Fiche de révision : Introduction aux développements limités

📋 Plan du Cours

1. Définition développement limité
2. Partie régulière polynomiale
3. Reste d’ordre n
4. Notations et terminologie
5. Exemples DL en 0

📖 1. Définition développement limité

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité (DL) d’ordre n en un point x0 : Représentation d’une fonction f(x) par un polynôme de degré n plus un reste négligeable, formalisée par l’existence de coefficients a0, a1, ..., an et d’une fonction ε(x) telle que f(x) = P(x) + (x−x0)^n ε(x) avec lim x→x0 ε(x) = 0.

• Fonction ε(x) avec lim x→x0 ε(x) = 0 : Fonction qui tend vers zéro lorsque x approche x0, représentant la partie négligeable du reste du DL.

• Polynôme partie régulière du DL : Polynôme P(x) = a0 + a1(x−x0) + ... + an(x−x0)^n, qui constitue l’approximation locale de f(x) autour de x0.

• Reste d’ordre n du DL : Expression (x−x0)^n ε(x), représentant la différence entre f(x) et son polynôme partie régulière, qui devient négligeable à l’approche de x0.

📝 Points essentiels

• Le DL d’ordre n s’écrit :
  f(x) = a0 + a1(x−x0) + ... + an(x−x0)^n + (x−x0)^n ε(x), avec lim x→x0 ε(x) = 0.

• La partie régulière ou polynôme du DL est :
  P(x) = a0 + a1(x−x0) + ... + an(x−x0)^n.

• Le reste d’ordre n est :
  f(x) − P(x) = (x−x0)^n ε(x).

• En changeant de variable t = x−x0, le DL en x0 se ramène à un DL en 0, simplifiant l’étude locale.

💡 À retenir

Le développement limité formalise l’approximation locale d’une fonction par un polynôme, avec un reste négligeable, facilitant l’analyse précise du comportement de la fonction autour d’un point.

📖 2. Partie régulière polynomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie régulière (polynomiale) du DL : Composante polynomiale unique associée à la fonction, représentant sa structure essentielle.
• Polynôme P de degré ≤ n : Polygone dont le degré ne dépasse pas n, utilisé pour approximer localement une fonction.
• Fonction polynomiale paire et impaire dans le contexte du DL : Fonction symétrique par rapport à l’axe y (paire) ou antisymétrique (impaire), dont la partie régulière conserve cette symétrie.

📝 Points essentiels

• La partie régulière est un polynôme unique associée au DL d’ordre n, reflétant la structure polynomiale fondamentale de la fonction.
• Si f est paire (resp. impaire) et admet un DLn(0), alors sa partie régulière P est aussi paire (resp. impaire), ne comportant que des monômes de degrés pairs (resp. impairs).
• Pour tout entier q ≤ n, si f admet un DLq(0), sa partie régulière est le polynôme tronqué Q de degré q, correspondant à l’approximation locale.
• La partie régulière du produit de deux fonctions admettant un DLn(0) est le polynôme obtenu en ne conservant que les termes jusqu’à l’ordre n du produit des parties régulières.

💡 À retenir

La partie régulière synthétise la structure polynomiale essentielle du DL, en reflétant la symétrie et les propriétés algébriques de la fonction approchée.

📖 3. Reste d’ordre n

🔑 Notions clés & Définitions

• Reste d’ordre n du DL : Expression de la différence entre une fonction et son polynôme de degré n, écrite sous la forme (x−x0)^n ε(x), avec lim x→x0 ε(x) = 0, garantissant la négligeabilité du reste devant (x−x0)^n.
• Fonction ε(x) associée au reste : Fonction qui mesure la précision de l’approximation, avec lim x→x0 ε(x) = 0.
• Notation petit o (o(v)) de Landau : Notation indiquant qu’une fonction u(x) est négligeable devant v(x) au voisinage de x0, c’est-à-dire u(x) = v(x) ε(x) avec lim x→x0 ε(x) = 0.

📝 Points essentiels

• Le reste d’ordre n s’écrit (x−x0)^n ε(x) avec lim x→x0 ε(x) = 0, ce qui montre que l’erreur est négligeable devant (x−x0)^n.
• La notation o(v), ou o(v(x)), exprime que u(x) est négligeable devant v(x) au voisinage de x0, c’est-à-dire u(x) = v(x) ε(x) avec lim x→x0 ε(x) = 0.
• On utilise souvent l’abus d’écriture o(v(x)) pour désigner v(x) ε(x) dans les calculs de DL.
• Le reste permet d’écrire le DL sous la forme f(x) = P(x) + o((x−x0)^n), où P(x) est un polynôme de degré n.

💡 À retenir

Le reste d’ordre n formalise la précision de l’approximation polynomiale, quantifiant la vitesse à laquelle l’erreur tend vers zéro.

