• La fonction inverse est strictement décroissante sur les intervalles $] -1 ; 0 [$ et $] 0 ; +1 [$.

• La propriété de décroissance implique que lorsque $x$ augmente dans ces intervalles, $\frac{1}{x}$ diminue.

• La représentation graphique montre une hyperbole avec asymptotes aux axes, illustrant la décroissance et la symétrie.

💡 À retenir

La fonction inverse, définie par $x \mapsto \frac{1}{x}$, est une hyperbole impaire dont la décroissance sur certains intervalles est une propriété clé, avec une symétrie centrale en $O$.

📖 3. Fonction racine carrée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction racine carrée : La fonction qui à x associe √x, définie sur R+ = [0, +∞[.
• Domaine : R+ = [0, +∞[.
• Propriété de croissance : La fonction racine carrée est strictement croissante sur R+ (voir section 8).
• Inégalité triangulaire : Si a et b sont deux réels positifs, alors √(a + b) ≤ √a + √b.

📝 Points essentiels

• La fonction racine carrée est définie sur R+ et associe à chaque x un nombre réel positif ou nul, √x.
• Sa courbe représentative est une courbe croissante, caractérisée par sa croissance sur R+ (voir section 8).
• La propriété de croissance indique que si x₁ < x₂ dans R+, alors √x₁ < √x₂.
• L'inégalité triangulaire s'applique lorsque a et b sont positifs, permettant de comparer √(a + b) à √a + √b.
• La représentation graphique de la fonction racine carrée montre une courbe qui commence à l’origine (0,0) et monte lentement vers l’infini.

💡 À retenir

La fonction racine carrée est une fonction strictement croissante sur R+ dont la courbe représente une croissance lente mais continue, essentielle pour étudier la relation entre un nombre et sa racine carrée.

📖 4. Fonction cube

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction cube : La fonction définie sur R par $x \mapsto x^3$. Elle associe à chaque réel $x$ son cube.

• Propriété de croissance : La fonction cube est strictement croissante sur R, ce qui signifie que si $x_1 < x_2$, alors $x_1^3 < x_2^3$.

• Fonction impaire : La fonction cube est impaire, ce qui implique que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine. Autrement dit, $f(-x) = -f(x)$.

• Racine cubique : Pour tout réel $a$, l’équation $x^3 = a$ admet exactement une solution, appelée racine cubique de $a$.

• Symétrie par rapport à l’origine : La courbe représentative de la fonction cube est symétrique par rapport à l’origine, caractéristique d’une fonction impaire.

• Tableau de variations : La fonction cube est strictement croissante sur R, ce qui se traduit par un tableau de variations indiquant une croissance continue sans points critiques.

• Représentation graphique : La courbe est une ligne qui passe par l’origine, avec une croissance monotone, et présente une symétrie par rapport à l’origine.

📝 Points essentiels

• La fonction cube est définie sur tout R et est strictement croissante, ce qui assure l’unicité de la racine cubique pour tout réel $a$.

• La propriété d’être impaire se traduit par une symétrie centrale par rapport à l’origine, ce qui est visible dans sa représentation graphique.

• La courbe représentative de la fonction cube est une ligne continue passant par l’origine, avec une croissance monotone sur l’ensemble de R.

💡 À retenir

La fonction cube est une fonction strictement croissante et impaire, caractérisée par sa symétrie par rapport à l’origine et la propriété que chaque réel possède une racine cubique unique.

📖 5. Propriétés monotonicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriétés de croissance et décroissance : Étude du signe de la dérivée d'une fonction pour déterminer si elle est croissante ou décroissante sur un intervalle donné (voir section 1).
• Tableaux de variations : Représentations synthétiques permettant d'analyser la croissance ou décroissance d'une fonction en fonction de ses variations (voir section 8).
• Étude du signe : Analyse du signe d'une fonction ou de sa dérivée pour déterminer ses intervalles de croissance ou décroissance (voir section 8).
• Symétries fonctions : Par rapport à l’axe des ordonnées ou à l’origine, fonctions paires ou impaires, caractérisées par leur représentation graphique (voir section 6).

