Fiche de révision : Introduction aux groupes et sous-groupes

📋 Plan du Cours

1. Définition des groupes
2. Sous-groupes
3. Ordre d’un élément
4. Groupes cycliques
5. Théorème de Lagrange
6. Morphismes de groupes
7. Groupes de permutations
8. Décomposition en cycles
9. Signature et groupe alterné

📖 1. Définition des groupes

🔑 Notions clés & Définitions

Groupe
AUTEUR (université de Bordeaux, 2024–25) : Un groupe est la donnée d’un ensemble G et d’une loi de composition interne ∗ : G × G → G, vérifiant l’associativité, la présence d’un élément neutre, et l’existence d’un inverse pour chaque élément.

Loi de composition interne
AUTEUR (université de Bordeaux, 2024–25) : La règle qui associe à chaque paire (x, y) dans G deux éléments x ∗ y dans G, permettant de combiner deux éléments du groupe.

Élément neutre
AUTEUR (université de Bordeaux, 2024–25) : Un élément e ∈ G tel que, pour tout x ∈ G, x ∗ e = e ∗ x = x.

Inverse d’un élément
AUTEUR (université de Bordeaux, 2024–25) : Pour chaque x ∈ G, un élément y ∈ G tel que x ∗ y = y ∗ x = e, où e est l’élément neutre.

Groupe abélien
AUTEUR (université de Bordeaux, 2024–25) : Un groupe dans lequel la loi ∗ est commutative, c’est-à-dire x ∗ y = y ∗ x pour tous x, y ∈ G.

📝 Points essentiels

Un groupe est un ensemble G muni d’une loi associative, possédant un élément neutre e, et pour chaque élément x, un inverse x−1. La loi de groupe peut être notée multiplicativement ou additivement, selon que le groupe est non-abélien ou abélien. La loi multiplicative est notée xy, et la loi additive notée x + y. La présence d’un élément neutre e garantit que tout élément x possède un inverse unique x−1, et que cet inverse vérifie x−1−1 = x. La structure de groupe est caractérisée par ces propriétés fondamentales, qui assurent la cohérence de la composition interne.

💡 À retenir

Un groupe est une structure fondamentale caractérisée par une loi associative, un élément neutre, et l’existence d’un inverse pour chaque élément, permettant de définir une opération cohérente sur un ensemble. La notation et la commutativité déterminent si le groupe est abélien ou non.

📖 2. Sous-groupes

🔑 Notions clés & Définitions

Sous-groupe

• AUTEUR : voir section 1 C’est une partie $H \subseteq G$ telle que :
• $H \neq \emptyset$
• Pour tout $h_1, h_2 \in H$, $h_1 h_2 \in H$
• Pour tout $h \in H$, $h^{-1} \in H$

Sous-groupe trivial
AUTEUR (source) : sous-groupe contenant uniquement l’élément neutre $e$.
Il s’agit de $\{e\}$, qui vérifie la stabilité par produit et inverse.

Caractérisation d'un sous-groupe par xy^{-1}
AUTEUR (source) : un sous-groupe $H$ peut être caractérisé par la propriété que, pour tout $x, y \in H$, $xy^{-1} \in H$.
En particulier, si $H$ est un sous-groupe, alors $xy^{-1} \in H$ pour tous $x, y \in H$.

Sous-groupe engendré
AUTEUR (source) : le plus petit sous-groupe contenant une partie $S \subseteq G$, noté $\langle S \rangle$.
Il est défini comme l’intersection de tous les sous-groupes de $G$ contenant $S$.
Pour $S \neq \emptyset$, il s’agit de l’ensemble des éléments de la forme $x_{1}^{\varepsilon_1} x_{2}^{\varepsilon_2} \dots x_{r}^{\varepsilon_r}$ avec $x_i \in S$, $\varepsilon_i = \pm 1$.

Intersection de sous-groupes
AUTEUR (source) : l’intersection de plusieurs sous-groupes de $G$ est un sous-groupe.
Elle est stable par produit et inverse, et constitue le plus grand sous-groupe contenu dans tous les sous-groupes donnés.

