Fiche de révision : Fondements et limites en analyse mathématique

📋 Plan du Cours

1. Objets mathématiques abstraits
2. Axiomes et démonstration
3. Notations en mathématiques
4. Nombres réels et constructions
5. Bornes et extrema
6. Suites et convergence
7. Limites et continuité
8. Fonctions et opérations
9. Continuité en un point
10. Limite en un point
11. Limite infinie et à l'infini
12. Fonctions continues et propriétés

📖 1. Objets mathématiques abstraits

🔑 Notions clés & Définitions

• Objets mathématiques abstraits : Idées ou constructions qui ne sont pas directement accessibles par nos sens, mais qui existent en tant qu’entités indépendantes, souvent définies par des propriétés ou des axiomes. Leur existence ne dépend pas d’une représentation graphique ou concrète.
• Origine des objets mathématiques : Provenant de la vie quotidienne, des sciences, ou de la réflexion mathématique elle-même. Certains objets, comme les nombres réels, ont été construits de façon rigoureuse pour dépasser les représentations intuitives ou concrètes.
• Introduction axiomatique : Méthode consistant à définir un objet en posant un ensemble d’axiomes ou de règles de base, sans en démontrer l’existence, mais en acceptant leur cohérence. Exemple : la construction des nombres réels via l’axiome de Dedekind.
• Différence entre objet mathématique et représentation graphique : L’objet mathématique est une idée abstraite, indépendante de toute visualisation ou dessin, qui sert de fondement à la démonstration. La représentation graphique est une illustration ou un outil visuel qui peut aider à comprendre, mais ne justifie pas l’existence ou la propriété de l’objet.
• Langage et culture mathématique : La langue mathématique possède ses propres conventions, symboles, et structures, permettant de formuler, communiquer et raisonner sur des objets abstraits. La traduction entre langue naturelle et formulation mathématique est essentielle pour la compréhension et la rigueur.
• Importance de la traduction : Convertir un énoncé en langage naturel en une formulation mathématique précise est crucial pour la rigueur, la démonstration, et la communication en mathématiques. Elle permet aussi d’éviter les ambiguïtés et de clarifier la nature des objets étudiés.

📝 Points essentiels

• Les objets mathématiques abstraits sont souvent introduits par des axiomes, sans preuve de leur existence, pour garantir leur cohérence.
• La construction des nombres réels par Dedekind (1872) ou Cantor (ensembles infinis) illustre cette démarche axiomatique.
• La distinction entre objet et représentation est fondamentale : un dessin ou une visualisation n’est qu’un outil, pas l’objet lui-même.
• La culture mathématique repose sur un langage spécifique, avec ses symboles et conventions, qui facilite la traduction entre idées naturelles et formules mathématiques.
• La compréhension de cette distinction permet d’éviter de confondre la réalité intuitive d’un objet avec sa représentation graphique ou symbolique.

💡 À retenir

Les objets mathématiques abstraits sont des constructions théoriques définies par des axiomes, dont l’existence est acceptée indépendamment de leur représentation graphique, et leur maîtrise repose sur la traduction précise entre langage naturel et langage mathématique.

📖 2. Axiomes et démonstration

🔑 Notions clés & Définitions

• Introduction axiomatique : Approche qui consiste à définir un objet mathématique en posant un ensemble d’axiomes, c’est-à-dire des assertions fondamentales acceptées sans démonstration, à partir desquelles toutes les propriétés de l’objet sont déduites.
• Rôle des axiomes dans la démonstration : Les axiomes servent de fondement logique permettant de déduire rigoureusement toutes les propriétés et théorèmes liés à l’objet ou au concept étudié, assurant ainsi la cohérence et la validité des démonstrations.
• Principe de démonstration par contradiction avec ε > 0 : Méthode de preuve consistant à supposer le contraire de ce qu’on veut démontrer, puis à montrer que cette supposition mène à une contradiction en utilisant un ε > 0 arbitraire, ce qui implique la vérité de la proposition initiale.
• Propriété Archimédienne des corps ordonnés : Pour tout x, y dans un corps ordonné, si x est strictement inférieur à y, alors il existe un entier naturel n tel que nx > y (ou n tel que 1/n < y - x), ce qui garantit qu’il n’existe pas de « nombres infiniment petits » ou « infiniment grands » dans le corps.
• Théorème d'existence de la borne supérieure et inférieure : Tout ensemble non vide et majoré (resp. minoré) d’un corps ordonné comme R possède une borne supérieure (resp. borne inférieure), qui est unique et caractérisée par sa propriété d’être le plus petit majorant (resp. le plus grand minorant).

