Fiche de révision : Introduction à la différentiabilité et aux dérivées

📋 Plan du Cours

1. Dérivation fonction vectorielle
2. Développement limité en un point
3. Dérivées partielles en plusieurs variables
4. Matrice Jacobienne
5. Différentiabilité et continuité
6. Fonctions de classe C1

📖 1. Dérivation fonction vectorielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction d’une variable réelle à valeurs vectorielles : Fonction 𝑓 : 𝐼 ⊂ ℝ → 𝐹, où 𝐹 est un ℝ-evn. Elle est dérivable en 𝑎 si le taux d’accroissement 1/𝑡 (𝑓(𝑎 + 𝑡) − 𝑓(𝑎)) admet une limite finie ℓ lorsque 𝑡 → 0, cette limite étant la dérivée vectorielle 𝑓′(𝑎).

• Fonction dérivable : Fonction 𝑓 : 𝐼 ⊂ ℝ → 𝐹 est dite dérivable si elle l’est en tout point de 𝐼. La fonction dérivée 𝑓′ : 𝐼 → 𝐹 associe à chaque 𝑡 la dérivée en ce point.

• Fonction coordonnées dans une base : Si 𝐵 = (𝑒1, ..., 𝑒𝑝) est une base de 𝐹, alors 𝑓 possède des fonctions coordonnées 𝑓1, ..., 𝑓𝑝, telles que 𝑓(𝑡) = ∑ 𝑓𝑘(𝑡) 𝑒𝑘.

• Dérivée d’une fonction dérivable : Si 𝑓 est dérivable, alors 𝑓′(𝑡) = ∑ 𝑓𝑘′(𝑡) 𝑒𝑘.

• Propriété de linéarité : Pour 𝑓, 𝑔 : 𝐼 → 𝐹 dérivables, et 𝜆 ∈ ℝ, la fonction 𝜆𝑓 + 𝑔 est dérivable avec (𝜆𝑓 + 𝑔)′(𝑡) = 𝜆𝑓′(𝑡) + 𝑔′(𝑡).

• Différentielle d’une fonction : Si 𝑓 admet un développement limité à l’ordre 1 en 𝑎, alors il existe une application linéaire 𝑢 : 𝐸 → 𝐹 telle que 𝑓(𝑎 + ℎ) = 𝑓(𝑎) + 𝑢(ℎ) + ‖ℎ‖ 𝜀(ℎ), avec 𝜀(ℎ) → 0 lorsque ℎ → 0.

• Différentiabilité en un point : 𝑓 est différentiable en 𝑎 si il existe une application linéaire 𝑢 : 𝐸 → 𝐹 telle que lim_{ℎ→0} ‖𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) − 𝑢(ℎ)‖/‖ℎ‖ = 0. La différentielle en 𝑎 est cette application linéaire notée d𝑓(𝑎).

• Unicité de la différentielle : Si 𝑓 est différentiable en 𝑎, alors 𝑢 est unique et on la note d𝑓(𝑎).

• Continuité de la fonction différentiable : Toute fonction différentiable est continue en ce point.

• Fonction constante ou linéaire : Si 𝑓 est constante, alors d𝑓(𝑎) = 0. Si 𝑓 est linéaire, alors d𝑓(𝑎) = 𝑓.

• Différentiabilité sur un intervalle : 𝑓 est différentiable sur 𝐼 si elle l’est en tout point de 𝐼. La dérivée est alors la fonction 𝑓′ : 𝐼 → 𝐹.

📝 Points essentiels

• La dérivation d’une fonction vectorielle en un point consiste à approcher la variation de 𝑓(𝑎 + ℎ) par une application linéaire 𝑢 : 𝐸 → 𝐹, appelée différentielle en 𝑎.

• La fonction dérivée 𝑓′(𝑡) est définie comme la limite du taux d’accroissement et peut s’exprimer via des fonctions coordonnées dans une base.

• La propriété de linéarité de la dérivée permet de décomposer la dérivée de sommes ou de fonctions multipliées par un scalaire.

• La différentiabilité implique la continuité, et la différentielle est une application linéaire unique.

• La différentiabilité en un point est équivalente à l’existence d’un développement limité à l’ordre 1 en ce point.

• La matrice jacobienne caractérise entièrement la différentielle d’une fonction différentiable en un point.

💡 À retenir

La dérivation d’une fonction vectorielle consiste à approcher localement ses variations par une application linéaire appelée différentielle, qui est unique et caractérise la sensibilité de la fonction à ses variations.

