Suite numérique : AUTEUR (non précisé) : une suite numérique est une fonction u de N dans R, définie à partir d’un certain rang n₀. Elle associe à chaque entier naturel n un réel uₙ, à partir d’un rang initial n₀.
Terme de rang : Le terme uₙ d’une suite est l’image de l’entier n par la fonction u, c’est-à-dire le terme correspondant à l’indice n dans la suite.
Terme général : Le terme général uₙ désigne la valeur de la suite associée à l’entier n, c’est l’image de n par la fonction u.
Domaine de définition : La suite est définie pour tous les entiers n à partir d’un certain rang n₀, c’est-à-dire n ≥ n₀.
Notation de suite : La suite peut être notée (uₙ), (uₙ)ₙ≥n₀ ou n ↦ uₙ, ce qui indique qu’elle est une fonction de N vers R, avec un domaine de définition à partir de n₀.
Rang initial : Le rang initial n₀ est le premier entier à partir duquel la suite est définie. Par exemple, une suite (vₙ) définie à partir de n=11 commence à n=11, et non à 0.
Une suite numérique est une fonction définie de N dans R à partir d’un certain rang n₀. Elle est notée de différentes manières : (uₙ), (uₙ)ₙ≥n₀ ou n ↦ uₙ, ce qui indique la relation entre l’indice n et le terme correspondant uₙ.
Le terme général uₙ correspond à l’image de l’entier n par la fonction u. Le terme qui précède uₙ est uₙ₋₁, celui qui le suit est uₙ₊₁.
La suite est entièrement caractérisée par sa définition à partir d’un rang initial n₀, et par la règle qui associe chaque n à uₙ.
Une suite numérique est une fonction discrète de N dans R, avec un domaine de définition à partir d’un certain rang, et une notation précise permettant d’identifier chaque terme par son rang.
Représentation sur axe gradué : La suite peut être représentée en plaçant ses premiers termes sur un axe gradué. Chaque terme uₙ est associé à une position sur cet axe en fonction de son rang n, permettant une lecture visuelle de l'évolution de la suite.
Nuage de points : Dans un plan, on place chaque terme de la suite sous forme d’un point de coordonnées (n ; uₙ). L’ensemble de ces points forme un nuage, facilitant l’analyse du comportement global de la suite.
Repère du plan : Il s’agit d’un système de coordonnées (x ; y) dans lequel on positionne les points (n ; uₙ). Ce repère permet de visualiser graphiquement la suite en traçant ses points dans le plan.
Coordonnées (n ; uₙ) : Ce sont les valeurs qui indiquent la position d’un point dans le plan, où n est le rang du terme dans la suite et uₙ sa valeur correspondante.
Premiers termes graphiques : La représentation graphique consiste à placer sur un axe ou dans un plan les premiers termes de la suite, permettant d’observer rapidement son comportement initial.
La suite peut être représentée sur un axe gradué en plaçant les premiers termes. Cela consiste à positionner chaque uₙ sur un axe en fonction de n, ce qui facilite la lecture visuelle de l’évolution de la suite.
Dans un plan, on place les points de coordonnées (n ; uₙ) pour visualiser la suite. Ces points forment un nuage, permettant d’observer la tendance ou la dispersion des termes.
La représentation graphique permet de lire visuellement les termes de la suite, en repérant par exemple des tendances ou des oscillations à partir des points placés.
Visualiser la suite numérique comme une série de points discrets dans un plan permet d’appréhender plus facilement son comportement global.
Relation explicite : Une relation qui donne directement le terme général uₙ en fonction de n, permettant de calculer n’importe quel terme sans connaître les précédents.
Relation de récurrence : Une relation qui définit chaque terme uₙ₊₁ en fonction des termes précédents, généralement avec un terme initial, nécessitant un calcul itératif.
Terme initial : Le premier terme d’une suite, souvent noté u₀ ou u₁, qui sert de point de départ pour la définition par récurrence.
Fonction associée à la suite : La fonction f(n) ou f(x) qui permet de définir explicitement uₙ en fonction de n, ou d’étudier la croissance de la suite.
Suite récurrente : Une suite définie par une relation de récurrence avec un terme initial, où chaque terme est déterminé à partir des termes précédents.
Une suite peut être définie explicitement par une formule donnant directement uₙ en fonction de n, par exemple uₙ = n² + 2n - 1. Cette relation explicite permet un calcul direct de n’importe quel terme de la suite, sans avoir besoin de connaître les termes précédents.
