Fiche de révision : Introduction aux équations différentielles

📋 Plan du Cours

1. Définition équations différentielles
2. Exemples d’équations différentielles
3. Fonction inconnue et dérivées
4. Équation du premier ordre
5. Équations linéaires du premier ordre
6. Résolution équation linéaire
7. Équations séparables
8. Équations du second ordre
9. Solution homogène
10. Solutions selon racines caractéristique
11. Solutions avec second membre

📖 1. Définition équations différentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle (E) : Une équation de la forme $F(t, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0$, où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, et ses dérivées successives y' , y'', etc., apparaissent dans l’équation. (source : Chapitre 6)

• Ordre d'une équation différentielle : C’est le degré le plus élevé de la dérivée apparaissant dans l’équation. Par exemple, si la dérivée de plus haut ordre est $y^{(n)}$, alors l’équation est dite d’ordre $n$. (source : Chapitre 6)

• Fonction inconnue et ses dérivées : La fonction $y(t)$ est inconnue, et ses dérivées successives $y', y'', \ldots, y^{(n)}$ figurent dans l’équation. La solution consiste à déterminer cette fonction. (source : Chapitre 6)

• Courbe intégrale : La représentation graphique d’une solution $y = \phi(t)$ de l’équation différentielle. Elle est appelée courbe intégrale de cette équation. (source : Chapitre 6)

📝 Points essentiels

• Une équation différentielle relie une fonction inconnue $y(t)$ à ses dérivées successives.
• La résolution d’une équation différentielle consiste à rechercher toutes les fonctions $y(t)$ qui vérifient cette relation.
• La fonction solution doit être suffisamment dérivable (n fois dérivable si l’équation est d’ordre $n$) sur l’intervalle considéré.
• La courbe intégrale est la représentation graphique d’une solution particulière de l’équation.

💡 À retenir

Une équation différentielle est une relation entre une fonction inconnue et ses dérivées, dont l’ordre correspond au degré de la dérivée la plus élevée apparaissant dans l’équation, et la solution est la fonction qui vérifie cette relation.

📖 2. Exemples d’équations différentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle (voir chapitre 6) : équation de la forme $F(t, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0$, où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, et ses dérivées successives apparaissent dans l’équation.
• Équation différentielle du premier ordre : équation où la dérivée de la fonction inconnue $y$ apparaît en première puissance, par exemple $Li(t) R i(t) + e(t) = 0$.
• Équation différentielle du second ordre : équation où la dérivée seconde de la fonction inconnue $y$ apparaît, par exemple $L(t) \frac{d^2 i}{dt^2} + R(t) \frac{di}{dt} + e(t) = 0$.
• Solution d’une équation différentielle : fonction $\phi(t)$ qui vérifie l’équation pour tout $t$ dans l’intervalle considéré.
• Courbe intégrale : représentation graphique d’une solution d’une équation différentielle.
• Équation différentielle linéaire du premier ordre : équation de la forme $a(t) y' + b(t) y = c(t)$, avec $a(t) \neq 0$.
• Équation du premier ordre à variables séparables : équation de la forme $f(y) y' = g(x)$, qui peut se résoudre par intégration séparée.
• Équation différentielle du second ordre à coefficients constants : équation de la forme $a y'' + b y' + c y = f(t)$, où $a, b, c$ sont constants.

