Fiche de révision : Introduction à la factorisation et racines des polynômes

📋 Plan du Cours

1. Définition et fonction polynôme
2. Opérations sur les polynômes
3. Vocabulaire et degré
4. Division euclidienne
5. Racines et multiplicités
6. Formule de Taylor
7. Théorème d’Alembert-Gauss
8. Factorisation dans C et R

📖 1. Définition et fonction polynôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme K[X] : Un polynôme à coefficients dans K s’écrit comme une somme finie $a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0$ avec $n\in\mathbb{N}$ et $a_i\in K$.
• Coefficients ai : Les coefficients d’un polynôme $P$ sont les nombres $a_0,a_1,\dots,a_n$ qui multiplient respectivement $X^0,X^1,\dots,X^n$.
• Polynôme nul : Le polynôme nul est le polynôme dont tous les coefficients $a_i$ sont nuls, noté $0$.
• Degré deg P : Le degré de $P$ est le plus grand entier $i$ tel que le coefficient $a_i$ ne soit pas nul, noté $\mathrm{deg}\,P$.
• Fonction polynôme P : À chaque polynôme $P\in K[X]$ on associe la fonction $P:K\to K$ qui envoie $x$ sur $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$.

📝 Points essentiels

• Si tous les $a_i$ sont nuls, alors $P$ est le polynôme nul noté $0$.
• Par convention, le degré du polynôme nul vérifie $\mathrm{deg}(0)=-\infty$.
• Un polynôme constant s’écrit $P=a_0$ et s’il est non nul, alors $\mathrm{deg}\,P=0$.
• L’évaluation $P(x)$ s’obtient en remplaçant $X$ par $x$ dans l’expression du polynôme.

💡 Astuce mémo

P envoie une image: polynôme (forme) ↔ fonction (valeurs) via $X\mapsto x$.

📖 2. Opérations sur les polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Égalité de polynômes : Deux polynômes $P$ et $Q$ sont égaux quand leurs coefficients de même degré coïncident pour tout $i$.
• Somme P+Q : La somme de deux polynômes est obtenue en additionnant les coefficients terme à terme pour chaque puissance de $X$.
• Produit P×Q : Le produit de deux polynômes se construit en combinant les puissances de $X$ et en sommant les produits de coefficients qui donnent la même puissance.
• Multiplication par un scalaire : Multiplier un polynôme par $\lambda\in K$ revient à multiplier chaque coefficient $a_i$ par $\lambda$.
• Composition P◦Q : La composition $P\circ Q$ est le polynôme $X\mapsto P(Q(X))$, où l’on remplace $X$ par $Q(X)$ dans $P$.

📝 Points essentiels

• L’égalité $P=Q$ équivaut à $a_i=b_i$ pour tout indice $i$ des coefficients.
• Pour la multiplication, on a $r=n+m$ et le coefficient $c_k$ est $c_k=\sum_{i+j=k}a_ib_j$.
• Le degré vérifie $\mathrm{deg}(P\times Q)=\mathrm{deg}P+\mathrm{deg}Q$.
• Le degré vérifie $\mathrm{deg}(P+Q)\le \max(\mathrm{deg}P,\mathrm{deg}Q)$.
• Le degré vérifie $\mathrm{deg}(P\circ Q)=\mathrm{deg}P\times \mathrm{deg}Q$.

💡 Astuce mémo

Degré: somme ne dépasse pas le max, produit ajoute, composition multiplie.

📖 3. Vocabulaire et degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Monôme : Un monôme est un polynôme ayant un seul terme non nul de la forme $a_kX^k$.
• Terme dominant : Le terme dominant d’un polynôme non nul $P$ est le monôme $a_nX^n$ associé au coefficient du plus grand degré.
• Coefficient dominant : Le coefficient dominant d’un polynôme $P$ est le coefficient $a_n$ du terme dominant $a_nX^n$.
• Polynôme unitaire : Un polynôme est unitaire si son coefficient dominant vaut $1$.
• Ensemble Kn[X] : $K_n[X]$ désigne l’ensemble des polynômes de $K[X]$ dont le degré est au plus $n$.

📝 Points essentiels

• Si le coefficient dominant $a_n$ vaut $1$, alors $P$ est un polynôme unitaire.
• Tout polynôme s’écrit comme une somme finie de monômes.
• Si $P,Q\in K_n[X]$ alors $P+Q\in K_n[X]$.
• Le degré d’un polynôme nul est traité à part par la convention $\mathrm{deg}(0)=-\infty$.

💡 Astuce mémo

Monôme = une seule marche; terme dominant = la marche la plus haute (degré).