📝 Points essentiels

• L’introduction axiomatique permet de construire rigoureusement la théorie en posant des axiomes fondamentaux, notamment pour les nombres réels.
• Les axiomes de corps et d’ordre sont suffisants pour traiter de suites et de bornes dans R, mais ils ne garantissent pas l’existence de solutions pour certaines équations comme $x^2=2$, ce qui mène à la nécessité d’introduire les nombres réels pour combler ce manque de complétude.
• La démonstration par contradiction avec ε > 0 est une technique centrale pour prouver des propriétés de convergence ou d’égalité, en montrant qu’une supposition contraire conduit à une contradiction avec la définition de ε arbitraire.
• La propriété archimédienne est fondamentale pour établir l’existence de bornes et pour la convergence, en assurant qu’il n’existe pas de « nombres infiniment petits » ou « infiniment grands » dans R.
• Le théorème d’existence de la borne supérieure et inférieure garantit que tout ensemble borné possède une borne, ce qui est essentiel pour la théorie des suites et des limites.

💡 À retenir

Les axiomes fondamentaux permettent de construire une théorie cohérente et rigoureuse, notamment en assurant l’existence de bornes et en facilitant la démonstration de propriétés essentielles comme la convergence et la complétude dans R. La méthode par contradiction avec ε > 0 est un outil clé pour établir ces résultats.

📖 3. Notations en mathématiques

🔑 Notions clés & Définitions

• a := b : notation de définition, signifiant que a est défini comme étant b.
• x ∈ A : x appartient à l’ensemble A, où x est une lettre minuscule et A une collection d’ensembles.
• (a, b) : intervalle ouvert de réels, défini par {x ∈ ℝ : a < x < b}.
• ]a, b[ : notation alternative pour l’intervalle ouvert (a, b).
• M est un majorant de A : si ∀x ∈ A, x 6 M, où M est un réel.
• m est un minorant de A : si ∀x ∈ A, x > m, où m est un réel.
• max A : le plus grand élément de A, si il existe, c’est un élément α ∈ A tel que ∀x ∈ A, x 6 α.
• min A : le plus petit élément de A, si il existe, c’est un élément α ∈ A tel que ∀x ∈ A, x > α.

📝 Points essentiels

• La notation a := b est utilisée pour définir formellement une nouvelle notion ou variable, permettant une clarification dans la formulation mathématique.
• La relation x ∈ A indique l’appartenance d’un point x à un ensemble A, essentiel pour exprimer des propriétés de collections d’objets.
• Les intervalles (a, b) et ]a, b[ sont des notations pour des ensembles de réels compris strictement entre a et b, la première étant la notation classique, la seconde une variante courante.
• La notion de majorant et minorant permet de caractériser si un ensemble est borné supérieurement ou inférieurement.
• La distinction entre max A et min A concerne l’existence d’un plus grand ou plus petit élément dans A, qui n’est pas toujours garantie.

💡 À retenir

Les notations en mathématiques sont précises et modulables, permettant d’exprimer clairement l’appartenance, la définition d’objets, et la bornitude d’ensembles, ce qui est fondamental pour la rigueur en analyse.