📝 Points essentiels

• Dans un circuit électrique (R, L), l’intensité $i(t)$ vérifie une équation différentielle du premier ordre : $L(t) \frac{di}{dt} + R(t) i(t) = e(t)$.
• Dans un circuit (R, L, C), l’intensité $i(t)$ vérifie une équation différentielle du second ordre : $L(t) \frac{d^2 i}{dt^2} + R(t) \frac{di}{dt} + \frac{1}{C} i(t) = e(t)$.
• La résolution d’une équation différentielle du premier ordre linéaire sans second membre $a(t) y' + b(t) y = 0$ consiste à trouver la famille de fonctions $y(t)$ telles que $y(t) = F(t) e^{k}$, où $F(t)$ est une primitive de $\frac{b(t)}{a(t)}$.
• La solution générale d’une équation linéaire du premier ordre avec second membre $a(t) y' + b(t) y = c(t)$ s’obtient en ajoutant une solution particulière à la solution générale de l’équation homogène associée.
• Pour une équation à variables séparables $f(y) y' = g(x)$, on intègre chaque membre séparément : $\int f(y) dy = \int g(x) dx + K$.
• La résolution d’une équation différentielle du second ordre à coefficients constants repose sur l’étude de l’équation caractéristique $a r^2 + b r + c = 0$.
• Selon le discriminant $\Delta$, on détermine si les racines sont réelles distinctes, doubles ou complexes conjuguées, ce qui influence la forme de la solution générale.

💡 À retenir

Les équations différentielles du premier et du second ordre modélisent des phénomènes électriques et mécaniques, et leur résolution repose sur la recherche de solutions particulières ou générales en utilisant des méthodes adaptées à leur forme spécifique.

📖 3. Fonction inconnue et dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction inconnue y(t) : Fonction de la variable réelle t dont on cherche à déterminer la forme, à partir d'une équation différentielle. Elle est dite "inconnue" car sa forme n’est pas donnée a priori.

• Dérivée y' (ou y prime) : La dérivée de la fonction y(t) par rapport à t, notée y' ou dy/dt. Elle représente le taux de variation instantané de y(t) en un point t.

• Dérivée seconde y'' : La dérivée de y' par rapport à t, notée y'' ou d²y/dt². Elle indique la concavité de la courbe de y(t) et le taux de variation de y' en t.

📝 Points essentiels

• La fonction y(t) est une fonction n fois dérivable sur un intervalle I, ce qui permet de définir ses dérivées successives y' et y''.

• Dans une équation différentielle, y(t) et ses dérivées y' et y'' apparaissent comme des éléments inconnus à déterminer.

• La résolution d'une équation différentielle consiste à rechercher toutes les fonctions y(t) qui vérifient cette équation, c'est-à-dire qui satisfont la relation entre y, y', y'' et t.

• La courbe intégrale d'une équation différentielle est la représentation graphique d'une solution y(t).

💡 À retenir

La résolution d'une équation différentielle du premier ordre ou du second ordre repose sur la recherche de la fonction inconnue y(t) et de ses dérivées successives y' et y'', qui doivent satisfaire l'équation donnée.

📖 4. Équation du premier ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle du premier ordre : Une équation de la forme ( ) ( , , , ,..., ) 0n F t y y y y   dans laquelle y est une fonction inconnue de la variable réelle t, et ses dérivées successives y', y''… apparaissent. Elle est dite du premier ordre si n=1, c’est-à-dire si elle implique uniquement y et y' (exemple : Li(t) + R i(t) = e(t)).
• Solution d’une équation différentielle du premier ordre : Une fonction n fois dérivable sur un intervalle I, φ, qui vérifie l’équation pour tout t de I, c’est-à-dire que ( )t φ vérifie (E).
• Courbe intégrale : La représentation graphique d’une solution de l’équation différentielle du premier ordre.
• Équation différentielle linéaire du premier ordre : Une équation de la forme ( ) ( ) ( ) ( )a t y t b t y t c t   où a, b, c sont continues sur I avec a(t) ≠ 0.
• Résolution de l’équation sans second membre : La recherche d’une solution de la forme ( ) ( ) u t y t e, avec u dérivable, permettant de transformer l’équation en une équation différentielle plus simple. La solution générale s’écrit alors ( ) ( ) F t y t ke , où F est une primitive de ( ) ( ) b t t a t.
• Équations séparables : Un sous-ensemble d’équations du premier ordre où ( ) ( )f y y g x , permettant d’intégrer séparément chaque membre : ( ) ( )f y dy g x dx, puis intégration.

