Fiche de révision : Introduction aux opérations sur les fractions et nombres premiers

📋 Plan du Cours

1. Multiplication de fractions de nombres relatifs
2. Fraction d’une quantité par multiplication
3. Inverse d’un nombre et propriétés
4. Quotients en écriture fractionnaire
5. Nombres premiers : définition et remarques
6. Liste des nombres premiers inférieurs à 100
7. Décomposition en produit de facteurs premiers

📖 1. Multiplication de fractions de nombres relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiplication de fractions : Règle de calcul qui consiste à multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux pour obtenir le produit en écriture fractionnaire.
• Numérateur : Partie supérieure d’une fraction, qui intervient directement dans la multiplication des fractions.
• Dénominateur : Partie inférieure d’une fraction, qui intervient directement dans la multiplication des fractions.
• Simplification avant calcul : Méthode de calcul qui consiste à réduire les nombres (au numérateur et/ou au dénominateur) avant d’effectuer la multiplication pour faciliter le résultat.

📝 Points essentiels

• Pour $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}$ avec $b\neq 0$ et $d\neq 0$, on obtient $\frac{a\times c}{b\times d}$ en multipliant numérateurs et dénominateurs séparément.
• La simplification consiste à décomposer et réduire avant de multiplier, plutôt que de multiplier d’abord puis réduire à la fin.
• Dans l’exemple $\left(-\frac{2}{3}\right)\times\left(\frac{7}{-5}\right)$, on regroupe les signes et on obtient $-\frac{14}{15}$.
• Dans l’exemple $\frac{21}{4}\times\left(-\frac{2}{15}\right)$, la réduction avant multiplication mène à $-\frac{7}{10}$.
• Dans l’exemple $\frac{12}{7}\times\frac{63}{54}$, une simplification préalable permet d’aboutir à $\frac{9}{7}$.
• Le cours insiste sur le fait que multiplier sans simplifier peut rendre la réduction difficile (exemple $\frac{12}{7}\times\frac{63}{54}=\frac{756}{378}$).

💡 Astuce mémo

Numérateur×Numérateur, Dénominateur×Dénominateur ; simplifie avant de multiplier.

📖 2. Fraction d’une quantité par multiplication

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction d’une quantité : Calcul qui consiste à prendre une partie d’une quantité en multipliant cette quantité par la fraction correspondante.
• Fraction d’un nombre : Calcul qui consiste à obtenir une valeur proportionnelle en multipliant le nombre par la fraction donnée.
• Proportion : Valeur exprimant une part d’un ensemble, souvent convertie en fraction puis multipliée par la quantité totale.
• Pourcentage en fraction : Transformation où $8\%$ correspond à $\frac{8}{100}$ pour permettre un calcul avec des fractions.

📝 Points essentiels

• Pour calculer $\frac{p}{q}$ d’une quantité, on multiplie la quantité par $\frac{p}{q}$.
• Pour calculer $\frac{p}{q}$ d’un nombre, on multiplie ce nombre par $\frac{p}{q}$.
• Dans l’exemple, $\frac{11}{20}$ de $8\%$ se calcule par $\frac{11}{20}\times\frac{8}{100}$.
• Le produit $\frac{11}{20}\times\frac{8}{100}$ donne $\frac{88}{250}$.
• La valeur décimale obtenue dans l’exemple est $0{,}352$.
• Le calcul passe par la conversion du pourcentage en fraction de dénominateur $100$.

💡 Astuce mémo

Fraction d’une quantité = quantité × fraction ; et $x\%$ devient $\frac{x}{100}$.

📖 3. Inverse d’un nombre et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Inverses : Deux nombres sont inverses lorsque leur produit vaut $1$.
• Inverse d’un nombre : Nombre qui, multiplié par le nombre de départ, donne $1$.
• Inverse d’une fraction : Nombre obtenu en échangeant numérateur et dénominateur pour que le produit avec la fraction vaille $1$.
• Nombre non nul : Condition nécessaire pour définir un inverse, car on ne peut pas inverser $0$.

📝 Points essentiels

• Deux nombres relatifs sont inverses si leur produit est égal à $1$.
• L’inverse de $a$ (avec $a\neq 0$) est $\frac{1}{a}$.
• L’inverse de $\frac{a}{b}$ (avec $a\neq 0$ et $b\neq 0$) est $\frac{b}{a}$.
• Exemple : $5\times 0{,}2=1$, donc $5$ et $0{,}2$ sont inverses.
• Exemple : $-\frac{6}{5}\times\left(-\frac{5}{6}\right)=1$, donc ces deux fractions sont inverses.
• Exemple : l’inverse de $\frac{5}{7}$ est $\frac{7}{5}$ et l’inverse de $-\frac{6}{5}$ est $-\frac{5}{6}$.

💡 Astuce mémo

Inverse = produit 1 ; pour $\frac{a}{b}$, on inverse en échangeant $a$ et $b$.

📖 4. Quotients en écriture fractionnaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Quotient : Résultat d’une division, ici exprimé avec des nombres en écriture fractionnaire.
• Diviser par un nombre non nul : Opération autorisée uniquement si le diviseur n’est pas nul.
• Multiplication par l’inverse : Principe selon lequel une division peut être remplacée par une multiplication par l’inverse du diviseur.
• Écriture fractionnaire d’un quotient : Forme où le quotient est réécrit comme un produit de fractions pour calculer plus facilement.