📖 4. Nombres réels et constructions

🔑 Notions clés & Définitions

• Corps (K, +, ·) : Ensemble non vide K muni de deux opérations internes, l’addition (+) qui forme un groupe abélien avec élément neutre 0, et la multiplication (·) qui forme un groupe abélien avec élément neutre 1, avec la distributivité : a · (b + c) = a · b + a · c pour tout a, b, c ∈ K.
• Exemple du corps F2 : Corps fini à deux éléments {0, 1} où l’addition est modulaire (mod 2) et la multiplication est classique, avec 0 et 1 comme éléments neutres.
• Ordre total sur un ensemble : Relation binaire 6 vérifiant la réflexivité (x 6 x), l’anti-symétrie (si x 6 y et y 6 x alors x = y), la transitivité (si x 6 y et y 6 z alors x 6 z), et la totalité (pour tout x, y, soit x 6 y, soit y 6 x). (voir aussi la propriété 1.1)
• Corps ordonné Q : Corps rationnel muni d’un ordre total compatible avec l’addition et la multiplication, c’est-à-dire que si x 6 y alors x + z 6 y + z, et si 0 6 x et 0 6 y alors 0 6 x · y. (voir aussi la propriété Archimédienne)
• Corps non ordonné C : Corps comme celui des nombres complexes, qui ne possède pas d’ordre total compatible avec ses opérations.
• Propriété Archimédienne (de Q et R) : Pour tout x, y > 0, il existe n ∈ N* tel que n · x > y, ou équivalent, pour tout ε > 0, il existe n ∈ N* tel que 0 < 1/n < ε. Elle garantit l’absence d’éléments infiniment petits ou grands dans ces corps. (voir aussi la remarque 1.1)
• Construction historique des nombres réels : Approche par Dedekind (découpage de l’ensemble rationnel en deux parties avec un point de coupure), Cantor (ensembles infinis et suites de Cauchy), Weierstraß (limite et continuité), qui ont permis de formaliser la notion de nombre réel comme limite de suites de rationnels.

📝 Points essentiels

• La structure d’un corps (K, +, ·) impose des propriétés fondamentales : associativité, commutativité, éléments neutres 0 et 1, distributivité, inverses pour l’addition et la multiplication (sauf pour 0 en multiplication).
• Le corps F2, avec ses opérations mod 2, est un exemple simple illustrant la notion de corps fini, mais il est peu utilisé en analyse. Les corps N, Z, Q ne sont pas des corps pour l’addition et la multiplication, sauf Q qui est un corps ordonné.
• La relation d’ordre total 6 permet de comparer tout couple d’éléments dans un ensemble, ce qui est essentiel pour l’analyse. Q est un corps ordonné, tandis que C ne possède pas d’ordre total compatible.
• La propriété Archimédienne, démontrée par Q (rationnels) et R (réels), exclut l’existence d’éléments infiniment petits ou grands, ce qui est crucial pour la construction et l’étude des limites.
• La construction des nombres réels, notamment par Dedekind, a permis de compléter le corps rationnel en introduisant des points de coupure (découpages), assurant la propriété de complétude : toute partie bornée admet une borne supérieure et inférieure (Théorème 1.6).

💡 À retenir

Les nombres réels forment un corps ordonné, complet (via la propriété de bornes) et archimédien, construits historiquement par Dedekind, Cantor et Weierstraß, permettant d’établir une analyse rigoureuse fondée sur la limite et la continuité.

📖 5. Bornes et extrema

🔑 Notions clés & Définitions

• Majorant (définition de AUTEUR (date) : Définition 1.1) : Un réel $M$ est un majorant d’un ensemble $A \subseteq \mathbb{R}$ si : $\forall x \in A, x \leq M$. Autrement dit, $M$ est un nombre supérieur ou égal à tous les éléments de $A$.

• Minorant (définition de AUTEUR (date) : Définition 1.1) : Un réel $m$ est un minorant de $A$ si : $\forall x \in A, x \geq m$. C’est un nombre inférieur ou égal à tous les éléments de $A$.

• Maximum (définition de AUTEUR (date) : Définition 1.2) : Un réel $\alpha$ est le maximum de $A$ si : $\alpha \in A$ et $\forall x \in A, x \leq \alpha$. Le maximum est le plus grand élément de $A$.

• Borne supérieure (sup) (définition de AUTEUR (date) : Définition 1.2) : La borne supérieure $\sup A$ d’un ensemble $A$ est le plus petit majorant de $A$. Autrement dit, $\sup A$ est un majorant tel que : $\forall M, \text{ si } M \text{ est un majorant de } A, \text{ alors } \sup A \leq M$.

• Caractérisation de la borne supérieure (définition de AUTEUR (date) : Théorème 1.6) : $\sup A$ est le réel $s$ tel que :

  1. $s$ est un majorant de $A$,
  2. Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $x \in A$ tel que $x > s - \varepsilon$.

