QCM : Introduction aux probabilités et géométrie dans l'espace — 14 questions

Question 1

1. Lorsque des événements forment une partition de l’univers, quelle expression permet de calculer la probabilité d’un événement B ?

La différence entre les probabilités de B et de A_i

La probabilité de B multipliée par celle de l’un des A_i

La somme des probabilités des intersections A_i ∩ B

Le produit des probabilités des événements A_i

Explication

La formule des probabilités totales exprime P(B) comme la somme des contributions P(A_i ∩ B) lorsque les A_i forment une partition. On additionne donc les chemins possibles menant à B.

Answer

La somme des probabilités des intersections A_i ∩ B

Question 2

2. Quelle condition est indispensable pour appliquer la formule des probabilités totales telle qu’elle est présentée ici ?

Les événements doivent tous être indépendants

Les événements doivent former une partition de l’univers

Les événements doivent être deux à deux égaux

Les événements doivent avoir la même probabilité

Explication

La formule repose sur une partition de l’univers, c’est-à-dire des événements qui couvrent tout l’univers sans chevauchement. L’indépendance n’est pas requise ici.

Answer

Les événements doivent former une partition de l’univers

Question 3

3. Comment s’écrit la probabilité conditionnelle de B sachant A ?

P(B) × P(A)

P(A) / P(B ∩ A)

P(A ∩ B) / P(A)

P(A ∪ B) / P(A)

Explication

La probabilité conditionnelle vérifie P(B|A)=P(A ∩ B)/P(A), à condition que P(A) soit non nul. Elle mesure B dans le contexte où A est réalisé.

Answer

P(A ∩ B) / P(A)

Question 4

4. Dans le calcul de P(B|A), quel rôle joue l’événement A ?

Il fournit le contexte dans lequel on évalue B

Il oblige à additionner les probabilités de A et de B

Il impose que A et B soient indépendants

Il remplace l’événement B dans le numérateur

Explication

Dans une probabilité conditionnelle, A est l’information connue, donc le contexte d’évaluation de B. Le calcul se fait à partir de l’intersection et du rapport à P(A).

Answer

Il fournit le contexte dans lequel on évalue B

Question 5

5. Dans quel cas une variable suit-elle une loi binomiale ?

Lorsque les résultats dépendent des essais précédents

Lorsque la variable prend plusieurs valeurs continues

Lorsque l’on répète une expérience un nombre fixé de fois avec indépendance et deux issues

Lorsque les issues sont simplement successives sans condition particulière

Explication

Une loi binomiale nécessite un nombre fixe d’épreuves, l’indépendance et deux issues possibles : succès ou échec. La dépendance entre essais exclut ce cadre.

Answer

Lorsque l’on répète une expérience un nombre fixé de fois avec indépendance et deux issues

Question 6

6. Quelle formule donne l’espérance d’une variable suivant une loi binomiale ?

E(X)=n-p

E(X)=p/n

E(X)=np

E(X)=n+p

Explication

L’espérance d’une variable binomiale est égale à n multiplié par p. C’est une formule essentielle à connaître pour ce modèle.

Answer

((x_A+x_B)/2,(y_A+y_B)/2,(z_A+z_B)/2)

Answer

x=x_A+at, y=y_A+bt, z=z_A+ct avec t réel

Answer

f est croissante si f' est positive et décroissante si f' est négative

Answer

f continue et strictement monotone sur [a;b], avec f(a) et f(b) de signes contraires

Answer

Un signe positif de f''(x)

Answer

f''(x)=0 avec changement de signe de f''

Answer

Initialisation, hérédité, conclusion

Question 7

7. Quelles sont les coordonnées du milieu du segment reliant A(x_A,y_A,z_A) à B(x_B,y_B,z_B) ?

(x_A+x_B,y_A+y_B,z_A+z_B)

((x_A+x_B)/2,(y_A+y_B)/2,(z_A+z_B)/2)

((x_A-x_B)/2,(y_A-y_B)/2,(z_A-z_B)/2)

(x_A/2,y_A/2,z_A/2)

Explication

Le milieu s’obtient en faisant la moyenne des coordonnées correspondantes des deux extrémités. C’est exactement la formule donnée pour le point central du segment.