📖 2. Développement limité en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité à l’ordre 1 en un point : Expression approchée d’une fonction 𝑓 en un point 𝑎, sous la forme 𝑓(𝑎 + ℎ) = 𝑓(𝑎) + 𝑢(ℎ) + ‖ℎ‖𝜀(ℎ), où 𝑢 est une application linéaire et 𝜀 une fonction tendant vers 0 lorsque ℎ → 0.
• Application linéaire 𝑢 : Fonction linéaire qui apparaît dans le développement limité, représentant la partie linéaire de l’approximation de 𝑓 en 𝑎.
• Notations 𝑜(‖ℎ‖) : Terme qui tend vers 0 plus vite que ‖ℎ‖ lorsque ℎ → 0, indiquant que la différence entre 𝑓(𝑎 + ℎ) et son approximation linéaire est négligeable à l’ordre 1.
• Unicité de l’application linéaire 𝑢 : Si 𝑓 admet un développement limité à l’ordre 1 en 𝑎, alors 𝑢 est unique.
• Différentiabilité en un point : Fonction 𝑓 est différentiable en 𝑎 si elle admet un développement limité à l’ordre 1 en ce point, avec une application linéaire 𝑢 spécifique, appelée différentielle 𝑑𝑓(𝑎).

📝 Points essentiels

• La définition du développement limité à l’ordre 1 permet d’approcher 𝑓 près de 𝑎 par une somme de sa valeur en 𝑎, d’une application linéaire 𝑢 (la différentielle) et d’un terme négligeable 𝜀(ℎ).
• La différentiabilité en un point est équivalente à l’existence d’un développement limité à l’ordre 1 en ce point.
• La différentielle 𝑑𝑓(𝑎) est une application linéaire unique qui représente la partie linéaire du développement.
• Si 𝑓 est différentiable en 𝑎, alors elle est continue en 𝑎.
• La différentiabilité d’une fonction en un point implique la différentiabilité de ses fonctions coordonnées dans une base donnée.

💡 À retenir

Le développement limité à l’ordre 1 en un point permet d’approximer localement une fonction par une application linéaire, et la différentiabilité en ce point est caractérisée par l’existence de cette approximation linéaire unique.

📖 3. Dérivées partielles en plusieurs variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée selon un vecteur : Pour une fonction 𝑓 ∶ 𝑈 ⊂ 𝐸 → 𝐹 et un point 𝑎 ∈ 𝑈, la dérivée selon un vecteur 𝑣 ∈ 𝐸 est la limite du taux d’accroissement le long de la droite 𝑎 + t𝑣, c’est-à-dire 𝐷𝑣𝑓(𝑎) = limₜ→0 1/𝑡 (𝑓(𝑎 + t𝑣) − 𝑓(𝑎)).
• Dérivée partielle : Pour 𝑓 ∶ 𝑈 ⊂ ℝⁿ → 𝐹, la dérivée partielle 𝜕𝑖𝑓(𝑎) correspond à la dérivée selon le vecteur de base 𝑒𝑖 en 𝑎, c’est-à-dire 𝜕𝑖𝑓(𝑎) = lim_{t→0} 1/t (𝑓(𝑎₁, ..., 𝑎_{i−1}, 𝑎𝑖 + t, 𝑎_{i+1}, ..., 𝑎ₙ) − 𝑓(𝑎)).
• Matrice Jacobienne : La matrice jacobienne Jac𝑓(𝑎) est la matrice de l’application linéaire d𝑓(𝑎) dans les bases choisies, caractérisée par les dérivées partielles 𝜕𝑖𝑓/𝜕𝑥𝑗(𝑎).
• Différentiabilité en un point : 𝑓 est différentiable en 𝑎 si il existe une application linéaire 𝑢 telle que 𝑓(𝑎 + ℎ) = 𝑓(𝑎) + 𝑢(ℎ) + ‖ℎ‖ε(ℎ), avec ε(ℎ) → 0 quand ℎ → 0.
• Fonction de classe 𝐶¹ : Fonction dont toutes les dérivées partielles existent et sont continues sur 𝑈.
• Dérivées partielles d’une fonction composée : La dérivée partielle de 𝑔 ∘ 𝑓 en 𝑎 s’obtient par la formule : 𝜕𝑖(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑎) = ∑_{k=1}^p 𝜕𝑖𝑓ₖ(𝑎) 𝜕𝑘𝑔(𝑓(𝑎)).

