Fiche de révision : Fundamentos de Funciones y Trigonometría

📋 Esquema del Curso

1. Definición formal de función
2. Dominio y rango
3. Funciones por partes y valor absoluto
4. Funciones racionales y asintotas
5. Funciones polinomiales y gráficas
6. Funciones exponenciales y logarítmicas
7. Funciones trigonométricas básicas
8. Funciones trigonométricas inversas

📖 1. Definición formal de función

🔑 Conceptos clave y definiciones

• Función: relación entre conjuntos donde a cada elemento del conjunto de partida le corresponde exactamente un elemento del conjunto de llegada. (Def. 1.1.1)
• Condición de existencia de una función: cada elemento del dominio tiene una imagen en el rango.
• Función uno a uno: función donde diferentes elementos del dominio tienen diferentes imágenes.
• Función por partes: función definida en diferentes tramos con diferentes expresiones.
• Función valor absoluto: función que asigna a cada número su valor positivo, definida por tramos.

📝 Puntos esenciales

• La función asigna a cada x un único y, diferenciándose de relaciones generales que pueden asignar múltiples valores.
• La notación habitual es y = f(x), donde x es la variable independiente y y la variable dependiente.
• La condición de existencia se cumple si cada elemento del dominio tiene una imagen en el rango, sin que haya valores que rompan la función (como división por cero o raíz de número negativo).
• La función valor absoluto |x| se define por tramos: |x|=x si x≥0 y |x|=−x si x<0.
• La función por partes se evalúa identificando en qué tramo cae x y aplicando la expresión correspondiente.
• La función uno a uno se caracteriza porque diferentes x generan diferentes y, y puede verificarse mediante la prueba de la recta horizontal.

💡 Conclusión clave

Una función es una relación que asigna de manera única a cada elemento del conjunto de partida un elemento del conjunto de llegada, y puede estar definida en tramos o por expresiones específicas, como en el caso del valor absoluto.

📖 2. Dominio y rango

🔑 Conceptos clave y definiciones

• Dominio: conjunto de todos los valores de entrada (x) para los cuales la función está definida. Se obtiene considerando restricciones como denominadores iguales a cero o radicandos negativos (ver restricción en el dominio implícito).
• Rango: conjunto de todos los valores de salida (y) que la función puede tomar. Se determina a partir de la gráfica o mediante análisis algebraico, proyectando la curva sobre el eje y o despejando x en la expresión de la función.
• Restricciones en el dominio: condiciones necesarias para que la función esté definida, como que el radicando en una raíz par sea no negativo o que el denominador no sea cero.
• Dominio implícito: conjunto de valores de x que cumplen las condiciones necesarias para que la función exista, derivadas de las restricciones en la expresión algebraica (ejemplo: denominador ≠ 0, radicando ≥ 0).
• Cálculo del rango: puede hacerse a partir de la gráfica, proyectando la curva sobre el eje y, o mediante análisis algebraico, despejando x en y=f(x) y determinando qué valores de y corresponden a valores de x en el dominio.
• Intervalos de valores en el rango: los valores que la función puede tomar están en intervalos, que pueden incluir o excluir extremos, representados en la gráfica con puntos sólidos (incluido) o vacíos (excluido).

📝 Puntos esenciales

• El dominio se obtiene aplicando las restricciones en la expresión de la función, como denominadores iguales a cero o radicandos negativos.
• El rango se determina mediante la gráfica, proyectando sobre el eje y, o algebraicamente, despejando x en y=f(x).
• La prueba de la recta vertical ayuda a verificar si una curva representa una función: toda recta vertical debe cortar en máximo un punto.
• La función valor absoluto |x| tiene dominio ℝ y rango [0, +∞), con vértice en (0,0).
• En funciones definidas por partes, el dominio incluye los puntos de unión si cumplen las condiciones de la función en esas piezas.
• La restricción en el dominio puede incluir condiciones como x≥3 en funciones con raíz √(x−3), y el rango será desde el valor mínimo en ese punto hasta +∞.

💡 Conclusión clave

El dominio y el rango definen los conjuntos de entrada y salida de una función, siendo fundamentales para comprender su comportamiento y determinar en qué valores está definida y qué valores puede tomar.

📖 3. Funciones por partes y valor absoluto

🔑 Conceptos Clave y Definiciones

• Función definida por partes: función que se expresa mediante diferentes fórmulas en distintos subintervalos del dominio. Para evaluar en un punto de unión, se debe verificar si las fórmulas coinciden y si el punto está incluido según los símbolos ≤ o < (verificación de continuidad en puntos de unión).

