Fiche de révision : Les Fonctions de Base en Mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Fonction affine : définition, coefficient directeur et cas particuliers
2. Calcul du coefficient directeur et expression algébrique d’une fonction affine à partir de points
3. Fonction carré : définition, représentation graphique et propriétés
4. Fonction inverse et fonctions rationnelles : définition, représentation graphique et ensemble de définition
5. Fonction cube : définition, représentation graphique et calculs d’images et antécédents
6. Fonction racine carrée : définition, domaine de définition et étude des intervalles

📖 1. Fonction affine : définition, coefficient directeur et cas particuliers

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition : Une fonction définie sur ℝ par une expression de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres réels.
• Fonction affine : Une fonction dont l'expression algébrique est f(x) = ax + b, avec a et b réels, et dont la représentation graphique est une droite.

📝 Points essentiels

• Le coefficient directeur a est donné par a = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) pour deux points distincts A et B sur la droite.
• Si a = 0, la fonction affine est constante : f(x) = b.
• Si b = 0, la fonction affine est linéaire : f(x) = ax.
• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
• Cas particuliers :
• Si a = 0 alors f(x) = b, la fonction est alors constante.
• Si b = 0 alors f(x) = ax, la fonction est alors linéaire.

💡 À retenir

La fonction affine est caractérisée par une expression linéaire f(x) = ax + b, où le coefficient directeur a détermine la pente de la droite et b l'ordonnée à l'origine, avec des cas particuliers constants ou linéaires selon la valeur de ces coefficients.

📖 2. Calcul du coefficient directeur et expression algébrique d’une fonction affine à partir de points

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur : nombre qui indique la pente d'une droite, calculé à partir de deux points distincts.
• Expression algébrique d’une fonction affine : formule représentant la droite sous forme y = ax + b, déterminée à partir de deux points ou du coefficient directeur et d’un point connu.

📝 Points essentiels

• Le coefficient directeur d'une fonction affine passant par deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) est a = (y_B - y_A) / (x_B - x_A).
• L’expression algébrique d’une fonction affine peut être déterminée en utilisant le coefficient directeur et un point connu, en remplaçant dans la formule y = ax + b pour trouver b.
• La fonction affine est entièrement déterminée par deux points distincts de son graphe, car ces deux points permettent de calculer le coefficient directeur et d’établir l’équation de la droite.

💡 À retenir

Maîtriser le calcul du coefficient directeur à partir de deux points permet de déterminer rapidement l’expression algébrique d’une fonction affine, qui est entièrement définie par ces deux points.

📖 3. Fonction carré : définition, représentation graphique et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction carré : Une fonction définie sur l'ensemble des nombres réels ℝ qui associe à chaque nombre réel x son carré, soit f(x) = x².

📝 Points essentiels

• La fonction carré est définie sur ℝ par f(x) = x².
• La représentation graphique de la fonction carré est une parabole symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• Pour tout réel x, x² ≥ 0, donc la parabole est située au-dessus de l'axe des abscisses.
• Un antécédent d'un nombre positif y par la fonction carré est ±√y.
• Définition : Dans un repère orthogonal, la représentation graphique de la fonction carré est appelée parabole. Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• 1. Donner la formule, l’intervalle de définition de la fonction carré.

1. Déterminer l’image de -2 ; -1 ; 0 ; 1 et 2 par la fonction carré.
2. Placer les images des points calculer plus haut puis tracer une représentation de la fonction carré.

💡 À retenir

La fonction carré se présente sous la forme d'une parabole symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, toujours positive ou nulle, ce qui permet d'identifier ses antécédents comme étant ±√y pour tout y ≥ 0.

📖 4. Fonction inverse et fonctions rationnelles : définition, représentation graphique et ensemble de définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction inverse : La fonction inverse est une fonction définie par f(x) = 1/x sur ℝ*, dont la représentation graphique est une hyperbole symétrique par rapport à l'origine.