📝 Points essentiels

• La dérivée selon un vecteur 𝑣 est la limite du taux d’accroissement le long de la droite 𝑎 + t𝑣.
• La dérivée partielle 𝜕𝑖𝑓(𝑎) existe si la limite du taux d’accroissement dans la direction 𝑒𝑖 est finie.
• La différentiabilité en un point implique l’existence de toutes les dérivées partielles dans une base donnée, et la différentielle est donnée par la matrice jacobienne.
• La matrice jacobienne caractérise entièrement la différentielle locale de 𝑓 en 𝑎.
• La différentiabilité d’une fonction 𝑓 est équivalente à la continuité de ses dérivées partielles dans le cas des fonctions de classe 𝐶¹.
• La formule de la dérivée d’une composition de fonctions est donnée par la règle de la chaîne, exprimée en termes de matrices jacobiennes.

💡 À retenir

Les dérivées partielles permettent d’étudier le comportement local d’une fonction en un point, en décomposant la variation selon chaque variable, et la matrice jacobienne rassemble ces dérivées pour caractériser la différentiabilité.

📖 4. Matrice Jacobienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice Jacobienne : Matrice de l’application linéaire d𝑓(𝑎) relative aux bases 𝐵 de 𝐸 et 𝐵′ de 𝐹, notée Jac𝑓(𝑎). Elle caractérise entièrement la différentielle de 𝑓 en 𝑎.
• Fonctions coordonnées : Fonctions 𝑓1, … , 𝑓𝑝 dans la base 𝐵′, qui permettent d’écrire Jac𝑓(𝑎) comme la matrice de leurs dérivées partielles.
• Dérivées partielles : Dérivées de 𝑓 selon un vecteur de base 𝑒𝑖, notées 𝜕𝑖𝑓(𝑎), qui correspondent aux dérivées de chaque composante de 𝑓 dans la base canonique.
• Application linéaire d𝑓(𝑎) : Transformation linéaire associée à la différentielle de 𝑓 en 𝑎, dont la matrice Jac𝑓(𝑎) est la représentation dans les bases choisies.

📝 Points essentiels

• La matrice Jacobienne Jac𝑓(𝑎) est définie comme la matrice de l’application linéaire d𝑓(𝑎) par rapport aux bases 𝐵 et 𝐵′.
• Elle s’écrit en termes des dérivées partielles : Jac𝑓(𝑎) = (𝜕𝑓𝑖/𝜕𝑥𝑗 (𝑎)) pour 𝑖 ∈ ⟦1, 𝑝⟧, 𝑗 ∈ ⟦1, 𝑛⟧.
• La matrice Jacobienne caractérise entièrement la différentielle de 𝑓 en 𝑎.
• Lorsqu’on change de base, la matrice Jacobienne se transforme par une conjugaison avec les matrices de changement de bases.
• La différentiabilité d’une fonction 𝑓 en 𝑎 implique l’existence de sa matrice Jacobienne en ce point.

💡 À retenir

La matrice Jacobienne est l’outil principal pour représenter localement la différentielle d’une fonction différentiable, en reliant ses dérivées partielles à une matrice unique.

📖 5. Différentiabilité et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivable en un point : Une fonction $f : I \subset \mathbb{R} \to F$ est dite dérivable en $a$ si le taux d’accroissement $\frac{f(a+t) - f(a)}{t}$ admet une limite finie $\ell \in F$ lorsque $t \to 0$. La limite $\ell$ est la dérivée en $a$, notée $f'(a)$.

• Fonction dérivable : Une fonction $f : I \subset \mathbb{R} \to F$ est dérivable si elle l’est en tout point de $I$. La fonction dérivée $f' : I \to F$ associe à chaque $t$ la dérivée $f'(t)$.

• Développement limité à l’ordre 1 : Soit $f : U \subset E \to F$ et $a \in U$. $f$ admet un développement limité à l’ordre 1 en $a$ s’il existe une application linéaire $u : E \to F$ et une fonction $\varepsilon$ telle que, pour $\hbar$ proche de 0, $f(a + \hbar) = f(a) + u(\hbar) + \|\hbar\| \varepsilon(\hbar)$ avec $\varepsilon(\hbar) \to 0$ lorsque $\hbar \to 0$.

• Différentiabilité en un point : $f : U \subset E \to F$ est différentiable en $a \in U$ si il existe une application linéaire $u : E \to F$ telle que $\lim_{\hbar \to 0} \frac{\|f(a + \hbar) - f(a) - u(\hbar)\|_F}{\|\hbar\|_E} = 0$. La différentielle en $a$ est cette application $u$, notée $d f(a)$.

• Fonction différentiable : $f : U \subset E \to F$ est différentiable si elle l’est en tout point de $U$. La application $a \mapsto d f(a)$ est appelée différentielle de $f$.

• Continuité de la différentielle : Si $f$ est différentiable et que $d f$ est continue, alors $f$ est de classe $C^1$.

• Fonction de classe $C^1$ : $f : U \subset E \to F$ est de classe $C^1$ si ses dérivées partielles existent et sont continues sur $U$.