📝 Points essentiels

• Un sous-groupe est une partie non vide de $G$ stable par produit et inverse.
• L’intersection de sous-groupes est toujours un sous-groupe, car elle conserve la stabilité par produit et inverse.
• La réunion de sous-groupes n’est pas nécessairement un sous-groupe, sauf dans certains cas particuliers.
• Le sous-groupe engendré par une partie $S$ est l’intersection de tous les sous-groupes contenant $S$.
• La description explicite du sous-groupe engendré par $S \neq \emptyset$ est l’ensemble des éléments formés par des produits de la forme $x_{1}^{\varepsilon_1} x_{2}^{\varepsilon_2} \dots x_{r}^{\varepsilon_r}$, avec $x_i \in S$ et $\varepsilon_i = \pm 1$.
• Si $S = \emptyset$, alors $\langle \emptyset \rangle = \{e\}$.

💡 À retenir

Un sous-groupe est une partie non vide stable par produit et inverse, dont l’intersection avec d’autres sous-groupes reste un sous-groupe. La notion de sous-groupe engendré permet de construire la plus petite structure contenant une partie donnée, caractérisée explicitement par des produits de ses éléments et leurs inverses.

📖 3. Ordre d’un élément

🔑 Notions clés & Définitions

• AUTEUR : voir section 1 En d’autres termes, c’est la plus petite puissance positive de l’élément x qui donne l’élément neutre e du groupe.

Élément d’ordre fini : un élément x dont l’ordre est un entier naturel n > 0.
Cela signifie qu’il existe un entier n tel que x^n = e, et n est le plus petit tel que cela.

Élément d’ordre infini : un élément x pour lequel il n’existe aucun entier positif k tel que x^k = e.
Son ordre est alors considéré comme infini.

Sous-groupe engendré par un élément : pour un élément x d’un groupe G, le sous-groupe engendré par x, noté ⟨x⟩, est l’ensemble des puissances de x : {x^k | k ∈ ℤ}.
Il s’agit du plus petit sous-groupe contenant x.

📝 Points essentiels

L’ordre d’un élément x dans un groupe G est défini comme le plus petit entier positif k tel que x^k = e, ou infini s’il n’existe pas.
Ce concept permet de mesurer la périodicité ou la répétition de l’élément dans la structure du groupe.

Le sous-groupe engendré par un élément d’ordre n contient exactement n éléments distincts.
En effet, si x est d’ordre n, alors ⟨x⟩ = {e, x, x^2, ..., x^{n-1}} et ces éléments sont tous distincts.

Pour tout entier m, x^m = e si et seulement si n divise m.
Cela signifie que la puissance m de x revient à l’élément neutre si et seulement si m est un multiple de n, ce qui reflète la périodicité de x.

💡 À retenir

L’ordre d’un élément permet de mesurer sa périodicité dans le groupe et influence la structure du sous-groupe qu’il engendre. Un élément d’ordre fini n génère un sous-groupe cyclique de n éléments, où la répétition des puissances reflète sa périodicité.

📖 4. Groupes cycliques

🔑 Notions clés & Définitions

Groupe monogène : Un groupe est dit monogène s'il est engendré par un seul élément. Autrement dit, il existe un élément dont les puissances (ou itérations) génèrent tout le groupe.

Groupe cyclique : Un groupe est cyclique si il est monogène, c’est-à-dire qu’il possède un seul générateur. Tout groupe cyclique est engendré par un seul élément, et ses sous-groupes sont également cycliques.

Partie génératrice : Un ensemble d’éléments d’un groupe tel que tout élément du groupe peut s’écrire comme un produit (ou une combinaison) de ces éléments. Dans un groupe cyclique, l’unique générateur forme une partie génératrice.

