Fiche de révision : Introduction aux ensembles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Entiers naturels
2. Entiers relatifs
3. Nombres décimaux
4. Nombres rationnels
5. Nombres réels et inclusions

📖 1. Entiers naturels

🔑 Notions clés & Définitions

• N : L’ensemble N regroupe tous les entiers naturels, c’est-à-dire les entiers positifs (y compris 0 selon la notation de l’ensemble).
• Nombre entier naturel : Un nombre entier naturel est un élément de l’ensemble N, choisi parmi la suite 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
• Appartenance à N : Dire qu’un nombre est dans N revient à vérifier qu’il fait partie de la liste des entiers naturels 0, 1, 2, 3, 4, …

📝 Points essentiels

• Les entiers naturels sont notés N et correspondent aux entiers positifs (avec 0 dans la liste 0, 1, 2, 3, 4, 5, …).
• Exemple : 23 ∈ N et −3 ∉ N.
• Dans N, on a 0, 1, 2, 3, 4, 5, … comme suite de référence.
• Pour un nombre comme 2,5, on a 2,5 ∉ N car ce n’est pas un entier.

💡 Astuce mémo

N = Numération des entiers sans virgule : 0, 1, 2, 3, …

📖 2. Entiers relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Z : L’ensemble Z regroupe les entiers relatifs, formés des entiers naturels et de leurs opposés.
• Entier relatif : Un entier relatif est un nombre de Z, donc un entier positif, nul ou négatif.
• Opposé d’un entier : L’opposé d’un entier change son signe tout en gardant la même valeur absolue.

📝 Points essentiels

• Les entiers relatifs sont notés Z et contiennent les entiers naturels et leurs opposés.
• Exemple : −6 ∈ Z et 15 ∈ Z.
• Exemple : 2 7 3, 5 ∈/ Z, donc 3,5 n’est pas un entier relatif.
• Inclusion : N ⊂ Z, car tout entier naturel appartient aussi aux entiers relatifs.

💡 Astuce mémo

Z = N + les opposés : ajoute les nombres négatifs à ceux de N.

📖 3. Nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Décimal : Un nombre décimal est un nombre dont l’écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres après la virgule.
• D : L’ensemble des nombres décimaux est noté D et regroupe tous les nombres à écriture décimale finie.
• Écriture décimale finie : Une écriture décimale est finie quand elle s’arrête après un nombre limité de chiffres après la virgule.

📝 Points essentiels

• Un nombre est décimal s’il peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
• Exemple : 4 ∈ D.
• Exemple : 0,333333333… n’est pas un décimal car son écriture décimale est infinie.
• Inclusion : N ⊂ D ⊂ Q, donc tout décimal est aussi rationnel.

💡 Astuce mémo

Décimal = virgule qui s’arrête : écriture finie.

📖 4. Nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Q : L’ensemble des nombres rationnels est noté Q et regroupe les nombres qui s’écrivent comme une fraction.
• Fraction rationnelle : Une fraction rationnelle est de la forme a/b où a est un entier relatif et b est un entier relatif non nul.
• Écriture rationnelle : Écrire un nombre rationnel sous la forme a/b permet de le classer dans Q.

📝 Points essentiels

• Un rationnel s’écrit sous la forme a/b avec b ≠ 0, où a et b sont des entiers relatifs.
• Exemple : 3 ∈ Q et −7 ∈ Q, car ce sont aussi des entiers relatifs.
• Exemple : 3/1 = 3 ∈ Q et 10/31 ∈ Q.
• Exemple : 2,41421… appartient à Q dans le cas indiqué, tandis que 0,333333333… est donné comme une valeur décimale (approximée) liée à 1/3.
• Inclusions : D ⊂ Q et Q ⊂ R.

💡 Astuce mémo

Q = Quotient : a divisé par b, avec b non nul.

📖 5. Nombres réels et inclusions

🔑 Notions clés & Définitions

• R : L’ensemble des nombres réels est noté R et regroupe tous les nombres rencontrés en seconde.
• Inclusion d’ensembles : Une inclusion comme A ⊂ B signifie que tous les éléments de A appartiennent aussi à B.
• Chaîne d’inclusions : La chaîne d’inclusions relie N, Z, D, Q et R dans l’ordre croissant d’élargissement des ensembles.

📝 Points essentiels

• Tous les nombres vus en seconde appartiennent à l’ensemble R.
• Exemple : π ∈ R.
• Inclusions : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
• Exemple : 1/3 ∈ Q et donc appartient aussi à R.
• Exemple : 4 ∈ N donc 4 ∈ Z, 4 ∈ D, 4 ∈ Q et 4 ∈ R par inclusion.

💡 Astuce mémo

De N à R : chaque ensemble grossit et contient le précédent.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Un nombre décimal comme 2,5 n’est pas dans N car N ne contient que des entiers.
2. Un décimal avec une suite infinie après la virgule comme 0,333333333… n’est pas un décimal (donc pas dans D) même si c’est rationnel.
3. Croire que 3,5 est rationnel uniquement : 3,5 n’est pas un entier, donc pas dans Z, mais il peut être dans D et Q selon la nature décimale.
4. Confondre inclusion et appartenance : A ⊂ B ne dit pas qu’un nombre donné est dans A, mais que tout élément de A est aussi dans B.
5. Oublier la contrainte b ≠ 0 dans l’écriture a/b pour les rationnels.
6. Penser que Q et R sont les mêmes : Q est inclus dans R, donc tous les réels ne sont pas rationnels.

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître si un nombre appartient à N en vérifiant qu’il est entier naturel (dans la liste 0, 1, 2, 3, …).
2. Savoir reconnaître si un nombre appartient à Z en incluant les entiers naturels et leurs opposés.
3. Savoir reconnaître si un nombre appartient à D en vérifiant que son écriture décimale a un nombre fini de chiffres après la virgule.
4. Savoir donner la définition d’un rationnel : écriture a/b avec b ≠ 0 et a, b entiers relatifs.
5. Savoir identifier que Q est inclus dans R, donc tout rationnel est réel.
6. Savoir écrire la chaîne d’inclusions N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
7. Savoir utiliser les inclusions pour conclure qu’un nombre appartient aussi aux ensembles plus grands.
8. Savoir appliquer les exemples donnés : 23 ∈ N, −3 ∉ N, −6 ∈ Z, 4 ∈ D, 0,333333333… et 3,5 ∉ Z.
9. Savoir citer au moins un exemple de nombre réel venant du document : π ∈ R.