• Matrice Jacobienne : Pour une fonction différentiable $f : U \subset E \to F$, la matrice Jacobienne en $a$ est la matrice de l’application linéaire $d f(a)$ dans des bases choisies, notée $\operatorname{Jac}f(a)$.

📝 Points essentiels

• La différentiabilité en un point implique la continuité en ce point et l’existence d’un développement limité à l’ordre 1.
• La différentiabilité est caractérisée par l’existence d’une application linéaire $d f(a)$ telle que la différence entre $f(a + \hbar)$ et $f(a) + d f(a)(\hbar)$ soit négligeable devant $\|\hbar\|$.
• La différentiabilité en tout point d’un ouvert implique la continuité de la différentielle, ce qui définit la classe $C^1$.
• La matrice Jacobienne caractérise entièrement la différentielle dans des bases choisies.
• La différentiabilité d’une fonction composée se traduit par la formule de la dérivée en chaîne, exprimée en termes des matrices Jacobiennes.

💡 À retenir

La différentiabilité d’une fonction en un point se traduit par l’existence d’une approximation linéaire locale, et si cette propriété est valable en tout point avec une différentielle continue, la fonction appartient à la classe $C^1$.

📖 6. Fonctions de classe C1

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de classe C1 : Une fonction 𝑓 ∶ 𝑈 ⊂ 𝐸 → 𝐹 est dite de classe 𝐶1 si ses dérivées partielles dans une base de 𝐸 existent et sont continues sur 𝑈.
• Dérivée partielle : Pour 𝑓 ∶ 𝑈 ⊂ 𝐸 → 𝐹 et 𝑖 ∈ ⟦1, 𝑛⟧, la dérivée partielle 𝜕𝑖𝑓(𝑎) est la dérivée selon le vecteur 𝑒𝑖 en 𝑎, c’est-à-dire la limite du taux de variation de 𝑓 dans la direction de 𝑒𝑖.
• Continuité des dérivées partielles : La propriété essentielle pour qu’une fonction soit de classe 𝐶1 est que ses dérivées partielles existent et soient continues sur 𝑈.

📝 Points essentiels

• Équivalence : 𝑓 est de classe 𝐶1 si et seulement si ses dérivées partielles existent et sont continues.
• Continuité de la différentielle : La différentiabilité implique la continuité de la différentielle 𝑑𝑓.
• Fonctions linéaires : Toute fonction linéaire 𝑓 est de classe 𝐶1, avec 𝑑𝑓(𝑎) = 𝑓, constante en tout point.
• Opérations : La somme, la multiplication par un scalaire, et la composition de fonctions de classe 𝐶1 restent de classe 𝐶1.
• Fonction scalaire : Si 𝑓 et 𝛼 sont de classe 𝐶1, alors 𝛼𝑓 l’est aussi.

💡 À retenir

Une fonction est de classe 𝐶1 si ses dérivées partielles existent, sont continues, et que sa différentiabilité est équivalente à la continuité de ses dérivées partielles.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la limite du taux d’accroissement avec la dérivée en un point sans vérifier la limite finie.
2. Confondre la différentiabilité (existence d’une différentielle linéaire) avec la simple continuité.
3. Croire qu’une fonction de classe C¹ est nécessairement dérivable dans tous les sens, alors que la différentiabilité doit être vérifiée en chaque point.
4. Confondre la dérivée vectorielle et la dérivée de chaque composante séparément.
5. Omettre que la différentiabilité implique la continuité, mais l’inverse n’est pas toujours vrai.
6. Confondre la matrice jacobienne avec la dérivée partielle d’une seule variable.
7. Se tromper dans la formule de la dérivée de la composition (règle de la chaîne).

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition de la dérivée vectorielle selon la limite du taux d’accroissement.
2. Savoir exprimer une fonction dérivable en coordonnées dans une base donnée.
3. Maîtriser la propriété de linéarité de la dérivée.
4. Comprendre le concept de développement limité à l’ordre 1 en un point.
5. Savoir écrire une approximation locale d’une fonction à l’aide d’une application linéaire.
6. Définir la différentiabilité en un point via l’existence d’une application linéaire limite.
7. Connaître la relation entre différentiabilité et continuité.
8. Définir la dérivée selon un vecteur et la dérivée partielle.
9. Savoir calculer la matrice jacobienne à partir des dérivées partielles.
10. Comprendre la formule de la dérivée d’une composition de fonctions en termes de matrices jacobiennes.
11. Savoir que la différentiabilité en un point implique l’existence de toutes les dérivées partielles dans une base donnée.
12. Connaître la définition et le rôle de la matrice jacobienne dans la caractérisation de la différentiabilité.