Fonction :
Une fonction est une application qui, à chaque élément x de son ensemble de définition D, associe un seul nombre réel f(x). Elle établit une correspondance unique entre chaque élément de D et un réel.
Application :
C'est le processus ou la règle qui associe à chaque élément x de D son image f(x).
Image d'un nombre :
L'image d'un nombre x par la fonction f est le réel f(x) qui lui est associé.
Antécédent d'un nombre :
L'antécédent d'un réel y par la fonction f est tout nombre x dans D tel que f(x) = y.
Ensemble de définition (Df) :
L'ensemble des réels pour lesquels la fonction est définie, c’est-à-dire l’ensemble des x pour lesquels f(x) existe.
Une fonction associe à chaque élément x de son ensemble de définition D un unique réel f(x), appelé image de x. Cet ensemble D est appelé l’ensemble de définition de la fonction. L’image d’un nombre x est notée f(x). L’antécédent d’un réel y par la fonction f est tout nombre x dans D tel que f(x) = y. L’ensemble de définition, noté Df, regroupe tous les réels pour lesquels la fonction est définie.
Une fonction établit une correspondance unique entre chaque élément de son ensemble de départ et un réel appelé son image, ce qui garantit une relation précise et univoque entre ces éléments.
Valeur interdite : Valeur de la variable qui rend l’expression de la fonction non définie, par exemple, un dénominateur nul ou une racine d’ordre impair d’un nombre négatif. La valeur interdite doit être exclue de l’ensemble de définition.
Intervalle de définition : Ensemble de valeurs continues (intervalle ou réunion d’intervalles) sur lesquelles la fonction est définie, c’est-à-dire sans valeurs interdites.
L'ensemble de définition exclut les valeurs interdites qui rendent l'expression de la fonction non définie. Par exemple, pour une fonction rationnelle, ces valeurs interdites sont les racines du dénominateur. La détermination de l'ensemble de définition consiste donc à identifier ces valeurs interdites et à les retirer de l'ensemble initial (souvent R ou un intervalle donné). L'ensemble de définition peut ainsi être un seul intervalle ou une réunion d’intervalles, privés des valeurs interdites.
L'ensemble de définition correspond à l'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie, en excluant précisément les valeurs interdites qui provoqueraient une indéfinition.
Valeur interdite : voir section 2
Dénominateur nul : La valeur de x pour laquelle le dénominateur d'une fonction est égal à zéro, ce qui entraîne l'indéfinition de la fonction.
Restriction de domaine : La limitation de l'ensemble des valeurs possibles de x, excluant notamment les valeurs interdites.
Une valeur interdite est une valeur de x qui annule le dénominateur d'une fonction rationnelle, rendant la fonction non définie. La recherche des valeurs interdites est essentielle pour déterminer l'ensemble de définition, car elles indiquent les points à exclure. Ces valeurs interdites ne font pas partie du domaine de la fonction et doivent être exclues pour garantir la validité de l'expression.
Savoir détecter et exclure les valeurs interdites est crucial pour définir correctement le domaine d'une fonction rationnelle et assurer sa validité.
Résolution graphique : Méthode permettant de résoudre une équation ou une inéquation en utilisant la représentation visuelle des courbes ou des droites associées aux fonctions concernées. Elle consiste à analyser graphiquement les intersections ou les positions relatives des courbes pour déterminer les solutions.
Courbe représentative : La courbe tracée dans un repère, représentant graphiquement une fonction f ou g. Elle permet d’étudier visuellement le comportement de la fonction, ses intersections avec d’autres courbes ou droites, et ses zones de positivité ou négativité.
Intersection de courbes : Point où deux courbes se croisent, c’est-à-dire où elles ont la même abscisse et la même ordonnée. Résoudre graphiquement une équation f(x) = g(x) revient à repérer ces points d’intersection.
Inéquation graphique : Résolution visuelle d’une inéquation, consistant à déterminer les intervalles où la courbe d’une fonction est au-dessus ou en dessous d’une droite ou d’une autre courbe. Elle permet d’identifier graphiquement les solutions sous forme d’intervalles.
Résoudre une équation f(x) = g(x) revient à trouver les abscisses des points d’intersection des courbes Cf et Cg. Ces points sont repérés graphiquement comme étant où les deux courbes se croisent.
Résoudre une inéquation graphique consiste à déterminer les intervalles où la courbe Cf est au-dessus ou en dessous d’une droite ou d’une autre courbe. Par exemple, pour une inéquation f(x) > 2, on repère graphiquement la zone située au-dessus de la droite y = 2, ce qui correspond aux intervalles où la courbe f(x) est supérieure à 2.