📝 Points essentiels

• Les nombres x et 1/x ont le même signe, donc l'hyperbole est située au-dessous de l'axe des abscisses sur ] -∞ ; 0[ et au-dessus sur ]0 ; +∞[.
• Les fonctions rationnelles sont définies sur ℝ sauf aux valeurs annulant le dénominateur.
• L'ensemble de définition d'une fonction rationnelle f(x) = P(x)/Q(x) est ℝ privé des racines de Q(x).
• Définition : Dans un repère orthogonal, la représentation graphique de la fonction inverse est appelée hyperbole. Elle est symétrique par rapport à l’origine du repère.

💡 À retenir

Les fonctions inverses et rationnelles possèdent des représentations graphiques caractéristiques et leurs domaines sont restreints par la non-nullité du dénominateur ou la positivité des expressions sous racine.

📖 5. Fonction cube : définition, représentation graphique et calculs d’images et antécédents

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition : Description précise de la nature d'une notion ou d'une fonction, fondée uniquement sur le contenu source.
• Fonction cube : Fonction définie sur l'ensemble des nombres réels ℝ par l'expression f(x) = x³, associant à chaque réel son cube.
• Représentation graphique de la fonction : Illustration visuelle d'une fonction dans un repère, montrant la relation entre les valeurs de x et leurs images f(x), ici avec une symétrie centrale et la correspondance des signes entre x et x³.

📝 Points essentiels

• La représentation graphique de la fonction cube est symétrique par rapport à l'origine du repère.
• Pour tout réel x, x et x³ ont le même signe.
• Un antécédent d'un nombre y par la fonction cube est la racine cubique de y.
• Exemple : f(2) = 2² = 4 l’image de 2 par la fonction f est 4 Un antécédent de 4 par la fonction f est 2.

💡 À retenir

La fonction cube établit une correspondance bijective entre ℝ et ses images, avec une symétrie centrale dans sa représentation graphique.

📖 6. Fonction racine carrée : définition, domaine de définition et étude des intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction racine carrée : Fonction qui associe à chaque nombre réel x supérieur ou égal à zéro la valeur positive dont le carré est égal à x, notée √x.
• Fonction définie : F(x) = 1/u(x).
• Définition : La fonction x → √ax + b est définie si et seulement si ax + b ≥ 0.

📝 Points essentiels

• La fonction x → √(ax + b) est définie si et seulement si ax + b ≥ 0.
• L'étude du signe de l'expression sous la racine permet de déterminer l'ensemble de définition de la fonction racine carrée composée.
• La fonction f est définie sur ℝ telle que u(x) ≠ 0.

💡 À retenir

Identifier précisément le domaine de définition des fonctions racine carrée et de leurs variantes nécessite l'étude rigoureuse des inégalités associées à l'expression sous la racine.

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des fonctions

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la pente a avec l'ordonnée à l'origine b dans une fonction affine.
2. Oublier que la fonction carré n'est pas définie pour les nombres négatifs.
3. Confondre la représentation graphique de la fonction inverse avec celle de la fonction inverse elle-même.
4. Ne pas vérifier le domaine de définition pour la fonction racine carrée.
5. Confondre la symétrie de la fonction cube avec celle de la fonction carré.
6. Oublier que la fonction affine peut être constante si a=0.
7. Mélanger les antécédents et images dans la fonction cube.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir une fonction affine et calculer son coefficient directeur.
2. Savoir déterminer l'expression algébrique d'une fonction affine à partir de deux points.
3. Reconnaître la représentation graphique d'une fonction carré.
4. Comprendre la notion de domaine de définition pour une fonction racine carrée.
5. Différencier une fonction affine d'une fonction quadratique.
6. Calculer l'image et l'antécédent d'une valeur pour la fonction cube.
7. Identifier la forme de la représentation graphique d'une fonction inverse.
8. Étudier le signe de l'expression sous la racine pour définir le domaine.