📝 Points essentiels

• Une équation différentielle du premier ordre peut être linéaire ou séparables.
• La résolution de l’équation linéaire sans second membre consiste à chercher une solution de la forme ( ) ( ) u t y t e, puis à déterminer u(t) via une primitive de ( ) ( ) b t t a t.
• La solution générale d’une équation linéaire du premier ordre s’écrit sous la forme ( ) ( ) F t y t ke , avec k une constante réelle.
• Les équations séparables se résolvent en intégrant séparément ( ) ( )f y dy et ( ) ( )g x dx, puis en combinant les résultats.
• La résolution d’une équation du premier ordre peut faire appel à la méthode de variation de la constante si la solution particulière est difficile à trouver.

💡 À retenir

L’équation du premier ordre se résout généralement en transformant l’équation en une forme intégrable, soit par résolution directe pour les équations séparables, soit par méthode de résolution pour les équations linéaires, permettant d’obtenir la solution générale sous forme explicite ou implicite.

📖 5. Équations linéaires du premier ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle linéaire du premier ordre : Une équation de la forme
  $a(t) y' + b(t) y = c(t)$ où $a(t)$, $b(t)$, et $c(t)$ sont des fonctions continues sur un intervalle $I$, avec $a(t) \neq 0$ pour tout $t \in I$.
  (source : Chapitre 6)

• Solution d'une équation différentielle : Une fonction $\varphi$ qui vérifie l'équation pour tout $t$ de l'intervalle $I$. La courbe graphique de cette fonction est appelée courbe intégrale.
  (source : Chapitre 6)

• Résolution de l'équation sans second membre : Lorsqu'on considère l'équation
  $y' + f(t) y = 0,$ on cherche une solution de la forme $y = u(t) e$, avec $u(t)$ dérivable, permettant de transformer l'équation en une équation plus simple.
  (source : Chapitre 6)

• Solution générale : L'ensemble des solutions de l'équation différentielle, généralement représenté sous la forme
  $y(t) = \frac{F(t)}{a(t)} \cdot k,$ où $k$ est une constante réelle et $F(t)$ une primitive de $b(t)/a(t)$.
  (source : Chapitre 6)

📝 Points essentiels

• La forme générale de l'équation linéaire du premier ordre est :
  $a(t) y' + b(t) y = c(t),$ avec $a(t) \neq 0$.
• La résolution consiste à transformer cette équation en une équation plus simple en utilisant la substitution $y = u(t) e$, où $u(t)$ est une fonction dérivable.
• La solution générale de l'équation sans second membre ($c(t) = 0$) est donnée par :
  $y(t) = \frac{F(t)}{a(t)} \cdot k,$ avec $F(t)$ une primitive de $b(t)/a(t)$ et $k$ une constante.
• La résolution de l'équation avec second membre consiste à trouver une solution particulière, puis à ajouter la solution générale de l'équation homogène associée.
• La méthode de résolution repose sur la recherche d'une solution de la forme $y = u(t) e$, permettant de simplifier l'équation en une équation différentielle plus simple pour $u(t)$.

💡 À retenir

L'équation différentielle linéaire du premier ordre se résout en transformant l'équation en une forme intégrable, en utilisant la substitution appropriée, et en combinant la solution générale de l'équation homogène avec une solution particulière si nécessaire.

📖 6. Résolution équation linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

Méthode de résolution par variation de la constante : Technique utilisée pour trouver une solution particulière d'une équation différentielle linéaire du premier ordre ou du second ordre en supposant une solution de la forme modifiée, où la constante dans la solution générale devient une fonction à déterminer. Elle consiste à poser la solution sous la forme y(t) = u(t) * y₀(t), où y₀(t) est une solution de l'équation homogène, puis à déterminer u(t) en résolvant une équation dérivée.

Solution générale d'une équation linéaire : Ensemble de toutes les solutions possibles d'une équation différentielle linéaire, obtenue en combinant la solution de l'équation homogène avec une solution particulière de l'équation complète. Elle s'écrit généralement sous la forme y(t) = y_h(t) + y_p(t), où y_h(t) est la solution générale de l'équation homogène, et y_p(t) une solution particulière de l'équation complète.