• Función valor absoluto |x|: función que asigna a cada número su valor positivo. Se define por tramos: si x ≥ 0, |x|=x; si x<0, |x|=−x. Es una función definida en todo ℝ, con rango [0, +∞), y su gráfica forma una "V" con vértice en (0,0).

• Función entero mayor ⌊x⌋: función que asigna el mayor entero n tal que n ≤ x. Su gráfica consiste en escalones, con puntos sólidos en el extremo izquierdo y vacíos en el derecho, y su dominio es todo ℝ, rango en ℤ. Es discontinua en cada entero.

📝 Puntos Esenciales

• La función por partes requiere identificar en qué pieza cae x y aplicar la fórmula correspondiente. En los puntos de unión, la inclusión o exclusión del extremo (≤ o <) determina si el punto está incluido en la gráfica.

• La función valor absoluto |x| se interpreta como la distancia en ℝ, y su gráfica en forma de "V" tiene pendientes +1 y -1 en cada lado del vértice en (0,0). La propiedad |a+b| ≤ |a|+|b| refleja la desigualdad triangular.

• La función entero mayor ⌊x⌋ genera escalones en su gráfica, con puntos incluidos en los extremos izquierdo y excluidos en los derechos. Es discontinua en cada entero, y para negativos, el valor de la función se acerca a -∞ en los puntos de los enteros negativos.

• La evaluación de funciones definidas por partes y funciones con valor absoluto requiere verificar continuidad en puntos de unión y condiciones de dominio, como radicandos ≥ 0 o denominadores ≠ 0.

💡 Clave de Aprendizaje

Las funciones por partes y valor absoluto se definen mediante tramos o condiciones específicas, y su análisis requiere atención a los puntos de unión, inclusión de extremos y restricciones de dominio, siendo fundamentales para entender su comportamiento y gráfica.

📖 4. Funciones racionales y asintotas

🔑 Conceptos clave y definiciones

• Funciones racionales: funciones que se expresan como cocientes de polinomios, es decir, de la forma $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$, donde $p(x)$ y $q(x)$ son polinomios. (C5)

• Asíntotas verticales: líneas que la gráfica se acerca pero no toca, que ocurren en los valores de $x$ donde el denominador $q(x)$ se hace cero y el numerador $p(x)$ no también, formando un muro hacia el infinito. (C7)

• Asíntotas horizontales: líneas que la gráfica se acerca en infinito, que se determinan analizando el comportamiento en $x \to \pm \infty$, comparando los grados de los polinomios $p(x)$ y $q(x)$. (C7)

• Asíntotas inclinadas: líneas que la gráfica se acerca en infinito cuando el grado del numerador es exactamente uno mayor que el del denominador, formando una línea recta con pendiente. (C7)

• Discontinuidades removibles: huecos en la gráfica que ocurren cuando en un punto $x=a$, el numerador y el denominador se anulan, pero la función puede ser redefinida en ese punto para eliminar la discontinuidad. (C8)

• Huecos: puntos en la gráfica donde la función no está definida por una indeterminación del tipo $0/0$, pero puede ser eliminada simplificando la expresión. (C8)

• Comportamiento extremo: análisis del grado del polinomio en el numerador y denominador para determinar cómo se comporta la función cuando $x \to \pm \infty$, identificando así las asíntotas horizontales o inclinadas. (C8)

📝 Puntos esenciales

• Para determinar las asíntotas verticales, igualar el denominador $q(x)=0$ y verificar que el numerador $p(x)$ no también sea cero en esos puntos. Si $p(a)=0$ y $q(a)=0$, puede existir una discontinuidad removible (hueco).

• La asíntota horizontal se obtiene comparando los grados de $p(x)$ y $q(x)$:

  • Si $\deg p < \deg q$, la asíntota es $y=0$.
  • Si $\deg p = \deg q$, la asíntota es $y=$ cociente de los coeficientes principales.
  • Si $\deg p > \deg q$, no hay asíntota horizontal, sino inclinada (si la diferencia de grados es 1).

• La discontinuidad removible puede eliminarse si el factor común en numerador y denominador se cancela, dejando un hueco en la gráfica en ese punto.

• El comportamiento en infinito se analiza mediante el grado de los polinomios:

  • Cuando $x \to \pm \infty$, la función se acerca a la asíntota horizontal o inclinada, dependiendo del grado relativo de $p(x)$ y $q(x)$.

💡 Conclusión clave

Las funciones racionales presentan asíntotas verticales en los ceros del denominador y asíntotas horizontales o inclinadas según el análisis del comportamiento en infinito, además de posibles huecos que se eliminan mediante simplificación. El comportamiento extremo en infinito se determina comparando los grados de los polinomios en numerador y denominador.