📝 Points essentiels

• Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.
• Pour $\frac{a}{b}\div c$ (avec $b\neq 0$ et $c\neq 0$), on remplace par $\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}$.
• Pour $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}$ (avec $b\neq 0$, $c\neq 0$ et $d\neq 0$), on obtient $\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.
• L’écriture $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$ est équivalente à la division initiale.
• Exemple : $\frac{7}{3}\div 2=\frac{7}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{7}{6}$.
• Exemple : $-\frac{4}{5}\div\frac{7}{3}=-\frac{4}{5}\times\frac{3}{7}=-\frac{12}{35}$.

💡 Astuce mémo

Division = × inverse : on retourne le diviseur et on multiplie.

📖 5. Nombres premiers : définition et remarques

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier qui possède exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même.
• Diviseurs distincts : Valeurs qui divisent le nombre sans reste et qui sont comptées une seule fois.
• Nombre pair : Entier divisible par $2$, donc lié à la remarque sur les premiers pairs.
• Cas de 0 et 1 : Situations particulières où la définition de nombre premier ne s’applique pas.

📝 Points essentiels

• Un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même.
• $15$ n’est pas premier car ses diviseurs sont $1$, $3$, $5$ et $15$.
• $59$ est premier car il n’est divisible que par $1$ et par $59$.
• $0$ n’est pas premier car il possède une infinité de diviseurs.
• $1$ n’est pas premier car il possède un seul diviseur.
• Le seul nombre premier pair est $2$ car tous les nombres pairs sont divisibles par $2$.

💡 Astuce mémo

Premier = seulement deux diviseurs : 1 et lui-même ; et le seul pair premier est 2.

📖 6. Liste des nombres premiers inférieurs à 100

🔑 Notions clés & Définitions

• Liste des nombres premiers : Ensemble des nombres premiers donnés par le cours, ici ceux strictement inférieurs à $100$.
• Nombres premiers inférieurs à 100 : Les nombres premiers dont la valeur est < $100$, listés explicitement.
• 25 nombres premiers : Quantité annoncée par le cours pour les nombres premiers strictement inférieurs à $100$.

📝 Points essentiels

• Le cours donne 25 nombres premiers inférieurs à $100$.
• La liste commence par $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$.
• La liste continue par $31,37,41,43,47,53,59,61,67,71$.
• La liste se termine par $73,79,83,89,97$.
• Chaque nombre de la liste est un nombre premier au sens de la définition précédente.
• Aucun nombre pair autre que $2$ n’apparaît dans la liste, conformément à la remarque sur les premiers pairs.

💡 Astuce mémo

Mémoriser par blocs : 2–29 puis 31–71 puis 73–97.

📖 7. Décomposition en produit de facteurs premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Facteurs premiers : Nombres premiers dont le produit reconstitue le nombre étudié.
• Décomposition en produit de facteurs premiers : Écriture d’un entier comme produit de nombres premiers.
• Unicité à l’ordre près : Propriété indiquant que la décomposition en facteurs premiers est la même, même si l’ordre des facteurs change.
• Méthode par tests de divisibilité : Procédure consistant à tester la divisibilité par des nombres premiers successifs pour trouver les facteurs.

📝 Points essentiels

• Tout entier naturel $\ge 2$ se décompose en produit de facteurs premiers.
• La décomposition est unique à l’ordre près.
• Exemple : $35=5\times 7$ avec $5$ et $7$ premiers.
• Exemple : $48=2^4\times 3$ (car $48=2\times 3\times 2\times 4$ puis réduction).
• Pour décomposer $522$, on teste d’abord la divisibilité par $2$ : $522\div 2=261$.
• On continue avec le prochain premier : $261\div 3=87$, puis $87\div 3=29$, et $29\div 29=1$, donc $522=2\times 3^2\times 29$.

💡 Astuce mémo

On divise par le plus petit facteur premier possible, puis on recommence sur le quotient jusqu’à obtenir 1.

📊 Tableaux de synthèse

Division vs multiplication par l’inverse

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Multiplier des fractions sans simplifier au préalable peut rendre la réduction finale difficile, comme dans l’exemple $\frac{12}{7}\times\frac{63}{54}$.
2. Confondre l’inverse : pour $\frac{a}{b}$, l’inverse est $\frac{b}{a}$ (on échange numérateur et dénominateur).
3. Oublier la condition de non-nullité : diviser par $0$ ou utiliser un inverse de $0$ n’est pas autorisé.
4. Croire que $1$ ou $0$ sont premiers : $1$ a un seul diviseur et $0$ en a une infinité.
5. Dire qu’un nombre premier pair peut être autre que $2 : tous les pairs sont divisibles par$2$.
6. Se tromper dans la liste <100 en oubliant que la liste contient exactement 25 nombres et qu’elle ne comporte pas de pairs sauf $2$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir appliquer la règle $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$ et choisir quand simplifier avant de multiplier.
2. Savoir calculer une fraction d’une quantité : multiplier la quantité par la fraction, et convertir un pourcentage en fraction de dénominateur 100.
3. Savoir déterminer l’inverse d’un nombre $a$ (donner $\frac{1}{a}$) et l’inverse d’une fraction $\frac{a}{b}$ (donner $\frac{b}{a}$).
4. Savoir transformer une division en multiplication par l’inverse : $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.
5. Savoir reconnaître un nombre premier via la condition des deux diviseurs distincts et traiter les cas particuliers $0$ et $1$.
6. Connaître la liste des 25 nombres premiers strictement inférieurs à $100$ donnée dans le cours.
7. Savoir décomposer un entier $\ge 2$ en produit de facteurs premiers et suivre la méthode de tests de divisibilité jusqu’à obtenir un quotient égal à 1.