📖 4. Division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité B|A : On dit que $B$ divise $A$ s’il existe un polynôme $Q\in K[X]$ tel que $A=BQ$.
• Multiplicité B|A : Quand $B\mid A$, on dit aussi que $A$ est un multiple de $B$ ou que $A$ est divisible par $B$.
• Quotient : Dans la division euclidienne $A=BQ+R$, le quotient est le polynôme $Q\in K[X]$ obtenu.
• Reste : Dans la division euclidienne $A=BQ+R$, le reste est le polynôme $R\in K[X]$ vérifiant $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}B$.
• Division euclidienne : La division euclidienne décompose $A$ par $B$ sous la forme $A=BQ+R$ avec un quotient $Q$ et un reste $R$ contrôlé par le degré.

📝 Points essentiels

• Si $B\neq 0$, il existe un unique $Q$ et un unique $R$ tels que $A=BQ+R$ et $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}B$.
• Dans la division euclidienne, l’inégalité $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}B$ signifie $R=0$ ou $0\le \mathrm{deg}R<\mathrm{deg}B$.
• On a $R=0$ si et seulement si $B\mid A$.

💡 Astuce mémo

Diviser = quotient plus reste, avec reste forcé à avoir un degré plus petit que le diviseur.

📖 5. Racines et multiplicités

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine α : Une valeur $\alpha\in K$ est une racine (ou zéro) de $P$ si $P(\alpha)=0$.
• Racine simple : Une racine est dite simple quand sa multiplicité vaut $1$.
• Racine de multiplicité k : Une valeur $\alpha$ est une racine de multiplicité $k$ si $(X-\alpha)^k$ divise $P$ mais pas $(X-\alpha)^{k+1}$.
• Racine d’ordre k : Une racine d’ordre $k$ est une racine de multiplicité $k$ au sens de la divisibilité par $(X-\alpha)^k$.

📝 Points essentiels

• On a $P(\alpha)=0$ si et seulement si $(X-\alpha)$ divise $P$.
• La multiplicité $k$ correspond exactement à la plus grande puissance de $(X-\alpha)$ qui divise $P$.
• Si $k=1$ on parle de racine simple, et si $k=2$ de racine double.

💡 Astuce mémo

Zéro de P <=> facteur (X-α); augmenter la multiplicité revient à augmenter le nombre de facteurs.

📖 6. Formule de Taylor

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée polynomiale P' : Le polynôme dérivé $P'$ est obtenu en dérivant terme à terme la forme de $P$ exprimée en puissances de $X$.
• Développement en puissances de (X−α) : La formule de Taylor réécrit $P(X)$ comme une combinaison de $P^{(i)}(\alpha)$ et des puissances $(X-\alpha)^i$.

📝 Points essentiels

• Pour $\mathrm{deg}\,P=n\ge 1$, on peut écrire $P(X)=\sum_{i=0}^n \dfrac{P^{(i)}(\alpha)}{i!}(X-\alpha)^i$ avec $\alpha\in K$.
• Le coefficient de $(X-\alpha)^i$ dans la formule de Taylor est $\dfrac{P^{(i)}(\alpha)}{i!}$.
• Pour une multiplicité: $\alpha$ est de multiplicité $k$ équivaut à $P(\alpha)=P'(\alpha)=\cdots=P^{(k-1)}(\alpha)=0$ et $P^{(k)}(\alpha)\neq 0$.
• En alternative à la condition sur les dérivées, on a aussi $P=(X-\alpha)^kQ$ avec $Q(\alpha)\neq 0$ pour caractériser la multiplicité k.

💡 Astuce mémo

Multiplicité $k$ = $k$ premières dérivées qui s’annulent en $\alpha$, puis la suivante qui ne s’annule pas.

📖 7. Théorème d’Alembert-Gauss

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines complexes : Une racine de $P\in\mathbb{C}[X]$ est une valeur $z\in\mathbb{C}$ telle que $P(z)=0$.
• Racines réelles : Une racine de $P\in\mathbb{R}[X]$ est une valeur $x\in\mathbb{R}$ telle que $P(x)=0$.
• Multiplicités : Compter les racines avec multiplicité signifie que les racines répétées selon leur multiplicité sont comptabilisées plusieurs fois.

📝 Points essentiels

• Tout polynôme complexe $P\in\mathbb{C}[X]$ de degré $n\ge 1$ admet au moins une racine dans $\mathbb{C}$.
• Dans $\mathbb{C}$, un polynôme de degré $n$ admet exactement $n$ racines en comptant chaque racine avec sa multiplicité.
• Pour $P\in\mathbb{R}[X]$ de degré $n\ge 1$, $P$ admet au plus $n$ racines réelles.
• Dans l’exemple quadratique réel: si $\Delta<0$, les deux racines sont complexes distinctes et le polynôme est dit irrédductible dans $\mathbb{R}[X]$.