📝 Points essentiels

• La propriété de décroissance ou de croissance d'une fonction se déduit de l'étude du signe de sa dérivée ou de ses variations.
• La fonction carré est strictement décroissante sur ]−1; 0] et strictement croissante sur [0; +∞[, avec un sommet en O, ce qui caractérise une fonction paire.
• La fonction inverse est strictement décroissante sur ]−1; 0[ et ]0; +1[, avec une hyperbole comme courbe représentative, caractérisée par une symétrie par rapport à l’origine (fonction impaire).
• La fonction racine carrée est strictement croissante sur R+ = [0; +∞[, avec une représentation graphique en courbe croissante.
• La fonction cube est strictement croissante sur R, avec une courbe symétrique par rapport à l’origine (fonction impaire).

💡 À retenir

Les propriétés de croissance ou décroissance des fonctions se déterminent principalement par l’étude du signe de leur dérivée ou de leurs variations, et leur symétrie se caractérise par leur représentation graphique.

📖 6. Symétries fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Une fonction est paire si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (axe y). Cela implique que pour tout x dans le domaine, f(−x) = f(x). La courbe est donc symétrique par rapport à cet axe.
• Fonction impaire : Une fonction est impaire si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine. Cela implique que pour tout x dans le domaine, f(−x) = −f(x). La courbe possède une symétrie centrale par rapport à O.
• Axes de symétrie : Une droite par rapport à laquelle une courbe est symétrique. Pour une fonction paire, l’axe de symétrie est l’axe des ordonnées. Pour une fonction impaire, la courbe est symétrique par rapport à l’origine, qui peut être considéré comme un centre de symétrie.
• Courbes symétriques : Deux courbes sont symétriques par rapport à une droite ou un point si leur représentation graphique est une image l’une de l’autre par réflexion par rapport à cette droite ou ce point. La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe y, celle d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

📝 Points essentiels

• La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, ce qui se traduit par f(−x) = f(x).
• La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine, ce qui se traduit par f(−x) = −f(x).
• La fonction carré est une fonction paire, sa courbe a une symétrie par rapport à l’axe y.
• La fonction inverse est une fonction impaire, sa courbe possède une symétrie centrale par rapport à O.
• La courbe représentative d’une fonction impaire ou paire possède une propriété de symétrie qui peut être visualisée graphiquement, notamment par rapport à l’axe y ou à l’origine.

💡 À retenir

Les fonctions paires ont une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées, tandis que les fonctions impaires ont une symétrie centrale par rapport à l’origine. Ces symétries se traduisent par des relations précises entre f(−x) et f(x).

📖 7. Représentations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbes représentatives : tracés des fonctions dans un repère (O, i, j) illustrant leur comportement graphique.
• Axes de symétrie : droite selon laquelle une courbe est symétrique. La parabole de la fonction carré possède l’axe des ordonnées comme axe de symétrie, caractérisant une fonction paire. La courbe de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine, caractérisant une fonction impaire.
• Hyperbole : courbe représentative de la fonction inverse, centre O, hyperbole symétrique par rapport à l’origine.
• Parabole : courbe représentative de la fonction carré, sommet O, axe de symétrie vertical.
• Racine cubique : courbe représentative de la fonction cube, symétrie par rapport à l’origine, croissance stricte sur R.
• Étude visuelle des fonctions : observation graphique pour analyser le comportement, la croissance, la décroissance, et la symétrie des fonctions.

