Fonction dérivée : Fonction numérique qui, pour chaque point d’un intervalle, associe la pente de la tangente à la graphique de la fonction en ce point. Elle est notée 𝑓′(𝑥) et définit la variation instantanée de la fonction en ce point.
Notations 𝑓′(𝑥) et 𝑑𝑓/𝑑𝑥 : La notation 𝑓′(𝑥) indique la fonction dérivée, tandis que la notation différentielle 𝑑𝑓/𝑑𝑥 est utilisée en physique et mécanique pour représenter le taux de variation instantané.
La fonction dérivée associe à chaque point 𝑥 la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point. Elle traduit le taux de variation instantané de la fonction en ce lieu précis.
La dérivabilité d’une fonction implique sa continuité sur l’intervalle considéré. Autrement dit, si une fonction est dérivable en un point, elle doit aussi être continue en ce point.
La dérivée d’une fonction mesure localement la vitesse ou le taux de changement instantané de cette fonction, en associant à chaque point la pente de la tangente à sa courbe.
Fonction constante : Fonction qui ne varie pas, dont la valeur est identique pour tout x dans son domaine.
Fonction affine : Fonction de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, où 𝑎 et 𝑏 sont des constantes. Sa dérivée est une fonction constante.
Fonction puissance : Fonction de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑥ⁿ, avec n un réel. Sa dérivée dépend de l'exposant n.
Fonction inverse : Fonction définie par 𝑓(𝑥) = 1/𝑥, dont le domaine exclut zéro.
Fonction racine carrée : Fonction définie par 𝑓(𝑥) = √𝑥, dont le domaine est ℝ⁺.
Fonction logarithme népérien (ln) : Fonction définie sur ℝ⁺, associée à la fonction exponentielle, avec une croissance lente.
La dérivée d'une fonction constante est nulle.
La dérivée de 𝑓(𝑥) = 𝑥ⁿ est 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥ⁿ⁻¹ pour 𝑥 ≠ 0 si n est négatif.
La dérivée de 𝑓(𝑥) = 1/𝑥 est 𝑓′(𝑥) = -1/𝑥² sur son domaine de définition.
Maîtriser les dérivées des fonctions de base permet de construire facilement celles de fonctions plus complexes.
Polynôme de degré 2 : Fonction polynomiale dont le terme de plus haut degré est en , c’est-à-dire de la forme avec .
Polynôme de degré 3 : Fonction polynomiale dont le terme de plus haut degré est en , de la forme avec .
Formule dérivée polynôme degré 2 : Expression donnant la pente de la tangente à la courbe d’un polynôme de degré 2, soit .
Formule dérivée polynôme degré 3 : Expression donnant la pente de la tangente à la courbe d’un polynôme de degré 3, soit .
La dérivée d’un polynôme du second degré est . Cette formule montre que la dérivée est une fonction affine, c’est-à-dire une droite dont le coefficient directeur est et l’ordonnée à l’origine est .
La dérivée d’un polynôme du troisième degré est . Il s’agit d’un polynôme du second degré, dont la forme permet d’étudier les variations de la fonction initiale en analysant ses racines et son signe.
Les formules de dérivation pour les polynômes de degré 2 et 3 permettent de déterminer rapidement la pente de la courbe en tout point, facilitant ainsi l’étude de leur sens de variation et la recherche d’extremums.
Somme de fonctions dérivables : opération qui consiste à additionner deux fonctions dont la dérivée existe, permettant de calculer la dérivée de leur somme.
Produit de fonctions dérivables : opération qui consiste à multiplier deux fonctions dérivables, pour laquelle une formule spécifique permet de déterminer la dérivée du produit.
Quotient de fonctions dérivables : opération de division entre deux fonctions dérivables, avec une formule particulière pour la dérivée du quotient, sous la condition que le dénominateur ne soit pas nul.
Dérivée de la fonction composée : opération sur deux fonctions où l’on calcule la dérivée de leur composition, en utilisant une règle spécifique.
Dérivée de la fonction exponentielle : opération sur la fonction exponentielle, dont la dérivée est liée à la fonction elle-même, multipliée par la dérivée de l’exposant.
Dérivée du logarithme de fonction : opération sur la fonction logarithme, dont la dérivée est le quotient de la dérivée de la fonction par la fonction elle-même, sous condition de positivité.