💡 Astuce mémo

En C: degré = nombre de racines (avec multiplicité); en R: seulement un maximum de racines réelles.

📖 8. Factorisation dans C et R

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation dans C[X] : Dans $\mathbb{C}[X]$, un polynôme se factorise en produit de facteurs linéaires $(X-\alpha_i)$, chacune élevée à sa multiplicité.
• Racines distinctes αi : Les $\alpha_i$ sont les racines distinctes d’un polynôme, chacune associée à une multiplicité $k_i$.
• Factorisation dans R[X] : Dans $\mathbb{R}[X]$, les racines non réelles se regroupent en facteurs quadratiques irréductibles.
• Polynôme irréductible quadratique : Un polynôme irréductible de degré $2$ sur $\mathbb{R}[X]$ s’écrit $Q=X^2+\beta X+\gamma$ avec discriminant $\beta^2-4\gamma<0$.

📝 Points essentiels

• Pour $P\in\mathbb{C}[X]$ de degré $n\ge 1$, la factorisation est $P=\lambda\prod_{i=1}^r (X-\alpha_i)^{k_i}$ avec $\sum k_i=n$.
• Si $P\in\mathbb{R}[X]$, alors chaque racine complexe non réelle apparaît par paires conjuguées, ce qui conduit à des facteurs quadratiques irréductibles en $\mathbb{R}[X]$.
• Dans la forme réelle, les facteurs quadratiques irréductibles sont de type $Q_\ell=X^2+\beta_\ell X+\gamma_\ell$ avec $\Delta=\beta_\ell^2-4\gamma_\ell<0$.

💡 Astuce mémo

Dans C tout devient linéaire; dans R les complexes se “polissent” en quadratiques grâce aux conjugués.

📊 Tableaux de synthèse

Racines selon le corps

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre égalité de polynômes et égalité des valeurs en quelques points: l’égalité exige l’égalité de tous les coefficients.
2. Croire que deg(P+Q)=degP+degQ: la règle donnée est seulement $\mathrm{deg}(P+Q)\le \max(\mathrm{deg}P,\mathrm{deg}Q)$.
3. Oublier la convention $\mathrm{deg}(0)=-\infty$ quand on raisonne avec les inégalités de degrés.
4. Se tromper sur la caractérisation de la multiplicité: $P(\alpha)=0$ donne une factorisation par $(X-\alpha)$ mais pas la multiplicité $k$.
5. Mélanger la formule de Taylor avec une expression sans coefficients: ici chaque terme a le facteur $\frac{P^{(i)}(\alpha)}{i!}$.
6. Penser qu’en R un polynôme quadratique à discriminant négatif a des racines réelles: il donne deux racines complexes distinctes et un facteur quadratique irréductible.
7. Croire que dans R[X] on peut toujours factoriser en facteurs linéaires: les racines non réelles doivent être regroupées en facteurs quadratiques irréductibles.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire la forme générale d’un polynôme dans $K[X]$ et identifier $P(x)$ à partir des coefficients.
2. Savoir déterminer si un polynôme est nul et donner la valeur de $\mathrm{deg}(0)$ par convention.
3. Savoir calculer le degré $\mathrm{deg}P$ à partir du plus grand indice $i$ tel que $a_i\neq 0$.
4. Être capable de construire $P+Q$, $\lambda P$ et $P\times Q$ en utilisant les règles sur les coefficients.
5. Vérifier les formules de degré: $\mathrm{deg}(P\times Q)$, $\mathrm{deg}(P+Q)$ et $\mathrm{deg}(P\circ Q)$.
6. Savoir reconnaître un monôme, le terme dominant et le coefficient dominant d’un polynôme, et caractériser un polynôme unitaire.
7. Utiliser la division euclidienne: trouver $Q$ et $R$ et conclure sur la divisibilité via $R=0$.
8. Utiliser le critère racine: $P(\alpha)=0$ équivaut à la divisibilité par $(X-\alpha)$.
9. Déterminer une multiplicité $k$ via la divisibilité $(X-\alpha)^k\mid P$ et la non-divisibilité pour $k+1$.
10. Être capable d’utiliser la caractérisation par Taylor: annulation des dérivées jusqu’à l’ordre $k-1$ puis non-annulation de la $k$-ième dérivée.
11. Savoir appliquer le théorème d’Alembert-Gauss: nombre de racines dans $\mathbb{C}$ et majoration dans $\mathbb{R}$.
12. Savoir écrire la factorisation dans $\mathbb{C}[X]$ en facteurs linéaires à multiplicité et la forme réelle avec facteurs quadratiques irréductibles à discriminant négatif.