Espace vectoriel — définition ?
Ensemble avec addition et multiplication par scalaire, vérifiant axiomes.
Famille libre — rôle ?
Aucune combinaison linéaire nulle sauf coefficients nuls.
Famille génératrice — rôle ?
Tout vecteur s'exprime comme combinaison linéaire.
Base — propriété ?
Famille à la fois libre et génératrice.
Dimension — relation ?
Cardinalité de toute base d’un espace de dimension finie.
Sous-espace vectoriel — définition ?
Partie non vide fermée par addition et multiplication scalaire.
Somme directe — condition ?
Intersection réduite à {0} et décomposition unique.
Application linéaire — propriété ?
Respecte addition et multiplication scalaire.
Noyau — rôle ?
Ensemble des vecteurs envoyés sur 0.
Image — rôle ?
Ensemble des images des vecteurs par u.
Théorème de la dimension — formule ?
dim(Ker u) + dim(Im u) = dim(E).
Changement de base — formule ?
Matrice dans nouvelle base = P⁻¹ * matrice * P.
Déterminant — propriété clé ?
Non nul si et seulement si la matrice est inversible.
Valeurs propres — définition ?
λ tel que Av = λv pour v ≠ 0.
Diagonalisation — condition ?
Matrices avec vecteurs propres suffisants et distincts.
Polynôme minimal — rôle ?
Plus petit polynôme annulant la matrice.
Théorème de Cayley-Hamilton — énoncé ?
Une matrice satisfait son polynôme caractéristique.
Décomposition de Jordan — but ?
Représenter une matrice par blocs Jordan.
Systèmes différentiels — résolution ?
Via exponentielle de matrices ou diagonalisation.
Produit scalaire — propriété ?
Bilinéaire, symétrique, positif défini.
Orthonormalisation — méthode ?
Procédé de Gram-Schmidt.
Matrices symétriques — propriété ?
Egale à leur transposée.
Matrices orthogonales — propriété ?
Orthogonale si PᵀP = I.
Coniques — définition ?
Courbes définies par équation quadratique.
Testez vos connaissances avec un QCM de 12 questions sur Fondamentaux de l'Algèbre Linéaire.
1. Quelle propriété caractérise une base dans un espace vectoriel ?
2. Quelle condition assure que la somme de deux sous-espaces vectoriels est une somme directe ?
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