📝 Points essentiels

• Un ensemble $A$ peut ne pas posséder de maximum ou de minimum, mais il est toujours minoré et majoré si ces bornes existent (par définition de bornes inférieure et supérieure).
• La borne supérieure $\sup A$ est unique et est le plus petit de tous les majorants de $A$. La même propriété vaut pour la borne inférieure $\inf A$, qui est le plus grand minorant.
• La propriété d’existence des bornes supérieures et inférieures est un résultat fondamental, souvent appelé Théorème 1.6 (voir section 2.1.1).
• Exemple : L’ensemble $[0, 1)$ n’a pas de maximum mais possède une borne supérieure $\sup [0, 1) = 1$. La borne inférieure est 0, qui est aussi le minimum de cet ensemble.

💡 À retenir

Les bornes supérieures et inférieures permettent de caractériser la "limite" d’un ensemble, même en l’absence de maximum ou minimum, et jouent un rôle central dans l’analyse pour établir la convergence et la continuité.

📖 6. Suites et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition d’une suite réelle (2.2.1) : Une suite réelle est une fonction $u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$. Elle associe à chaque entier naturel $n$ un nombre réel $u(n)$, appelé le $n$-ième terme ou terme général. Exemple : la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 1 - \frac{1}{n}$.

• Notations pour une suite (2.2.1) : La suite est notée $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$. Lorsqu’on considère une suite à partir d’un certain rang $n_0$, on écrit $(u_n)_{n > n_0}$.

• Limite d’une suite (2.2.2) : La suite $(u_n)$ a pour limite $\ell \in \mathbb{R}$ si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n > N$, $|u_n - \ell| < \varepsilon$. La suite tend vers $\ell$.

• Exemple de convergence (2.2.2) : La suite constante $(a_n)$ avec $a_n = \ell$ converge vers $\ell$, car pour tout $\varepsilon > 0$, on peut choisir $N = 0$, et alors $|a_n - \ell| = 0 < \varepsilon$.

• Suite de Cauchy (3.41) : Une suite $(u_n)$ est une suite de Cauchy si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tous $n, m > N$, $|u_n - u_m| < \varepsilon$. Elle devient arbitrairement proche de ses termes à partir d’un certain rang.

• Propriété des suites de Cauchy (3.45) : Dans $\mathbb{R}$, toute suite de Cauchy converge. La complétude de $\mathbb{R}$ garantit cette propriété.

• Suite bornée (2.2.4) : Une suite $(u_n)$ est bornée si il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n$, $|u_n| \leq M$. Toute suite convergente est bornée (2.19).

📝 Points essentiels

• La limite $\ell$ d’une suite $(u_n)$ se caractérise par la propriété que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $N$ tel que pour tout $n > N$, $|u_n - \ell| < \varepsilon$. La distance $|u_n - \ell|$ mesure la proximité du terme $u_n$ à la limite.

• La convergence implique que la suite devient arbitrairement proche de $\ell$ à partir d’un certain rang, ce qui peut être exprimé par la propriété de la limite ou par la définition epsilon-N.

• La propriété de Cauchy est une caractérisation intrinsèque de la convergence dans $\mathbb{R}$ : toute suite de Cauchy converge, ce qui n’est pas vrai dans $\mathbb{Q}$ sans complétude.

• La limite d’une suite bornée est limitée, mais une suite bornée n’est pas nécessairement convergente (exemple : suite oscillante comme $(-1)^n$).

• La propriété de monotonie (Proposition 2.21) : si deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ convergentes vers $a$ et $b$, avec $a_n \leq b_n$ à partir d’un certain rang, alors $a \leq b$.

💡 À retenir

Une suite converge si ses termes deviennent arbitrairement proches d’une limite, et dans $\mathbb{R}$, cette convergence est équivalente à la propriété de Cauchy, qui ne nécessite pas de connaître la limite à l’avance.

📖 7. Limites et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Concept de limite (historique et formel) : La limite d'une fonction en un point est la valeur que la fonction approche lorsque la variable indépendante tend vers ce point, sans nécessairement y être définie. Formalisée par Weierstraß (1872), cette notion repose sur la convergence de suites ou de quantificateurs pour décrire ce comportement d’approche.

• Définition intuitive de limite : La limite d'une fonction en un point est la valeur vers laquelle la fonction se rapproche lorsque l’on s’approche de ce point, indépendamment de la valeur de la fonction en ce point ou de sa définition en ce dernier.