📝 Points essentiels

• La résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre a pour but de déterminer la solution générale, qui est l'ensemble des fonctions vérifiant l'équation sur l'intervalle considéré.
• La méthode de variation de la constante permet de trouver une solution particulière en modifiant la constante de la solution homogène en une fonction u(t).
• La solution générale d'une équation linéaire d'ordre n s'obtient en combinant la solution de l'équation homogène avec une ou plusieurs solutions particulières, notamment par la méthode de variation de la constante.
• La solution générale s'écrit sous la forme y(t) = y_h(t) + y_p(t), avec y_h(t) solution de l'équation homogène, et y_p(t) solution particulière.
• La résolution de l'équation homogène est essentielle pour appliquer la méthode de variation de la constante.

💡 À retenir

La solution générale d'une équation linéaire est obtenue en combinant la solution de l'équation homogène avec une solution particulière, souvent trouvée par la méthode de variation de la constante, permettant ainsi de couvrir toutes les solutions possibles sur l'intervalle considéré.

📖 7. Équations séparables

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation séparables : Une équation différentielle du premier ordre de la forme ( ) ( )f y y g x  , où il est possible de réécrire l’équation sous la forme ( ) ( )f y dy g x dx , en séparant les variables y et x.
• Forme f(y)dy = g(x)dx : Représentation intégrable d’une équation séparables, permettant d’intégrer chaque membre séparément pour trouver la solution générale.
• Solution d’une équation séparables : Toute fonction y(t) vérifiant l’intégrale ( ) ( )f y dy = g x dx + K, où K est une constante arbitraire.
• Courbe intégrale : La représentation graphique d’une solution d’une équation différentielle, obtenue par intégration de la forme séparée.

📝 Points essentiels

• La forme d’une équation séparables est ( ) ( )f y y g x  , qui peut se transformer en ( ) ( )f y dy = g x dx.
• En intégrant chaque membre séparément, on obtient ( ) ( )f y dy = g x dx + K, avec K une constante.
• La résolution consiste à effectuer deux intégrations : une en y, l’autre en x, puis à exprimer y en fonction de x ou inversement.
• La solution générale est donnée par l’équation ( ) ( )F y = G x + C, où F et G sont des primitives de f et g respectivement, et C une constante.
• La résolution de ce type d’équation permet d’obtenir une famille de solutions dépendant d’une constante arbitraire.

💡 À retenir

Les équations séparables se résolvent en séparant les variables y et x, puis en intégrant chaque membre pour obtenir la solution générale.

📖 8. Équations du second ordre

🔑 Notions clés & Définitions

Équation différentielle du second ordre :
Une équation différentielle (E) d’ordre 2 est une équation de la forme
$F(t, y, y', y'') = 0$
où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, et $y'$, $y''$ sont ses dérivées successives. La fonction $F$ est continue et $y$ doit être deux fois dérivable sur l’intervalle considéré.

Solution d’une équation différentielle du second ordre :
Une fonction $\phi$, deux fois dérivable sur l’intervalle $I$, est solution si, pour tout $t \in I$, elle vérifie l’équation $F(t, \phi(t), \phi'(t), \phi''(t)) = 0$.

Courbe intégrale :
La représentation graphique d’une solution $\phi$ de l’équation différentielle du second ordre.

Équation caractéristique :
Une équation du second degré associée à une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants, permettant de déterminer la forme générale de la solution. Elle s’écrit
$ar^2 + br + c = 0$
où $a, b, c$ sont des coefficients constants issus de l’équation différentielle.

📝 Points essentiels

• La résolution d’une équation différentielle du second ordre homogène à coefficients constants repose sur l’étude de l’équation caractéristique associée.
• La solution générale dépend des racines $r$ de cette équation caractéristique :
  • Si $\Delta > 0$, deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$, la solution est $y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}$.
  • Si $\Delta = 0$, racine double $r$, la solution est $y(t) = (C_1 + C_2 t) e^{r t}$.
  • Si $\Delta < 0$, racines complexes conjuguées $\alpha \pm i \beta$, la solution est $y(t) = e^{\alpha t} (A \cos \beta t + B \sin \beta t)$.
• Pour une équation non homogène, la solution générale est la somme de la solution générale de l’équation homogène et d’une solution particulière de l’équation complète.
• La méthode de la variation de la constante permet de trouver une solution particulière lorsque le second membre est une fonction polynomiale, exponentielle, trigonométrique ou leur combinaison.