📖 5. Funciones polinomiales y gráficas

🔑 Conceptos clave y definiciones

• Funciones polinomiales: funciones con expresiones algebraicas de potencias, es decir, sumas de términos con variables elevadas a exponentes enteros no negativos y coeficientes reales. Ejemplo: $f(x)=2x^3-4x+1$.

• Forma de funciones polinomiales: expresiones algebraicas en la que los términos están ordenados por grado, desde el mayor hasta el menor, con coeficientes reales. La gráfica suele tener forma de curva suave y continua.

• Vértice (en funciones cuadráticas): punto donde la parábola alcanza su valor mínimo o máximo, determinado por la fórmula $x=-b/2a$ en funciones cuadráticas $ax^2+bx+c$.

• Comportamiento en infinito: análisis del comportamiento de la gráfica cuando $x \to \pm \infty$. Para polinomios, depende del grado y el signo del coeficiente principal: si el grado es par y el coeficiente principal es positivo, la gráfica sube en ambos extremos; si es negativo, baja en ambos extremos. Si el grado es impar, la gráfica sube en un extremo y baja en el otro.

📝 Puntos esenciales

• La gráfica de una función polinomial de grado $n$ puede tener hasta $n-1$ puntos críticos (máximos y mínimos) y hasta $n-2$ puntos de inflexión, dependiendo de su grado y coeficientes.

• El vértice en funciones cuadráticas determina el punto de mínimo o máximo y se obtiene mediante fórmulas específicas, como en $f(x)=ax^2+bx+c$.

• El comportamiento en infinito se determina por el grado del polinomio y el signo del coeficiente principal: para grado par y coeficiente positivo, la gráfica se eleva en ambos extremos; para grado impar, la gráfica se extiende hacia $+\infty$ en un extremo y $-\infty$ en el otro.

• La forma de la gráfica puede ser una parábola (grado 2), una curva más compleja para grados mayores, siempre suave y continua.

💡 Conclusión clave

Las funciones polinomiales se caracterizan por su expresión algebraica en potencias, su forma gráfica suave y continua, y su comportamiento en infinito determinado por el grado y el signo del coeficiente principal. La identificación del vértice y el análisis del comportamiento en infinito son fundamentales para comprender su gráfica.

📖 6. Funciones exponenciales y logarítmicas

🔑 Conceptos clave y definiciones

• Función exponencial: función de la forma a^x, donde a es una constante positiva distinta de 1, con dominio ℝ y rango (0, +∞). Siempre pasa por (0,1) y tiene asíntota y=0.
• Crecimiento y decrecimiento: si a>1, la función es creciente; si 0<a<1, es decreciente. La función aumenta o disminuye de forma continua en todo ℝ.
• Función logarítmica: inversa de la función exponencial, de la forma logₐ x, con dominio (0, +∞) y rango ℝ. Tiene asíntota vertical en x=0.
• Propiedades del logaritmo: logₐ(MN)=logₐ M + logₐ N, logₐ(M/N)=logₐ M − logₐ N, logₐ(Mⁿ)=n·logₐ M.

📝 Puntos esenciales

• La función exponencial a^x siempre es positiva y pasa por (0,1). La base a determina si la función crece (a>1) o decrece (0<a<1).
• La función logarítmica logₐ x es la inversa de a^x, por lo que su dominio es (0, +∞) y su rango es ℝ.
• La asíntota vertical de logₐ x en x=0 refleja que la función no está definida en x≤0.
• La relación entre exponencial y logarítmica permite resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas aplicando logaritmos o exponenciando ambos lados.
• La función exponencial e^x (base natural) es única porque e^x es igual a su propia derivada y pasa por (0,1).

💡 Clave de aprendizaje

Las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas entre sí, con dominios y rangos complementarios, y su comportamiento depende de la base a, determinando crecimiento o decrecimiento.

📖 7. Funciones trigonométricas básicas

🔑 Key Concepts & Definitions

• Seno (sin): función trigonométrica que, en un círculo unitario, corresponde a la coordenada y del punto en el círculo asociado a un ángulo x. (sin x) tiene dominio en todos los reales y rango en [-1, 1].

• Coseno (cos): función trigonométrica que, en un círculo unitario, corresponde a la coordenada x del punto en el círculo asociado a un ángulo x. (cos x) tiene dominio en todos los reales y rango en [-1, 1].

• Tangente (tan): relación entre seno y coseno, definida como tan x = sin x / cos x. Tiene dominio en todos los reales excepto en x = (π/2) + nπ, donde no existe. Su período es π.

• Cotangente (cot): relación inversa a la tangente, definida como cot x = cos x / sin x. Tiene dominio en todos los reales excepto en x = nπ, donde no existe. Su período es π.