La lecture graphique permet d’estimer les images (valeurs f(x)) et les antécédents (valeurs x) d’une fonction. En observant la courbe, on peut repérer rapidement les solutions d’une équation ou d’une inéquation, en identifiant les points d’intersection ou les zones où la courbe se trouve par rapport à une droite.
Les solutions graphiques sont des abscisses correspondant aux points d’intersection ou aux zones délimitées par l’inéquation. Ces solutions sont souvent exprimées sous forme d’intervalles, indiquant où la fonction satisfait la condition donnée.
La représentation graphique permet de résoudre visuellement des équations et inéquations liées aux fonctions en identifiant leurs points d’intersection ou leurs zones de position relative, facilitant ainsi la compréhension et la détermination des solutions.
Tableau de variations : Résumé graphique ou tabulaire qui synthétise les intervalles où une fonction est croissante ou décroissante, ainsi que ses extremums (maximums et minimums). Il permet de visualiser l’évolution de la fonction sur son domaine.
Croissance d'une fonction : Une fonction f est croissante sur un intervalle I si, pour tout x < y dans I, on a f(x) ≤ f(y). Cela signifie que la valeur de la fonction ne diminue pas lorsque l’on avance dans l’intervalle.
Décroissance d'une fonction : Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si, pour tout x < y dans I, on a f(x) ≥ f(y). La fonction ne augmente pas lorsque l’on progresse dans l’intervalle.
Maximum : Un extremum local où la fonction atteint un point le plus haut par rapport à ses valeurs proches. Par exemple, si f admet un maximum en un point x = a, alors f(a) est supérieur ou égal aux valeurs de f dans un voisinage de a.
Minimum : Un extremum local où la fonction atteint un point le plus bas par rapport à ses valeurs proches. Si f admet un minimum en un point x = b, alors f(b) est inférieur ou égal aux valeurs de f dans un voisinage de b.
Une fonction est croissante sur un intervalle si, pour tout x < y, f(x) ≤ f(y). À l’inverse, elle est décroissante si, pour tout x < y, f(x) ≥ f(y). Le tableau de variations synthétise ces comportements en indiquant les intervalles où la fonction croît ou décroît, ainsi que ses extremums (maximums et minimums). Ces extremums correspondent aux points où la fonction atteint un maximum ou un minimum local, c’est-à-dire des valeurs plus hautes ou plus basses que celles de ses voisins immédiats.
Le tableau de variations permet de synthétiser le comportement d’une fonction en indiquant ses intervalles de croissance et décroissance, ainsi que ses extremums, pour mieux comprendre son évolution.
Fonction paire
AUTEUR (date) : Une fonction est dite paire si, pour tout x dans son domaine de définition Df, on vérifie que f(-x) = f(x). Cela signifie que l’image de -x est la même que celle de x.
Symétrie axiale
La courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, ce qui facilite son tracé et son analyse.
Fonction impaire
Bien que non détaillée ici, une fonction impaire vérifie la relation f(-x) = -f(x). Elle possède une symétrie centrale par rapport à l’origine.
Une fonction est paire si, pour tout x dans Df, on a f(-x) = f(x). La courbe représentative de cette fonction est alors symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Par exemple, la fonction carrée f(x) = x² est paire, car f(-x) = (-x)² = x². La reconnaissance de cette propriété permet de repérer rapidement la symétrie de la courbe, ce qui facilite son tracé et son étude.
Identifier si une fonction est paire ou impaire permet d’exploiter ses symétries pour simplifier son tracé et son analyse graphique.
| Thème | Notions clés | Définition / Point essentiel | Auteur / Référence |
|---|---|---|---|
| Fonction | Application, image, antécédent, ensemble de définition | Une fonction associe à chaque x de D un unique réel f(x). | - |
| Ensemble de définition | Valeurs interdites, intervalle de définition | Exclut valeurs qui rendent la fonction non définie, comme dénominateur nul. | - |
| Valeur interdite | Dénominateur nul, racine d’un nombre négatif | Valeur de x rendant la fonction indéfinie, à exclure du domaine. | - |
| Résolution graphique | Intersection, inéquation graphique | Méthode visuelle pour résoudre équations ou inéquations via courbes. | - |
| Tableau de variations | Croissance, décroissance, extremums | Synthèse des intervalles de croissance/décroissance et extremums locaux. | - |
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1. Quel est le rôle principal d'une fonction dans une relation mathématique ?
2. En quoi l'ensemble de définition diffère-t-il de l'ensemble d'image d'une fonction ?
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Fonction — définition ?
Application associant un seul réel à chaque élément de son domaine.
Ensemble de définition — rôle ?
Détermine les valeurs pour lesquelles la fonction est définie.
Valeur interdite — exemple ?
Valeur de x rendant la fonction indéfinie, comme dénominateur nul.
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