Sous-groupes cycliques : Ce sont des sous-groupes qui sont eux-mêmes cycliques, c’est-à-dire qu’ils sont engendrés par un seul élément. Tous les sous-groupes d’un groupe cyclique sont cycliques.

Diviseur de l’ordre : Si un groupe cyclique a un ordre n, alors tout sous-groupe de ce groupe a un ordre qui divise n. De plus, pour chaque diviseur d de n, il existe un sous-groupe d’ordre d, unique dans le groupe.

📝 Points essentiels

• Un groupe est cyclique s’il est engendré par un seul élément. Cela signifie qu’il existe un élément x tel que tout autre élément du groupe peut s’écrire comme une puissance ou une itération de x.

• Tous les sous-groupes d’un groupe cyclique sont cycliques. Leur ordre divise celui du groupe principal, conformément à la propriété que tout sous-groupe d’un groupe cyclique a un ordre qui divise l’ordre du groupe.

• Pour chaque diviseur d de l’ordre n d’un groupe cyclique, il existe un sous-groupe d’ordre d. Ce sous-groupe est unique, ce qui établit une correspondance entre les diviseurs de n et les sous-groupes du groupe.

💡 À retenir

Un groupe cyclique est entièrement caractérisé par un seul générateur, et ses sous-groupes sont tous cycliques avec des ordres divisant celui du groupe. La classification des sous-groupes est donc directement liée aux diviseurs de l’ordre du groupe.

📖 5. Théorème de Lagrange

🔑 Notions clés & Définitions

Classe à gauche modulo un sous-groupe :
Une classe à gauche d’un groupe G par rapport à un sous-groupe H est l’ensemble {g · h : h ∈ H} pour un élément g ∈ G. Elle représente l’ensemble des éléments de G obtenus en multipliant g par tous les éléments de H à gauche.

Indice d'un sous-groupe :
L’indice d’un sous-groupe H dans un groupe G, noté [G : H], est le nombre de classes à gauche de H dans G. Il correspond à la partition de G en classes disjointes, toutes de même taille si G est fini.

Ordre d'un sous-groupe :
L’ordre d’un sous-groupe H, noté |H|, est le nombre d’éléments de H si G est fini.

Divisibilité de l'ordre :
Un entier a est divisible par un entier b si il existe un entier k tel que a = bk. Dans le contexte des groupes finis, l’ordre d’un sous-groupe divise l’ordre du groupe, c’est-à-dire |H| | |G|.

📝 Points essentiels

• Les classes à gauche modulo un sous-groupe H forment une partition de G : chaque élément de G appartient à une et une seule classe à gauche, et la réunion de toutes ces classes couvre G entièrement.
• L’ordre d’un sous-groupe H divise l’ordre du groupe G : si G est fini, alors |H| | |G|.
• Le nombre de classes à gauche (l’indice [G : H]) est égal au quotient de l’ordre du groupe par celui du sous-groupe, c’est-à-dire :
  $[G : H] = \frac{|G|}{|H|}$
  lorsque G est fini.

💡 À retenir

Les classes à gauche modulo un sous-groupe forment une partition du groupe, et la taille de cette partition (l’indice) est directement reliée à la taille du groupe et du sous-groupe par un quotient. La divisibilité de l’ordre d’un sous-groupe par celui du groupe est une propriété fondamentale qui relie la structure interne du groupe à ses sous-ensembles.

📖 6. Morphismes de groupes

🔑 Notions clés & Définitions

Morphismede groupe :
Un morphisme de groupes est une application $f : G \to K$ entre deux groupes $G$ et $K$ qui respecte la loi de composition. Plus précisément, pour tous $x, y \in G$, on a $f(xy) = f(x)f(y)$, et $f$ envoie l’élément neutre de $G$ sur celui de $K$.

Noyau d'un morphisme :
Le noyau d’un morphisme $f : G \to K$ est l’ensemble $\ker f = \{x \in G \mid f(x) = e_K\}$, où $e_K$ est l’élément neutre de $K$. Ce sous-ensemble est un sous-groupe de $G$. Dans le contexte général, il est normal.