La dérivée de la somme est la somme des dérivées : (u+v)' = u' + v'.
La dérivée du produit est donnée par la formule : (uv)' = u'v + uv'.
La dérivée du quotient est : (u/v)' = (u'v - uv')/v², avec v ≠ 0.
La dérivée de ln(u) est u'/u, avec u > 0.
La dérivée de e^u est u' e^u.
Les opérations sur fonctions dérivables permettent de combiner facilement les dérivées, notamment pour traiter des fonctions composées ou impliquant des opérations algébriques, en utilisant des formules spécifiques.
Sens de variation : La direction dans laquelle une fonction change de valeur lorsqu’on se déplace le long de son domaine. Elle peut être croissante ou décroissante.
Tableau de variations : Représentation graphique qui indique les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante, en utilisant des flèches pour symboliser la continuité et la monotonie.
Extremum (maximum et minimum) : Point où une fonction atteint une valeur locale la plus haute (maximum) ou la plus basse (minimum) par rapport à ses alentours.
Condition nécessaire d'extremum (𝑓′(𝑥₀) = 0) : Critère indiquant qu’un extremum local peut se produire en un point où la dérivée de la fonction est nulle.
Tangente en un point : Droite qui touche la courbe en ce point sans la couper, représentant la pente locale de la fonction à cet endroit.
Equation de la tangente : Forme mathématique de la droite tangentielle en un point a, donnée par y = 𝑓′(a)(x - a) + 𝑓(a).
Si la dérivée 𝑓′(𝑥) est positive sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante sur cet intervalle. Cela signifie que la valeur de la fonction augmente lorsque x augmente.
Un extremum local se caractérise par une dérivée nulle en ce point, c’est-à-dire que 𝑓′(𝑥₀) = 0. La dérivée qui change de signe en ce point indique la présence d’un extremum : si elle passe de positive à négative, il s’agit d’un maximum ; si elle passe de négative à positive, d’un minimum.
L’équation de la tangente en un point a, y = 𝑓′(a)(x - a) + 𝑓(a), permet de représenter la droite qui touche la courbe en ce point, en utilisant la pente donnée par la dérivée en a.
L’analyse du signe de la dérivée permet de déterminer si une fonction est croissante ou décroissante, et la variation de cette dérivée indique la présence et la nature des extrema locaux. La tangente fournit une représentation locale du comportement de la fonction en un point donné.
| Date | Événement |
|---|---|
| Aucun date explicitement mentionnée | — |
| Fonction | Forme / Exemple | Dérivée | Particularités / Domaines |
|---|---|---|---|
| Fonction constante | f(x) = c | 0 | Valeur identique pour tout x |
| Fonction affine | f(x) = ax + b | a | Dérivée constante, pente = a |
| Fonction puissance | f(x) = xⁿ | n xⁿ⁻¹ | Négatif si n négatif, domaine dépend de n |
| Fonction inverse | f(x) = 1/x | -1/x² | Domaine exclut zéro |
| Fonction racine carrée | f(x) = √x | 1/(2√x) | Domaine ℝ⁺ |
| Fonction logarithme népérien | f(x) = ln x | 1/x | Domaine ℝ⁺ |
| Polynôme | Forme / Exemple | Dérivée | Utilité |
|---|---|---|---|
| Degré 2 (quadratique) | ax² + bx + c | 2ax + b | Étude des variations, extrema |
| Degré 3 (cubique) | ax³ + bx² + cx + d | 3ax² + 2bx + c | Analyse des variations et extrema |
Teste tes connaissances sur Introduction à la dérivée et ses applications avec 7 questions à choix multiples et corrections détaillées.
1. Quel est le rôle principal de la fonction dérivée d'une fonction ?
2. Quelle est la caractéristique principale de la dérivée d’un polynôme de degré 2 ?
Mémorisez les concepts clés de Introduction à la dérivée et ses applications avec 9 flashcards interactives.
Dérivée — définition ?
Fonction donnant la pente en chaque point.
Dérivée — définition?
Taux de variation instantané en un point.
Fonctions dérivables principales
Constante, affine, puissance, inverse, racine, logarithme.
Importe ton cours et l'IA génère fiches, QCM et flashcards en 30 secondes.
Générateur de fiches