• Secante (sec): función definida como sec x = 1 / cos x. No está definida donde cos x = 0, es decir, en x = (π/2) + nπ. Tiene rango en (-∞, -1] ∪ [1, +∞).

• Cosecante (csc): función definida como csc x = 1 / sin x. No está definida donde sin x = 0, en x = nπ. Tiene rango en (-∞, -1] ∪ [1, +∞).

• Periodos: número que indica cuánto se repite la función en su ciclo. Sin y cos tienen período 2π; tan, cot, sec, csc tienen período π.

• Amplitudes: valor máximo que alcanza la función en su ciclo. Para sin y cos, la amplitud es 1, ya que oscilan entre -1 y 1.

• Desplazamientos de fase: desplazamiento horizontal en la gráfica de la función trigonométrica, determinado por el valor C en la expresión y = D + A·sen(Bx - C), donde C/B indica cuánto se desplaza a la derecha o izquierda.

📝 Essential Points

• Relación fundamental: sin²x + cos²x = 1, que conecta las funciones seno y coseno y es la identidad trigonométrica básica.

• Funciones periódicas: sin y cos repiten su patrón cada 2π, mientras que tan, cot, sec y csc cada π, lo que afecta su comportamiento y gráficos.

• Dominios y rangos: sin y cos están definidos en todos los reales, con rango en [-1, 1]. Sec y csc no pueden tomar valores en (-1, 1), ya que sus denominadores no pueden ser cero, y sus rangos son (-∞, -1] ∪ [1, +∞).

• Identidades trigonométricas: sin²x + cos²x=1, y otras derivadas como sin²x=(1-cos 2x)/2 y cos²x=(1+cos 2x)/2, que permiten cambiar cuadrados por funciones de doble ángulo.

• Periodos, amplitudes y desplazamientos: la forma general y=D+A·sen(Bx - C) describe la función, donde A es la amplitud, B determina el período (2π/B), y C el desplazamiento de fase.

💡 Key Takeaway

Las funciones trigonométricas básicas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) son fundamentales en el estudio de fenómenos periódicos, y su comportamiento se caracteriza por sus periodos, amplitudes, dominios, rangos y relaciones mediante identidades, siendo esenciales para entender las relaciones en triángulos y en modelos matemáticos cíclicos.

📖 8. Funciones trigonométricas inversas

🔑 Conceptos clave y definiciones

• Función uno a uno (ver sección 1.1): función donde diferentes elementos del dominio tienen diferentes imágenes, permitiendo su inversión. Es necesaria para definir funciones inversas.
• Función inversa (C2): función que "deshace" la acción de otra, intercambiando dominio y rango, y que cumple que si $f(x)=y$, entonces $f^{-1}(y)=x$.
• Condición para la existencia de inversas (C5): la función debe ser uno a uno, por lo que requiere restricciones de dominio para cumplir esta condición.
• Dominio restringido para crear inversa (C5): para funciones trigonométricas inversas, se restringe el dominio original de modo que la función sea uno a uno en ese intervalo.
• Arcsen (arcsin) (C6): función inversa del seno, con rango $[-π/2, π/2]$.
• Arccos (arccos) (C7): función inversa del coseno, con rango $[0, π]$.
• Arctan (arctan) (C7): función inversa de la tangente, con rango $(-π/2, π/2)$.
• Método del triángulo rectángulo para definir inversas (C8): método que usa triángulos rectángulos para determinar los valores de las funciones inversas, considerando catetos y hipotenusa, y el signo según el rango definido.

📝 Puntos esenciales

• Las funciones inversas de las funciones trigonométricas básicas se definen restringiendo el dominio de las funciones originales para que sean uno a uno.
• El rango de arcsen es $[-π/2, π/2]$, garantizando que la función sea invertible en ese intervalo.
• El rango de arccos es $[0, π]$, y el de arctan es $(-π/2, π/2)$.
• La existencia de una inversa requiere que la función original sea uno a uno, lo cual se logra restringiendo su dominio.
• El método del triángulo rectángulo ayuda a definir los valores de las funciones inversas sin necesidad de calculadora, usando relaciones trigonométricas en triángulos rectángulos.
• La función arcsen(−1) = −π/2 y arcsen(1) = π/2; en cambio, arccos(−1) = π y arccos(1) = 0; y arctan(−∞) = −π/2, arctan(+∞) = π/2.

💡 Conclusión clave

Las funciones trigonométricas inversas se definen restringiendo el dominio de las funciones originales para que sean uno a uno, permitiendo así su inversión y facilitando su uso mediante métodos geométricos, como el triángulo rectángulo.

📊 Tablas de Síntesis