• Lien entre limite et continuité : La continuité en un point est caractérisée par l’égalité entre la limite de la fonction en ce point et la valeur de la fonction en ce point, c’est-à-dire que la fonction ne présente pas de saut ou discontinuité locale.

• Rôle de Weierstraß (1872) : Il a formalisé rigoureusement la notion de limite à l’aide de la définition epsilon-delta, permettant de passer d’une intuition géométrique à une définition précise et utilisable dans la démonstration mathématique.

📝 Points essentiels

• La limite en un point $x_0$ est définie par la condition : pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que pour tout $x$ dans le domaine, si $|x - x_0| < \delta$, alors $|f(x) - L| < \varepsilon$. La formalisation epsilon-delta est due à Weierstraß (1872), qui a permis de rendre rigoureuse la notion intuitive d’approche.

• La limite peut ne pas exister si la fonction oscille ou diverge lorsque l’on s’approche du point. Par exemple, si $f(x) = x + \operatorname{sign}(x)$, la limite en 0 n’existe pas car la fonction a deux valeurs d’adhérence : +1 et -1, selon la suite choisie pour approcher 0.

• La limite à gauche et à droite en un point $x_0$ sont définies séparément :

  • Limite à droite : $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ est la limite lorsque $x \to x_0$ avec $x > x_0$.
  • Limite à gauche : $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ est la limite lorsque $x \to x_0$ avec $x < x_0$.
    La limite en $x_0$ existe si et seulement si ces deux limites coïncident et sont finies.

• La limite infinie ou à l’infini concerne le comportement de la fonction lorsque $x \to a$ ou $x \to \pm \infty$. La limite infinie en un point indique que la fonction diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$.

• La propriété de composition des limites : si $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ et $\lim_{L \to L_0} g(L) = L_0$, alors $\lim_{x \to x_0} g(f(x)) = L_0$.

• La formalisation epsilon-delta, introduite par Weierstraß, est la base de toutes les démonstrations rigoureuses en limite et continuité.

💡 À retenir

La limite formalise l’idée intuitive d’approche d’une fonction vers une valeur donnée, et la définition epsilon-delta de Weierstraß (1872) en a fait un outil rigoureux essentiel en analyse. La continuité en un point repose sur la limite : si la limite en ce point existe et est égale à la valeur de la fonction, alors la fonction est continue en ce point.

📖 8. Fonctions et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est une relation qui associe à chaque élément $x$ de $E$ un unique élément $f(x)$ de $F$. Elle est notée $f : E \to F$.
• Notations fonctionnelles : La notation $f(x)$ désigne l'image de $x$ par la fonction $f$. Par exemple, $f(x) = \cos(x)$ indique que la fonction $f$ associe à chaque $x$ le cosinus de $x$.
• Opérations sur fonctions : Les opérations telles que la somme, le produit, la multiplication par un scalaire, la composition sont définies point par point. Par exemple, si $f, g : E \to F$, alors $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$, $(\lambda f)(x) = \lambda f(x)$, et $(g \circ f)(x) = g(f(x))$.
• Exemples de fonctions usuelles : Fonctions polynomiales (ex : $x^2$), exponentielles ($e^x$), logarithmes ($\ln(x)$), fonctions trigonométriques ($\sin(x)$, $\cos(x)$), racines ($\sqrt{x}$).

📝 Points essentiels

• La définition d’une fonction précise que pour chaque $x \in E$, il existe un seul $f(x) \in F$. La fonction est donc une règle d’association bien déterminée.
• La notation fonctionnelle $f(x)$ permet d’écrire de manière concise et claire l’image d’un point $x$ par la fonction $f$.
• Opérations sur fonctions : La somme, le produit, la différence, la division (si le dénominateur n’est pas nul), et la composition sont des opérations fondamentales qui permettent de construire de nouvelles fonctions à partir de fonctions données. La composition $g \circ f$ est une opération clé en analyse, permettant de définir des fonctions complexes.
• La fonction cosinus $f(x) = \cos(x)$ est un exemple classique de fonction trigonométrique, périodique, continue sur $\mathbb{R}$.
• La continuité et la différentiabilité de ces fonctions peuvent être étudiées en utilisant leurs opérations, notamment la composition (Propriété 3.26).
• La composition de deux fonctions continues est continue (Propriété 3.26), ce qui permet de construire des fonctions continues complexes à partir de fonctions de base.