💡 À retenir

L’étude des équations différentielles du second ordre repose principalement sur l’analyse de l’équation caractéristique, dont les racines déterminent la forme générale de la solution. La résolution consiste à distinguer le cas des racines réelles, doubles ou complexes pour construire la solution la plus générale.

📖 9. Solution homogène

🔑 Notions clés & Définitions

Solution homogène :
Une solution homogène d'une équation différentielle est une solution particulière de cette équation lorsque le second membre (terme indépendant ou source) est nul. Elle correspond à l'ensemble des fonctions qui vérifient l'équation sans second membre.

Solutions de l'équation sans second membre :
Ce sont les solutions de l'équation différentielle obtenue en posant le second membre égal à zéro. La solution générale de cette équation constitue la solution homogène de l'équation initiale.

📝 Points essentiels

• La solution homogène est associée à l'équation différentielle où le second membre est nul, c'est-à-dire :
  $a(t) y' + b(t) y = 0$
• La résolution de cette équation permet d'obtenir la solution générale de l'équation homogène, qui est une famille de fonctions dépendant d'une constante arbitraire.
• La solution générale de l'équation homogène est souvent notée sous la forme :
  $y_h(t) = \text{ensemble des fonctions vérifiant } a(t) y' + b(t) y = 0$
• La méthode consiste à résoudre l'équation sans second membre pour déterminer la solution homogène, qui joue un rôle fondamental dans la résolution de l'équation complète.

💡 À retenir

La solution homogène correspond à l'ensemble des solutions de l'équation différentielle sans second membre, formant la base pour construire la solution générale de l'équation complète.

📖 10. Solutions selon racines caractéristique

🔑 Notions clés & Définitions

Racines réelles distinctes : lorsque l’équation caractéristique d’une équation différentielle du second ordre admet deux solutions réelles différentes, la solution générale est une combinaison linéaire de deux solutions indépendantes de la forme $y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}$, où $r_1 \neq r_2$ sont ces racines (voir résumé).

Racine double : lorsque l’équation caractéristique admet une racine réelle unique $r$ de multiplicité deux, la solution générale est de la forme $y(t) = (C_1 + C_2 t) e^{r t}$.

Racines complexes conjuguées : lorsque l’équation caractéristique a deux racines complexes de la forme $r = \alpha \pm i \beta$, la solution générale est une combinaison linéaire de deux solutions réelles :
$y(t) = e^{\alpha t} \left( C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta t) \right)$

📝 Points essentiels

• La résolution d’une équation différentielle du second ordre à coefficients constants repose sur l’étude de son équation caractéristique $a r^2 + b r + c = 0$.
• La nature des racines de cette équation détermine la forme de la solution générale :
  • Racines réelles distinctes $r_1 \neq r_2$ : solutions exponentielles indépendantes $e^{r_1 t}$ et $e^{r_2 t}$.
  • Racine double $r$ : solution avec un terme en $t$, $e^{r t}$ et $t e^{r t}$.
  • Racines complexes $\alpha \pm i \beta$ : solutions oscillatoires en $\cos(\beta t)$ et $\sin(\beta t)$, multipliées par $e^{\alpha t}$.
• La solution générale est une combinaison linéaire de ces solutions indépendantes, avec des constantes $C_1, C_2$.

💡 À retenir

La forme de la solution d’une équation différentielle du second ordre à coefficients constants dépend exclusivement des racines de son équation caractéristique : racines réelles distinctes, racine double ou racines complexes conjuguées, ce qui détermine la structure exponentielle ou oscillatoire de la solution.

