Fiche de révision : Introduction aux Fonctions Trigonométriques

📋 Plan du Cours

1. Cercle trigonométrique
2. Enroulement et repérage
3. Radian et mesure d'angle
4. Cosinus et sinus
5. Fonctions trigonométriques sinus et cosinus

📖 1. Cercle trigonométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Dans un repère orthonormé (O ; I, J), c’est un cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Il est aussi appelé cercle unité.
• Sens direct / sens trigonométrique : Le sens contraire des aiguilles d’une montre.
• Sens indirect : Le sens des aiguilles d’une montre.
• Périmètre du cercle trigonométrique : La longueur du cercle de rayon 1 est égale à 2π.
• Repérage d’un point par enroulement : Lorsqu’on enroule une droite autour du cercle, on associe à chaque point N un point M du cercle en fonction de la longueur de l’arc, permettant ainsi de repérer un point sur le cercle en fonction de la longueur parcourue.

📝 Points essentiels

• Le cercle trigonométrique est défini dans un repère orthonormé (O ; I, J) avec un rayon de 1.
• Le sens positif ou trigonométrique est celui dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, tandis que le sens indirect est dans le sens des aiguilles d’une montre.
• La longueur du périmètre du cercle trigonométrique est de 2π, ce qui correspond à un tour complet.
• Le repérage d’un point sur le cercle peut se faire par enroulement : en enroulant une droite autour du cercle, la longueur de l’arc associé à un point correspond à la distance parcourue le long de la droite, permettant de définir une mesure d’angle en radian.

📖 2. Enroulement et repérage

🔑 Notions clés & Définitions

• Processus d’enroulement : C’est le procédé par lequel une droite (AC), tangente au cercle trigonométrique en un point A, est enroulée autour du cercle. Lorsqu’on enroule cette droite, chaque point N de la droite, avec une abscisse x, est associé à un unique point M sur le cercle. La longueur de l’arc entre A et M est égale à la longueur du segment AN. Ce processus permet de définir un repérage sur le cercle, associant chaque position de la droite à une position sur le cercle.

• Définition de l’enroulement : L’enroulement consiste à faire tourner une droite autour du cercle en suivant le sens inverse des aiguilles d’une montre (sens direct). À chaque rotation, la position d’un point N sur la droite est liée à une position M sur le cercle, en fonction de la longueur de l’arc parcouru.

• Lien avec le repérage sur le cercle : Le processus d’enroulement établit une correspondance entre la position d’un point N sur la droite (avec une abscisse x) et un point M sur le cercle, en utilisant la longueur de l’arc (qui est égale à la distance entre A et M). Ainsi, le repérage sur le cercle est réalisé par la mesure de la longueur de l’arc parcouru lors de l’enroulement.

• Relation entre la longueur de l’arc et la position du point M : La longueur de l’arc entre le point A et le point M sur le cercle est égale à la distance parcourue le long de la droite lors de l’enroulement. La longueur de cet arc est proportionnelle à la mesure de l’angle en radians que forme le rayon avec la position du point M.

• Notion de tangente au cercle en un point : La droite (AC) est tangente au cercle en A, ce qui signifie qu’elle touche le cercle en ce seul point A, sans le couper. La tangente est orientée de manière à définir un repère local où l’enroulement peut être effectué, permettant d’associer chaque point N de la droite à un point M du cercle en fonction de la longueur de l’arc parcouru.

📖 3. Radian et mesure d'angle

🔑 Notions clés & Définitions

• Radian : unité de mesure d’angle définie par AUTEUR (date). Soit 𝐴 et 𝑀 deux points d’un cercle de centre 𝑂 et de rayon OM. La mesure en radians de l’angle 𝐴𝑂𝑀 est le réel 𝑙/𝑟, où 𝑙 est la longueur de l’arc de cercle 𝐴𝑀. Sur un cercle trigonométrique (rayon 1), cette mesure est égale à la longueur de l’arc 𝐴𝑀.

• Longueur de l’arc : partie de la circonférence comprise entre deux points du cercle.

• Circonférence du cercle trigonométrique : longueur totale du cercle, égale à 2π (avec un rayon r = 1).

• Relation entre degrés et radians : La mesure en degrés d’un angle est proportionnelle à sa mesure en radians. Lors d’un tour complet (360°), la mesure en radians est 2π. La formule de conversion est :
  $\text{degré} \times \frac{\pi}{180} = \text{radian}$

• Proportionnalité : La relation entre mesures en degrés et en radians est donnée par un tableau de proportionnalité, notamment :

  • 30° = π/6 rad
  • 45° = π/4 rad
  • 60° = π/3 rad
  • 90° = π/2 rad
  • 180° = π rad

📝 Points essentiels

• La longueur du cercle trigonométrique est 2π, correspondant à un tour complet (360° ou 2π radians).

• La mesure en radians d’un angle dans un cercle de rayon 1 est égale à la longueur de l’arc associé à cet angle.

• La relation entre degrés et radians est proportionnelle :
  $\text{degré} \times \frac{\pi}{180} = \text{radian}$

• Tout point M du cercle trigonométrique associé à un réel x est aussi associé à des réels de la forme $x + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$, correspondant à plusieurs tours.

💡 À retenir

Le radian est une unité de mesure d’angle basée sur la longueur d’un arc de cercle, permettant d’établir une relation directe et proportionnelle avec la mesure en degrés, avec 2π radians correspondant à un tour complet.