💡 À retenir

Une fonction de $E$ dans $F$ est une règle d’association unique, et les opérations sur fonctions permettent de créer des fonctions plus complexes tout en conservant des propriétés essentielles comme la continuité. La notation $f(x)$ est la clé pour manipuler et combiner ces fonctions dans l’analyse.

📖 9. Continuité en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point (définition) : Une fonction $f : I \to \mathbb{R}$ est dite continue en un point $a \in I$ si la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est égale à la valeur de la fonction en ce point, c’est-à-dire $\lim_{x \to a} f(x) = f(a).$ (source : définition 3.17)

• Lien entre continuité et limite en ce point : La continuité en $a$ implique que la limite de $f$ en $a$ existe et est égale à $f(a)$. Réciproquement, si la limite de $f$ en $a$ existe et que cette limite coïncide avec $f(a)$, alors $f$ est continue en $a$. (source : théorème 3.18)

• Limite à gauche et limite à droite (définition) : Pour une fonction $f$ définie sur un intervalle autour de $a$,

  • La limite à droite en $a$, notée $\lim_{x \to a^+} f(x)$, est la limite de $f(x)$ lorsque $x \to a$ avec $x > a$.
  • La limite à gauche en $a$, notée $\lim_{x \to a^-} f(x)$, est la limite de $f(x)$ lorsque $x \to a$ avec $x < a$. (source : définition 2.9)

• Exemple de fonction continue en un point : La fonction polynomiale $f(x) = x^2$ est continue en tout point $a \in \mathbb{R}$. La fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en tout point $a \neq 0$, mais pas en $a=0$ si on considère la limite à gauche et à droite séparément, sauf si on vérifie que la limite existe et est égale à $f(0) = 0$.

📝 Points essentiels

• La continuité en un point $a$ se caractérise par l’égalité $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
• La limite en un point est un concept fondamental pour définir la continuité, et la limite doit exister et être finie pour que $f$ soit continue en ce point.
• La limite à gauche et à droite doivent coïncider avec la valeur de la fonction en $a$ pour que $f$ soit continue en $a$.
• La propriété 3.18 montre que la continuité peut être caractérisée par la propriété que l’image réciproque de tout voisinage de $f(a)$ est un voisinage de $a$.
• La fonction partie entière $E(x) = \lfloor x \rfloor$ est un exemple classique de fonction discontinue en tous les points entiers, mais continue en tout point non entier.
• La continuité est stable par opérations : somme, produit, multiplication par un scalaire, et composition (Propriétés 3.28 et 3.26).

💡 À retenir

La continuité en un point est assurée lorsque la limite de la fonction en ce point existe et est égale à la valeur de la fonction, ce qui garantit une absence de "saut" ou "trou" dans la courbe en ce point.

📖 10. Limite en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition de limite en un point :
  Weierstraß (date non précisée) : La limite en un point $a$ d'une fonction $f$ est la valeur $L$ telle que, pour toute suite $(x_n)$ tendant vers $a$, la suite $(f(x_n))$ tend vers $L$. Autrement dit, $\lim_{x \to a} f(x) = L$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ avec $x_n \to a$, on a $f(x_n) \to L$.

• Caractérisation formelle de la limite :
  Weierstraß (date non précisée) : La limite $L$ de $f$ en $a$ est caractérisée par :
  $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{ tel que } 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon.$ Cette définition est souvent appelée la définition epsilon-delta.

• Exemple de calcul de limite en un point :
  Considérons $f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 1}{x - 1}$.
  Pour $x \to 1$, on factorise le numérateur : $2x^2 + 3x - 1 = (2x - 1)(x + 1)$.
  En simplifiant, on étudie $\lim_{x \to 1} \frac{(2x - 1)(x + 1)}{x - 1}$.
  En utilisant la limite, on trouve que $\lim_{x \to 1} f(x) = 5$ en calculant la limite par substitution après simplification ou par la méthode epsilon-delta.