Image d'un morphisme :
L’image de $f : G \to K$ est $\operatorname{Im} f = \{f(x) \mid x \in G\}$. C’est un sous-groupe de $K$.

Morphismes injectif/surjectif :

• $f$ est injectif si et seulement si $\ker f = \{e_G\}$.
• $f$ est surjectif si $\operatorname{Im} f = K$.

📝 Points essentiels

• Un morphisme de groupes respecte la loi de composition : pour tous $x, y \in G$, $f(xy) = f(x)f(y)$.
• Le noyau d’un morphisme est un sous-groupe normal, ce qui garantit que le quotient $G / \ker f$ est bien défini.
• Un morphisme est injectif si et seulement si son noyau est réduit à l’élément neutre $e_G$.
• L’image d’un morphisme est toujours un sous-groupe du groupe d’arrivée.

💡 À retenir

Les applications qui respectent la structure de groupe, appelées morphismes, permettent d’étudier la relation entre groupes via leur noyau et leur image, ces deux notions fondamentales étant liées à la structure interne et à la représentativité des sous-groupes.

📖 7. Groupes de permutations

🔑 Notions clés & Définitions

Groupe des permutations (Sn)
Le groupe des permutations de n éléments, noté Sn, est l’ensemble de toutes les permutations possibles de ces n éléments, muni de la composition. Selon AUTEUR (date), c’est un groupe fini d’ordre n!, formé de toutes les bijections de l’ensemble {1, 2, ..., n} vers lui-même, avec la composition comme opération.

Composition des permutations
La composition de deux permutations σ et τ, notée στ, consiste à appliquer τ puis σ. La composition est associative, c’est-à-dire que pour toutes permutations σ, τ, υ dans Sn, (στ)υ = σ(τυ). La composition n’est pas nécessairement commutative.

Permutation non abélienne pour n ≥ 3
Le groupe Sn n’est pas abélien dès que n ≥ 3, ce qui signifie que pour certaines permutations σ et τ, στ ≠ τσ. La non-commutativité apparaît dès que le groupe contient au moins trois éléments.

Support d'une permutation
Le support d'une permutation est l’ensemble des éléments de {1, 2, ..., n} qui ne sont pas fixés par cette permutation. Autrement dit, c’est l’ensemble des éléments qui sont déplacés par la permutation.

📝 Points essentiels

Le groupe Sn est formé de toutes les permutations de n éléments, c’est-à-dire toutes les bijections de l’ensemble {1, ..., n} vers lui-même. La composition de permutations est associative, mais elle n’est pas commutative lorsque n ≥ 3, ce qui confère à Sn une structure non abélienne. L’ordre de Sn est n! (factorielle de n). Le support d’une permutation désigne l’ensemble des éléments qu’elle déplace, ce qui permet d’étudier la nature de ses déplacements au sein du groupe.

💡 À retenir

Le groupe des permutations Sn, de taille n!, est un exemple fondamental de groupe non abélien pour n ≥ 3, illustrant la complexité et la richesse des structures possibles dans la théorie des groupes. La composition associative mais non commutative de ses éléments reflète la diversité des permutations possibles.

📖 8. Décomposition en cycles

🔑 Notions clés & Définitions

• AUTEUR : voir section 1

Support d’un cycle : Ensemble des éléments de l’ensemble initial qui sont déplacés par ce cycle. Autrement dit, c’est l’ensemble des éléments qui apparaissent dans le cycle. AUTEUR (date) : le support d’un cycle est le sous-ensemble sur lequel le cycle agit non trivialement.

Produit de cycles à supports disjoints : La composition de plusieurs cycles dont les supports ne se chevauchent pas. Ce produit est une permutation dont l’action est la composition des actions de chaque cycle sur leur support respectif. AUTEUR (date) : toute permutation peut se décomposer en produit de cycles à supports disjoints.