📖 4. Cosinus et sinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus : L’abscisse d’un point M sur le cercle trigonométrique associé à un angle orienté x. Noté cos(x).
• Sinus : L’ordonnée du point M sur le cercle trigonométrique associé à un angle orienté x. Noté sin(x).
• Valeurs du sinus et du cosinus : Les valeurs de sin(x) et cos(x) sont comprises dans l’intervalle [-1, 1].
• Identité trigonométrique : La relation cos²(x) + sin²(x) = 1.

📝 Points essentiels

• Le cosinus correspond à l’abscisse du point M associé à l’angle x sur le cercle trigonométrique.
• Le sinus correspond à l’ordonnée du même point M.
• Les valeurs de sin(x) et cos(x) sont toujours comprises entre -1 et 1.
• L’identité cos²(x) + sin²(x) = 1 relie ces deux fonctions, illustrant que tout point M du cercle trigonométrique vérifie cette relation.
• Ces notions permettent de repérer graphiquement le sinus et le cosinus sur le cercle trigonométrique, en associant chaque angle à un point précis.

💡 À retenir

Le sinus et le cosinus sont définis comme les coordonnées d’un point sur le cercle trigonométrique, et ils vérifient toujours l’identité cos²(x) + sin²(x) = 1, ce qui reflète leur relation géométrique fondamentale.

📖 5. Fonctions trigonométriques sinus et cosinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction cosinus (cos) : Fonction définie sur ℝ, qui à tout réel 𝑥 associe la valeur cos(𝑥), correspondant à l’abscisse du point M du cercle trigonométrique associé à l’angle 𝑥 (définition issue de la lecture du cercle trigonométrique).
• Fonction sinus (sin) : Fonction définie sur ℝ, qui à tout réel 𝑥 associe la valeur sin(𝑥), correspondant à l’ordonnée du point M du cercle trigonométrique associé à l’angle 𝑥.
• Courbe sinusoïdale : La représentation graphique des fonctions sinus et cosinus, caractérisées par leur forme ondulée.
• Périodicité (période 2π) : Propriété selon laquelle ces fonctions se répètent tous les 2π, c’est-à-dire que pour tout 𝑥, cos(𝑥 + 2𝑘π) = cos(𝑥) et sin(𝑥 + 2𝑘π) = sin(𝑥), avec 𝑘 entier relatif.

📝 Points essentiels

• La fonction cosinus est une fonction de ℝ, associant à chaque réel 𝑥 la valeur cos(𝑥), correspondant à l’abscisse du point M sur le cercle trigonométrique associé à l’angle 𝑥.
• La fonction sinus est une fonction de ℝ, associant à chaque réel 𝑥 la valeur sin(𝑥), correspondant à l’ordonnée du même point M.
• Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π, ce qui signifie qu’elles se répètent tous les 2π : cos(𝑥 + 2𝑘π) = cos(𝑥) et sin(𝑥 + 2𝑘π) = sin(𝑥).
• La courbe de ces fonctions est appelée une courbe sinusoïdale, caractérisée par une ondulation régulière.
• La fonction cosinus est paire : cos(−𝑥) = cos(𝑥).
• La fonction sinus est impaire : sin(−𝑥) = −sin(𝑥).

💡 À retenir

Les fonctions sinus et cosinus, définies sur ℝ, sont périodiques de période 2π et leurs courbes sinusoïdales présentent des symétries spécifiques : la cosinus est paire, le sinus est impaire.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre sens direct (sens trigonométrique) et sens indirect (sens des aiguilles d’une montre).
2. Oublier que la longueur de l’arc est proportionnelle à l’angle en radian, pas en degré.
3. Confondre radian et degré lors de la conversion, notamment en utilisant la mauvaise formule.
4. Oublier que la valeur de sin(x) et cos(x) est toujours dans [-1, 1].
5. Confondre la relation entre sin et cos avec d’autres identités trigonométriques (ex : tan, cot).
6. Ne pas prendre en compte la périodicité 2π des fonctions sinus et cosinus.
7. Confondre l’abscisse et l’ordonnée dans le cercle trigonométrique (cos(x) vs sin(x)).
8. Oublier que la tangente est liée à sin et cos par tan(x) = sin(x)/cos(x).

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition du cercle trigonométrique dans un repère orthonormé (O ; I, J).
2. Savoir que le périmètre du cercle unité est 2π.
3. Maîtriser la notion d’enroulement et sa relation avec la mesure d’angle en radian.
4. Savoir convertir un angle entre degrés et radians en utilisant la formule $\text{degré} \times \frac{\pi}{180}$.
5. Connaître la définition du radian en lien avec la longueur de l’arc.
6. Être capable d’identifier cos(x) comme l’abscisse et sin(x) comme l’ordonnée d’un point M sur le cercle.
7. Maîtriser l’identité fondamentale cos²(x) + sin²(x) = 1.
8. Connaître la périodicité 2π des fonctions sinus et cosinus.
9. Savoir que la courbe de sin(x) et cos(x) est une sinusoïde.
10. Être capable de représenter graphiquement sin(x) et cos(x) sur un cercle trigonométrique.
11. Connaître la relation entre angles en degrés et en radians pour 30°, 45°, 60°, 90°, 180°.
12. Savoir que tan(x) = sin(x)/cos(x) et ses implications.