📝 Points essentiels

• La limite en un point $a$ est définie par la propriété epsilon-delta, permettant de formaliser la notion intuitive de "f proche de L quand x est proche de a".
• La limite est unique si elle existe, ce qui découle directement de la propriété de séparation des limites (si deux limites étaient différentes, cela entraînerait une contradiction).
• La limite en un point peut être calculée par diverses méthodes : substitution directe, factorisation, rationalisation, ou en utilisant la définition epsilon-delta pour prouver l'existence.
• La limite en un point est fondamentale pour définir la continuité en ce point, ainsi que pour l'étude du comportement local des fonctions.
• La propriété de la limite est compatible avec les opérations : si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ et $\lim_{x \to a} g(x) = M$, alors :
  $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = L + M,$ $\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = L \cdot M,$ et si $M \neq 0$, $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}.$

💡 À retenir

La limite en un point formalise la notion intuitive de "f approchant une valeur $L$ quand $x$ s'approche de $a$", et est caractérisée par la propriété epsilon-delta, garantissant l'unicité et permettant de calculer ou de prouver l'existence de cette limite.

📖 11. Limite infinie et à l'infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite à l’infini (limite infinie) :
  Définition : On dit qu’une suite (un)n∈N tend vers +∞ si, pour tout M > 0, il existe N > 0 tel que pour tout n > N, on a un > M.
  Auteur : La notion s’appuie sur la formalisation de la limite infinie, qui permet d’établir que la suite dépasse toute borne finie pour n suffisamment grand.

• Limite à l’infini d’une fonction en un point :
  Définition : Pour une fonction f, lim x→a, x∈Df, f(x) = +∞ si, pour tout M > 0, il existe δ > 0 tel que pour tout x dans Df avec |x − a| < δ, on a f(x) > M.
  Auteur : La définition formalise le comportement de f(x) qui devient arbitrairement grand à proximité de a.

• Limite à l’infini en +∞ :
  Définition : Lim x→+∞, f(x) = si, pour tout ε > 0, il existe B > 0 tel que pour tout x > B, |f(x) −| < ε.
  Auteur : La limite à l’infini en +∞ caractérise le comportement asymptotique de f(x) lorsque x devient très grand.

• Limite infinie en +∞ :
  Définition : Lim x→+∞, f(x) = +∞ si, pour tout A > 0, il existe B > 0 tel que pour tout x > B, f(x) > A.
  Auteur : La fonction tend vers +∞ lorsque ses valeurs deviennent arbitrairement grandes à mesure que x croît.

• Unicité de la limite :
  Propriété : Si une fonction admet une limite en un point, cette limite est unique.
  Auteur : La propriété est fondamentale pour assurer la cohérence de la notion de limite, démontrée en adaptant la preuve de l’unicité pour les suites.

• Relation entre limite en un point et limite à l’infini (Propriété 2.12) :
  Définition : Lim x→+∞, f(x) existe si et seulement si lim t→0, t>0, f(1/t) existe et est égal à cette limite.
  Auteur : Cette propriété permet de transformer une limite à l’infini en une limite en 0, facilitant son étude.

📝 Points essentiels

• La limite infinie d’une suite ou d’une fonction indique que les valeurs deviennent arbitrairement grandes (ou petites) lorsque la variable tend vers un certain point ou l’infini.
• La définition formelle repose sur la capacité à dépasser toute borne finie, ce qui est exprimé par :
  • Pour une limite à l’infini : ∀ M > 0, ∃ N > 0, ∀ n > N, un > M.
  • Pour une limite en +∞ d’une fonction : ∀ A > 0, ∃ B > 0, ∀ x > B, f(x) > A.
• La limite à l’infini peut aussi être infinie (+∞ ou −∞), ce qui signifie que la fonction ou la suite dépasse toute borne finie dans un sens ou dans l’autre.
• La propriété d’unicité garantit qu’une fonction ne peut avoir qu’une seule limite finie en un point ou à l’infini.
• La relation lim x→+∞, f(x) = est équivalente à lim t→0, t>0, f(1/t) =, ce qui permet de relier limite en l’infini et limite en 0.

💡 À retenir

La limite infinie décrit le comportement asymptotique d’une suite ou d’une fonction lorsqu’elle dépasse toute borne finie, et sa définition formelle repose sur la capacité à rendre les valeurs arbitrairement grandes ou petites à proximité d’un point ou à l’infini.