Conjugué d’un cycle : Permutation obtenue en conjugant un cycle par une autre permutation. Le conjugué d’un cycle par une permutation est un cycle de même longueur. AUTEUR (date) : le conjugué d’un cycle conserve la longueur du cycle initial.

📝 Points essentiels

• Toute permutation peut se décomposer en produit de cycles à supports disjoints. Cela permet d’analyser sa structure interne de manière unique.
• Les cycles à supports disjoints commutent entre eux. En effet, si deux cycles n’ont pas de points en commun, leur composition ne dépend pas de l’ordre.
• Le conjugué d’un cycle par une permutation est un cycle de même longueur. Cela montre que la conjugaison préserve la structure cyclique, notamment la longueur du cycle.

💡 À retenir

La décomposition d’une permutation en cycles à supports disjoints offre une analyse structurale unique, où ces cycles commutent entre eux et leur conjugaison conserve leur longueur, permettant une compréhension fine de la permutation.

📖 9. Signature et groupe alterné

🔑 Notions clés & Définitions

Signature d'une permutation
La signature d'une permutation est un morphisme de $S_n$ dans $\{ \pm 1 \}$. Elle associe à chaque permutation un nombre qui indique si cette permutation est paire ou impaire.

Permutations paires/impaires
Une permutation est dite paire si sa signature est $+1$, et impaire si sa signature est $-1$.

Groupe alterné (An)
Le groupe alterné $A_n$ est constitué de toutes les permutations paires de $S_n$. C'est un sous-groupe normal de $S_n$.

Caractérisation par la signature
La signature permet de distinguer les permutations paires des permutations impaires, en tant que morphisme de $S_n$ dans $\{ \pm 1 \}$.

📝 Points essentiels

• La signature est un morphisme de $S_n$ dans $\{ \pm 1 \}$.
• Les permutations paires forment un sous-groupe normal appelé groupe alterné $A_n$.
• Le groupe alterné $A_n$ est d'ordre $n! / 2$.

💡 À retenir

La signature permet de classer les permutations en paires ou impaires, et le groupe alterné $A_n$, constitué des permutations paires, est un sous-groupe normal de $S_n$ d'ordre moitié de celui de $S_n$.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre l’ordre d’un élément avec l’ordre du groupe.
2. Croire qu’un sous-groupe est toujours une réunion de sous-groupes (ce n’est pas vrai sauf pour l’intersection).
3. Penser qu’un sous-groupe engendré par une partie S est simplement S (il inclut aussi tous les produits et inverses).
4. Confondre groupe abélien et groupe cyclique : tous les groupes cycliques sont abéliens, mais pas l’inverse.
5. Oublier que la propriété que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique ne s’applique qu’à ce type spécifique.
6. Mal interpréter la propriété que pour un groupe cyclique d’ordre n, chaque diviseur d correspond à un unique sous-groupe d’ordre d.
7. Confondre l’ordre infini d’un élément avec une erreur dans la définition du sous-groupe engendré.

✅ Checklist Examen

• Connaître la définition précise d’un groupe selon l’université de Bordeaux (associativité, neutre, inverse).
• Savoir caractériser un sous-groupe par sa stabilité par produit et inverse.
• Maîtriser la notion d’ordre d’un élément et son lien avec le sous-groupe cyclique engendré.
• Connaître la définition d’un groupe cyclique et la propriété que tous ses sous-groupes sont cycliques.
• Être capable d’identifier un sous-groupe engendré par une partie S à partir de produits et inverses.
• Comprendre la relation entre ordre du groupe et sous-groupes (diviseurs).
• Savoir que l’intersection de plusieurs sous-groupes est toujours un sous-groupe.
• Reconnaître qu’un sous-groupe trivial contient uniquement l’élément neutre.
• Maîtriser la différence entre groupe abélien et groupe cyclique.
• Connaître le théorème de Lagrange : ordre d’un sous-groupe divise celui du groupe.
• Comprendre la décomposition en cycles dans les groupes de permutations.
• Savoir définir la signature d’une permutation et le groupe alterné associé.