Question 8

8. Comment écrire la droite passant par A(x_A,y_A,z_A) et de vecteur directeur u(a,b,c) ?

x=x_A+at, y=y_A+bt, z=z_A+ct avec t réel

x=x_At+a, y=y_At+b, z=z_At+c

x=at, y=bt, z=ct avec t réel

x=x_A+a, y=y_A+b, z=z_A+c

Explication

Une droite paramétrée s’écrit à partir d’un point et d’un vecteur directeur, avec un paramètre réel t. Les coordonnées évoluent donc sous la forme point + t fois le vecteur directeur.

Question 9

9. Que signifie le signe de la dérivée f' sur un intervalle ?

f est toujours croissante si f' existe

f est constante dès que f' est non nul

f est décroissante si f' est positive et croissante si f' est négative

f est croissante si f' est positive et décroissante si f' est négative

Explication

Le signe de f' indique le sens de variation : positif pour une fonction croissante, négatif pour une fonction décroissante. C’est le principe du tableau de variations.

Question 10

10. Quelles hypothèses permettent d’assurer, ici, qu’une équation f(x)=0 admet une unique solution sur [a;b] ?

f continue et strictement monotone sur [a;b], avec f(a) et f(b) de signes contraires

f discontinue sur [a;b], avec f(a) et f(b) opposés

f dérivable et paire sur [a;b], avec f(a)=f(b)

f croissante sans condition de continuité, avec f(a)=f(b)

Explication

Le TVI exige la continuité, et la stricte monotonie garantit l’unicité de la solution. Si f(a) et f(b) sont de signes contraires, on obtient l’existence d’un zéro sur l’intervalle.

Question 11

11. Quel signe de la dérivée seconde permet d’affirmer qu’une courbe est convexe sur un intervalle ?

Un signe négatif de f''(x)

Un signe positif de f''(x)

Une dérivée seconde discontinue

Une dérivée première nulle

Explication

Si f''(x)>0, la courbe est convexe sur l’intervalle. Un signe négatif de f''(x) correspond au contraire à une courbe concave.

Question 12

12. Quelle condition caractérise un point d’inflexion ?

la fonction admet une asymptote verticale

f''(x)=0 avec changement de signe de f''

f'(x)=0 sans variation de signe

f''(x)>0 sur tout l’intervalle

Explication

Un point d’inflexion est repéré lorsque f''(x) s’annule et change de signe, ce qui traduit un changement de courbure. Le simple fait que f''(x)=0 ne suffit pas.

Question 13

13. Dans une récurrence, quel est l’ordre correct des étapes de preuve ?

Initialisation, hérédité, conclusion

Initialisation, conclusion, hérédité

Hérédité, initialisation, conclusion

Conclusion, initialisation, hérédité

Explication

Une preuve par récurrence commence par l’initialisation, se poursuit par l’hérédité, puis se termine par la conclusion. Cet enchaînement est indispensable pour établir la propriété pour tous les rangs.

Question 14

14. Quelle est la limite de la suite q^n lorsque -1 < q < 1 ?

0

+infty

-1

q

Explication

Quand la valeur absolue de q est inférieure à 1, la suite q^n tend vers 0. En revanche, si q>1, la suite diverge vers +∞.

QCM : Introduction aux probabilités et géométrie dans l'espace — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Lorsque des événements forment une partition de l’univers, quelle expression permet de calculer la probabilité d’un événement B ?

2. Quelle condition est indispensable pour appliquer la formule des probabilités totales telle qu’elle est présentée ici ?

3. Comment s’écrit la probabilité conditionnelle de B sachant A ?

4. Dans le calcul de P(B|A), quel rôle joue l’événement A ?

5. Dans quel cas une variable suit-elle une loi binomiale ?

6. Quelle formule donne l’espérance d’une variable suivant une loi binomiale ?

7. Quelles sont les coordonnées du milieu du segment reliant A(x_A,y_A,z_A) à B(x_B,y_B,z_B) ?

8. Comment écrire la droite passant par A(x_A,y_A,z_A) et de vecteur directeur u(a,b,c) ?

9. Que signifie le signe de la dérivée f' sur un intervalle ?

10. Quelles hypothèses permettent d’assurer, ici, qu’une équation f(x)=0 admet une unique solution sur [a;b] ?

11. Quel signe de la dérivée seconde permet d’affirmer qu’une courbe est convexe sur un intervalle ?

12. Quelle condition caractérise un point d’inflexion ?

13. Dans une récurrence, quel est l’ordre correct des étapes de preuve ?

14. Quelle est la limite de la suite q^n lorsque -1 < q < 1 ?

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