Introduction à la dérivée et à l'étude des variations

• La dérivée d'une fonction mesure la pente de la tangente en un point.
• La de base pour une fonction simple : f’(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h.
• Dérivées fondamentales :
  • (x) → 1, f’(x) = 1
  • (x)² → 2x
  • (1/x) → -1/x²
• Règles de dérivation :
  • k×f(x) → k×f’(x)
  • (f+g)’(x) = f’(x) + g’(x)
  • (f×g)’(x) = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)
• Le signe de f’(x) indique :
  • f’(x) > 0 : fonction croissante
  • f’(x) < 0 : fonction décroissante
  • f’(x) = 0 : point critique (maximum, minimum ou plateau)
• L’étude de variation repose sur le signe de la dérivée.

2. 🧩 Structures & Composants clés

• Fonction dérivée — limite du taux de variation, représente la pente de la tangente.
• Formules de dérivation — pour fonctions usuelles : 1, 2x, -1/x².
• Règles de dérivation — linéarité, produit, somme.
• Points critiques — solutions de f’(x)=0.
• Tableau de variation — indique croissance ou décroissance selon le signe de f’.

3. 🔬 Fonctions, Mécanismes & Relations

• La dérivée est calculée via des règles de dérivation appliquées aux fonctions de base.
• La dérivée d’un produit ou d’une somme s’obtient par règle spécifique.
• La croissance ou décroissance d’une fonction dépend du signe de f’.
• La résolution f’(x)=0 permet d’identifier les points où la fonction change de tendance.
• La variation de la fonction est analysée en étudiant le signe de f’ sur chaque intervalle.