Une suite peut également être définie par récurrence, avec un terme initial (par exemple u₀ ou u₁) et une relation exprimant uₙ₊₁ en fonction de uₙ ou d’autres termes antérieurs. Par exemple, si uₙ = 2uₙ₋₁ + 3, on doit connaître u₀ pour calculer tous les autres termes.
La relation explicite est utile pour calculer rapidement un terme précis, tandis que la relation de récurrence nécessite un calcul itératif, en partant du terme initial et en utilisant la relation pour obtenir le suivant.
La relation de récurrence permet aussi d’étudier la croissance ou la décroissance de la suite en analysant la différence uₙ₊₁ - uₙ ou le rapport uₙ₊₁ / uₙ, selon le cas.
Différencier la relation explicite de la relation de récurrence est essentiel pour choisir la méthode d’étude adaptée à la suite, que ce soit pour un calcul direct ou pour une étude de croissance.
Formule explicite : La formule explicite d’une suite est une expression mathématique qui donne directement le terme général en fonction de l’indice n, sans faire appel aux termes précédents. Elle s’écrit sous la forme uₙ = f(n), où f est une fonction définie sur un intervalle adapté, généralement [0 ; +∞[.
Calcul direct du terme : La formule explicite permet de déterminer immédiatement n’importe quel terme de la suite en remplaçant simplement n par la valeur souhaitée dans la formule, sans avoir besoin de calculer tous les termes antérieurs.
Fonction f définissant la suite : La fonction f est la règle qui associe à chaque entier n le terme uₙ. La suite est dite explicite si chaque terme peut être obtenu par cette fonction sans dépendre des autres termes.
Maîtriser la formule explicite permet d’accéder rapidement et directement à n’importe quel terme de la suite, simplifiant ainsi son calcul et son analyse.
Relation de récurrence : voir section 3
Terme initial : voir section 3
Suite récurrente associée à une fonction : Une suite (uₙ) est dite récurrente si elle est définie par un terme initial u₀ et une relation uₙ₊₁ = f(uₙ), où f est une fonction sur un intervalle donné.
La suite est définie par un terme initial u₀ et une relation uₙ₊₁ = f(uₙ). Chaque terme dépend du ou des termes précédents, ce qui nécessite un calcul itératif pour obtenir les termes suivants. Par exemple, si u₀ = 3 et uₙ₊₁ = uₙ - 5, alors :
Dans un cas plus général, si f est une fonction définie sur un intervalle I, la suite (uₙ) est définie par :
Par exemple, avec f(x) = √(x + 3) et u₀ = -2, on calcule :
Comprendre la dynamique d’une suite définie par récurrence revient à percevoir ce processus comme un calcul itératif lié à une fonction, où chaque terme est obtenu en appliquant cette fonction au terme précédent. La représentation graphique permet d’illustrer cette progression.
| Critère | Relation explicite | Relation de récurrence |
|---|---|---|
| Définition | Expression directe uₙ = f(n) | Définition par une formule uₙ₊₁ = f(uₙ) + u₀ |
| Calcul du terme | Direct, sans dépendance aux autres termes | Itératif, dépend des termes précédents |
| Exemple | uₙ = n² + 2n - 1 | uₙ₊₁ = 2uₙ + 3, avec u₀ donné |
| Utilité | Calcul rapide, étude du comportement global | Étude de croissance, décroissance, oscillations |
| Notation | uₙ = f(n) | uₙ₊₁ = f(uₙ) |
| Auteur / Notion clé | Concept |
|---|---|
| Non précisé | Suite numérique : fonction N → R, définie à partir d’un rang n₀ |
| Non précisé | Terme de rang : image de n par la fonction u |
| Non précisé | Termes général : valeur associée au rang n |
| Non précisé | Relation explicite : formule directe uₙ = f(n) |
| Non précisé | Relation de récurrence : uₙ₊₁ = f(uₙ) + u₀ |
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1. En quoi la relation explicite diffère-t-elle fondamentalement de la relation de récurrence dans la définition d'une suite numérique ?
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Suite numérique — définition ?
Fonction de N dans R à partir d’un rang n₀.
Représentation graphique — but ?
Visualiser l’évolution de la suite avec des points ou un nuage.
Mode de génération — relation explicite ?
Formule directe uₙ = f(n) pour calculer chaque terme.
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