📝 Points essentiels

• La fonction carré est représentée par une parabole avec sommet O, axe de symétrie vertical, et est une fonction paire. Sa courbe est strictement décroissante sur ]−1; 0] et strictement croissante sur [0; +∞[.
• La fonction inverse est représentée par une hyperbole centrée en O, symétrique par rapport à l’origine, et est une fonction impaire. Elle est strictement décroissante sur ]−1; 0[ et ]0; +1[.
• La fonction racine carrée a pour courbe une racine positive, strictement croissante sur R+.
• La fonction cube est représentée par une courbe impaire, strictement croissante sur R, avec symétrie par rapport à l’origine.

💡 À retenir

Les représentations graphiques permettent d’étudier visuellement le comportement des fonctions, notamment leur croissance, décroissance, et symétrie, à partir de courbes, axes de symétrie, hyperboles, paraboles, et racines cubiques.

📖 8. Tableaux de variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de variations : Représentation synthétique de l’étude du signe, de la croissance ou décroissance d’une fonction, ainsi que de ses points critiques. Il indique où la fonction est positive ou négative, croissante ou décroissante, et permet de visualiser ses variations locales.
• Étude du signe : Analyse des intervalles où la fonction est positive ou négative, en utilisant le tableau de variations.
• Croissance et décroissance : Comportement d’une fonction lorsque sa valeur augmente ou diminue. La croissance correspond à une fonction strictement croissante, la décroissance à une fonction strictement décroissante.
• Représentation graphique : Courbe représentative de la fonction dans un repère, illustrant ses variations et ses points critiques.

📝 Points essentiels

• Le tableau de variations synthétise l’étude du signe et de la croissance/décroissance d’une fonction.
• La courbe représentative est une parabole pour la fonction carré, une hyperbole pour la fonction inverse, une courbe croissante pour la racine carrée et la fonction cube.
• La fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +∞[ et strictement décroissante sur ]−∞ ; 0[.
• La fonction inverse est strictement décroissante sur ]−1 ; 0[ et ]0 ; +1[.
• La fonction racine carrée est strictement croissante sur R+.
• La fonction cube est strictement croissante sur R.
• La représentation graphique permet de visualiser la position des points critiques, les axes de symétrie, et la nature locale des variations.

💡 À retenir

Le tableau de variations est un outil essentiel pour analyser précisément le comportement d’une fonction, en synthétisant ses signes, ses croissances et décroissances, et en facilitant la représentation graphique.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la symétrie de la fonction carré (paire) avec celle de la fonction inverse (impaire).
2. Penser que la fonction inverse est définie en 0, alors qu’elle ne l’est pas.
3. Confondre la croissance de la racine carrée avec celle du carré (croissance lente vs rapide).
4. Oublier que la fonction cube est impaire, donc symétrie par rapport à l’origine.
5. Confondre la décroissance de la fonction inverse avec une croissance négative.
6. Ne pas distinguer le domaine de définition de chaque fonction.
7. Mal interpréter le tableau de variations, notamment la croissance/décroissance sur les intervalles.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition de la fonction carré et ses propriétés (symétrie paire, parabole, sommet en O).
2. Savoir que la fonction inverse est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, impaire, et représentée par une hyperbole avec asymptotes.
3. Maîtriser la définition et la croissance de la fonction racine carrée sur R+.
4. Connaître la fonction cube, sa croissance sur R, sa symétrie impaire, et sa représentation graphique.
5. Savoir analyser la monotonicité à partir du signe de la dérivée ou du tableau de variations.
6. Identifier la symétrie (paire ou impaire) d’une fonction à partir de sa représentation graphique ou de ses propriétés.
7. Reconnaître la représentation graphique d’une parabole, hyperbole, ou courbe racine carrée.
8. Savoir établir un tableau de variations pour chaque fonction étudiée.
9. Comprendre la propriété de croissance ou décroissance en fonction de l’intervalle.
10. Maîtriser la propriété d’impair ou de paire pour les fonctions.
11. Savoir utiliser l’inégalité triangulaire pour la racine carrée.
12. Vérifier la compréhension de la relation entre la croissance d’une fonction et la position par rapport à l’origine ou aux axes.