📖 11. Solutions avec second membre

🔑 Notions clés & Définitions

• Solution d'une équation différentielle avec second membre : Fonction φ(t) qui vérifie l'équation (E) du second ordre ou du premier ordre, incluant un second membre f(t). La solution générale est la somme d'une solution homogène et d'une solution particulière (voir solution homogène).

• Solution particulière : Fonction spécifique qui vérifie l'équation différentielle avec second membre, distincte de la solution homogène. Elle permet d'obtenir la solution complète en ajoutant la solution homogène.

• Méthode de variation de la constante : Technique pour déterminer une solution particulière lorsque la résolution directe est difficile. Elle consiste à supposer une solution de la forme y(t) = u(t) * y₀(t), où y₀(t) est une solution de l'équation homogène, puis à déterminer u(t).

📝 Points essentiels

• La résolution d'une équation différentielle du second ordre avec second membre consiste à additionner la solution générale de l'équation homogène à une solution particulière de l'équation complète.

• La solution particulière peut être trouvée par différentes méthodes selon la forme du second membre f(t) :

  • Si f(t) est un polynôme, on cherche une solution particulière sous forme de polynôme.
  • Si f(t) est de la forme e^{mt}, on suppose une solution particulière de même forme, éventuellement multipliée par un polynôme si la racine de l'équation caractéristique est répétée.
  • Si f(t) est une somme de fonctions trigonométriques (cos(mt), sin(mt)), la solution particulière est une combinaison de ces fonctions avec des coefficients à déterminer.

• La méthode de variation de la constante est particulièrement utile lorsque la solution particulière ne peut pas être trouvée par une méthode directe.

💡 À retenir

La résolution d'une équation différentielle avec second membre consiste à combiner la solution générale de l'équation homogène avec une solution particulière adaptée à la forme du second membre, souvent obtenue par des méthodes spécifiques ou la variation de la constante.

📅 Repères chronologiques

(aucun date explicitement mentionnée dans le contenu fourni, donc cette section est omise)

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre l’ordre d’une équation avec le degré de la dérivée la plus élevée (ex : équation d’ordre 2 mais degré 1).
2. Oublier que la solution doit être suffisamment dérivable (n fois pour une équation d’ordre n).
3. Confondre équation linéaire et équation non linéaire sans distinction claire.
4. Mal identifier la forme particulière de l’équation (ex : séparables, linéaires, à coefficients constants).
5. Confondre solution particulière et solution générale.
6. Négliger la condition d’existence ou d’unicité liée à la continuité des coefficients.
7. Mauvaise utilisation de la méthode de résolution selon la nature des racines (réelles, doubles, complexes).

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition d’une équation différentielle selon le Chapitre 6, notamment la relation entre la fonction inconnue et ses dérivées.
2. Savoir déterminer l’ordre d’une équation différentielle à partir de sa forme.
3. Identifier si une équation différentielle est du premier ou du second ordre, avec exemples.
4. Maîtriser la résolution d’une équation linéaire du premier ordre sans second membre.
5. Comprendre la méthode de résolution des équations séparables.
6. Savoir écrire la forme générale d’une solution homogène pour une équation du second ordre à coefficients constants.
7. Connaître la forme de la solution selon que les racines de l’équation caractéristique soient réelles distinctes, doubles ou complexes.
8. Être capable de représenter graphiquement une courbe intégrale.
9. Maîtriser la définition de la fonction inconnue y(t) et ses dérivées y' et y''.
10. Connaître la forme d’une équation différentielle du premier ordre linéaire : $a(t) y' + b(t) y = c(t)$.
11. Savoir résoudre une équation différentielle du second ordre à coefficients constants en utilisant l’équation caractéristique.
12. Connaître la différence entre solution particulière et solution générale, et leur rôle dans la résolution.
13. Identifier les méthodes adaptées selon la forme spécifique de l’équation (ex : séparation, homogène, à coefficients constants).
14. Connaître la définition de la courbe intégrale et son lien avec la solution.
15. Maîtriser la relation entre ordre, dérivées, et degré dans une équation différentielle.