📖 4. Notations et terminologie

🔑 Notions clés & Définitions

• DLn en x0 : Développement limité d’ordre n en x0, approximation d’une fonction par un polynôme de degré n autour de x0, avec un reste négligeable à l’ordre n.
• Notations DLn(f, x0) : Abréviation de "DLn en x0" ou "développement limité d’ordre n de f en x0".
• Fonction négligeable devant une autre : Fonction u(x) est négligeable devant v(x) si, au voisinage de x0, la limite de u(x)/v(x) est nulle.
• Notations de Landau o(v) : Ensemble des fonctions u(x) telles que u(x) = o(v(x)), c’est-à-dire u(x) est négligeable devant v(x) au voisinage de x0.

📝 Points essentiels

• La notation DLn(f, x0) se simplifie en DLn en x0 ou DLn(f, x0), pour indiquer qu’une fonction admet un développement limité d’ordre n en x0.
• La notion de fonction u(x) négligeable devant v(x) s’écrit u(x) ∈ o(v(x)), signifiant que u(x) est négligeable par rapport à v(x) près de x0.
• La notation o(v) se lit « petit o de v » et désigne l’ensemble des fonctions u(x) telles que u(x) = o(v(x)), c’est-à-dire négligeables devant v.
• L’expression v(x) ε(x) = o(v(x)) est un abus d’écriture qui simplifie les calculs de DL, en considérant que le reste ε(x) est négligeable devant v(x).

💡 À retenir

Les notations et terminologies standardisées, telles que DLn, o(v), et la négligence, facilitent une communication claire et concise des propriétés asymptotiques dans les développements limités.

📖 5. Exemples DL en 0

🔑 Notions clés & Définitions

• Exemples de DL usuels en 0 : Développements limités de fonctions courantes en 0, exprimés par séries polynomiales avec reste négligeable.
• DL de fonctions classiques : DL de exp, sin x, cos x, et fonctions rationnelles comme (1+x)^α, sous forme de séries avec reste.
• DL d’ordre n en 0 : Approximation par polynôme de degré n, plus un reste tendant vers 0 quand x→0.
• Changement de variable pour DL en un point quelconque : Transformation x → x−x₀ permet de ramener le DL en x₀ à un DL en 0.

📝 Points essentiels

• Le DL en 0 de fonctions usuelles comme exp, sin x, cos x, (1+x)^α se présente par séries polynomiales dont le reste tend vers 0.
• La série de exp(x) en 0 : ∑ (x^k)/k! jusqu’à l’ordre n, reste négligeable.
• La série de sin x en 0 : ∑ (x^{2k+1})/(2k+1)! avec reste ε(x) tel que lim x→0 ε(x)=0.
• La série de cos x en 0 : ∑ (−1)^k x^{2k}/(2k)! avec reste ε(x) tendant vers 0.
• La série de (1+x)^α en 0 : ∑ (α choose k) x^k, avec reste négligeable.
• La série de ln(1+x) en 0 : ∑ (−1)^{k+1} x^k / k, pour n ordre n, avec reste ε(x) tendant vers 0.
• La partie régulière du DL d’une fonction rationnelle comme 1/(1−x) : somme des puissances x^k jusqu’à n, plus un reste.
• Le DL en un point x₀ : par changement t = x−x₀, ramène la fonction à une série en 0.

💡 À retenir

• Les exemples concrets illustrent que le DL en 0 permet d’approximer localement des fonctions variées par des séries polynomiales, facilitant les calculs et analyses.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre le reste (x−x₀)^n ε(x) avec une erreur négligeable sans vérifier la limite ε(x)→0.
2. Omettre la condition lim x→x₀ ε(x)=0 lors de l’écriture du DL.
3. Confondre la partie régulière (polynôme) avec la fonction initiale, notamment pour fonctions impaires ou paires.
4. Utiliser la notation o(v) sans préciser que u(x) est négligeable devant v(x).
5. Croire que le reste est nul, alors qu’il tend simplement vers zéro.
6. Ne pas faire le changement de variable t=x−x₀ pour ramener un DL en x₀ à un DL en 0.
7. Confondre la partie régulière avec une approximation exacte, alors qu’elle ne représente qu’une approximation locale.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition précise du développement limité d’ordre n en un point x₀, notamment la formule f(x)=P(x)+(x−x₀)^n ε(x).
2. Savoir que la fonction ε(x) doit tendre vers 0 lorsque x→x₀.
3. Maîtriser la notion de partie régulière ou polynomiale du DL et sa construction unique.
4. Comprendre que si f est paire ou impaire et admet un DLn(0), alors sa partie régulière conserve cette symétrie.
5. Savoir écrire le reste d’ordre n sous la forme (x−x₀)^n ε(x) et utiliser la notation o(v).
6. Être capable d’interpréter et utiliser la notation o(v), notamment dans le contexte du reste d’ordre n.
7. Connaître les exemples classiques de DL en 0 : exp, sin, cos, (1+x)^α, ln(1+x).
8. Savoir ramener un DL en un point x₀ à un DL en 0 par changement de variable t=x−x₀.
9. Maîtriser l’utilisation des séries polynomiales pour approximer localement des fonctions classiques.
10. Comprendre que le reste tend vers zéro mais n’est pas nécessairement nul.
11. Savoir distinguer entre approximation locale et propriété globale de la fonction.
12. Connaître les notations standardisées : DLn(f,x₀), o(v), ε(x).