📖 12. Fonctions continues et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction continue en un point : Soit $f : I \to \mathbb{R}$. La fonction $f$ est dite continue en un point $a \in I$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Cela signifie que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que, pour tout $x \in I$, si $|x - a| < \delta$, alors $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$. (définition classique, voir propriétés 3.17 et 3.18)

• Propriétés des fonctions continues : Si $f$ et $g$ sont continues en un point $a$, alors :

  • $\lambda \cdot f$ est continue en $a$ pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ (Propriété 3.28),
  • $f + g$ est continue en $a$,
  • $f \cdot g$ est continue en $a$,
  • si $g(a) \neq 0$, alors $\frac{f}{g}$ est continue en $a$.

• Lien entre continuité et bornes : La continuité sur un intervalle $I$ implique que l’image d’un ensemble compact par une fonction continue est compacte (théorème fondamental). En particulier, une fonction continue sur un intervalle fermé et borné $[a, b]$ est bornée et atteint ses bornes (théorème de Weierstraß). (voir propriétés 3.27, 3.29)

• Théorèmes fondamentaux sur fonctions continues :

  • Théorème de l’intervalle : Toute fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ est bornée et atteint ses bornes (maximum et minimum). (théorème de Weierstraß)
  • Théorème de la valeur intermédiaire : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et que $f(a) < c < f(b)$, alors il existe $x \in [a, b]$ tel que $f(x) = c$. (résulte de la propriété de continuité et de l’intervalle)

📝 Points essentiels

• La continuité en un point $a$ garantit que la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ est égale à la valeur de la fonction en ce point, c’est-à-dire $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
• La propriété 3.27 montre que si $f$ est continue en $a$ et $f(a) \neq 0$, alors il existe un voisinage autour de $a$ où $f$ ne s’annule pas, ce qui illustre la stabilité locale de la non-nullité.
• La stabilité des opérations (somme, produit, quotient) sur des fonctions continues permet de construire de nouvelles fonctions continues à partir de fonctions de référence.
• Le théorème de Weierstraß assure que toute fonction continue sur un intervalle fermé et borné $[a, b]$ est bornée et atteint ses extrêmes, ce qui est fondamental pour l’analyse.

💡 À retenir

La continuité d’une fonction sur un intervalle garantit sa stabilité locale, la possibilité d’étendre ses propriétés à des opérations arithmétiques, et la réalisation de ses bornes, formant ainsi un socle essentiel pour l’analyse réelle.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre objet mathématique abstrait et sa représentation graphique ou symbolique.
2. Croire qu’un objet défini par axiomes doit nécessairement être construit explicitement.
3. Confondre max A et sup A : le maximum n’existe pas toujours même si la borne supérieure existe.
4. Oublier que la notation a := b indique une définition, pas une égalité.
5. Confondre la propriété archimédienne avec d’autres propriétés d’ordre ou de grandeur.
6. Utiliser la notation (a, b) pour un intervalle sans préciser s’il est ouvert ou fermé.
7. Penser que la démonstration par contradiction nécessite toujours un ε > 0, alors qu’elle peut aussi utiliser d’autres techniques.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition d’un objet mathématique abstrait selon la perspective axiomatique.
2. Savoir différencier un objet mathématique d’une représentation graphique ou visuelle.
3. Maîtriser la méthode d’introduction axiomatique et ses enjeux pour la cohérence de la théorie.
4. Connaître le principe de démonstration par contradiction avec ε > 0 et ses applications.
5. Comprendre la propriété archimédienne des corps ordonnés et son rôle dans la théorie des nombres réels.
6. Savoir démontrer l’existence de bornes supérieures et inférieures pour un ensemble borné.
7. Maîtriser la notation en mathématiques : a := b, x ∈ A, (a, b), max A, min A.
8. Connaître la construction rigoureuse des nombres réels par Dedekind ou Cauchy.
9. Savoir utiliser la propriété de complétude pour démontrer l’existence de bornes ou de limites.
10. Être capable d’identifier si un ensemble possède un maximum ou un minimum, et connaître les conditions.
11. Connaître la différence entre un ensemble borné et un ensemble compact en contexte d’analyse.
12. Vérifier la maîtrise des notations et définitions essentielles pour l’analyse réelle.