Fiche de révision : Les fonctions : représentations et lecture

📋 Plan du Cours

1. Définition des fonctions
2. Représentation tableau
3. Lecture tableau
4. Représentation graphique
5. Lecture graphique
6. Expression algébrique
7. Calcul image algébrique
8. Notion d’antécédent et d’image

📖 1. Définition des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Objet mathématique qui associe à chaque nombre x un unique nombre y. Notée f(x) = y, ce qui se lit "f de x égal y".
• Image : Le nombre y qui est associé à x par la fonction f, noté y = f(x).
• Antécédent : Le nombre x qui, par la fonction f, donne une image y, c’est-à-dire x est un antécédent de y par f.
• Remarque : Une image peut avoir plusieurs antécédents, mais un antécédent a une image unique.

📝 Points essentiels

• La fonction f est un objet mathématique associant à chaque x un seul y, noté f(x).
• La notation f(x) = y permet de lire "f de x égal y".
• La notion d’image (y) désigne le résultat de l’application de la fonction à x, tandis que l’antécédent (x) est le nombre initial qui, par la fonction, donne cette image.
• La propriété fondamentale : une image peut avoir plusieurs antécédents, mais chaque antécédent ne peut avoir qu’une seule image.

💡 À retenir

Une fonction associe à chaque antécédent un unique image, mais une image peut correspondre à plusieurs antécédents.

📖 2. Représentation tableau

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation sous forme de tableau : Dispositif consistant à représenter une fonction par deux lignes de valeurs, la première pour les antécédents $x$, la seconde pour leurs images $f(x)$. Exemple : un tableau associant chaque antécédent à son image, comme illustré dans le contenu source.

• Antécédent : Dans un tableau, un nombre $x$ situé dans la première ligne, associé à une image $f(x)$ dans la seconde ligne. Exemple : si $g(2) = -3$, alors 2 est un antécédent de -3.

• Image : La valeur $y$ dans la seconde ligne du tableau, associée à un antécédent $x$. Exemple : dans le tableau, si $g(2) = -3$, alors -3 est l’image de 2.

• Lecture dans un tableau : Méthode permettant de retrouver l’image correspondant à un antécédent en cherchant dans la première ligne, ou inversement, en identifiant les antécédents d’une image donnée dans la seconde ligne.

• Limitation du tableau : Un tableau ne donne que les valeurs explicitement présentes, sans fournir d’informations continues ou de l’ensemble complet des antécédents ou images possibles.

📝 Points essentiels

• La représentation par tableau est une représentation discrète, ne donnant que les valeurs spécifiques présentes dans le tableau, contrairement à une représentation continue ou graphique.
• La lecture d’un tableau permet d’identifier rapidement l’image d’un antécédent ou les antécédents d’une image, mais ne fournit pas d’informations sur les valeurs non listées.
• La méthode de lecture consiste à repérer la valeur dans la ligne des antécédents pour obtenir l’image correspondante, ou inversement, à partir d’une image pour retrouver ses antécédents.
• La représentation sous forme de tableau est particulièrement utile pour visualiser rapidement les relations entre antécédents et images dans un contexte discret.

💡 À retenir

La représentation par tableau associe de manière discrète des antécédents à leurs images, permettant une lecture simple mais limitée aux valeurs explicitement listées.

📖 3. Lecture tableau

🔑 Notions clés & Définitions

• Lecture d’une image dans un tableau : consiste à identifier la valeur de f(x) correspondant à un antécédent x donné en se référant à la première ligne (antécédents) et à la seconde ligne (images) d’un tableau.
• Lecture d’un ou plusieurs antécédents dans un tableau : consiste à déterminer x tels que f(x) = y donné, en repérant dans la première ligne du tableau les valeurs x associées à une image y spécifique dans la seconde ligne.
• Limitation du tableau : un tableau ne fournit que les valeurs présentes dans ses lignes, sans indication sur la continuité ou la fonction dans un intervalle.

📝 Points essentiels

• La lecture d’une image dans un tableau se fait en repérant la valeur de la seconde ligne (f(x)) lorsque l’antécédent x est connu. Par exemple, si x est donné, on trouve f(x) en cherchant dans la première ligne, puis en lisant la valeur correspondante dans la seconde ligne.
• La lecture d’un antécédent pour une image y consiste à rechercher dans la seconde ligne la valeur y, puis à identifier dans la première ligne l’antécédent x associé.
• Un tableau ne donne que les valeurs discrètes présentes, il ne permet pas d’obtenir des informations sur la continuité ou la forme de la fonction entre ces points.
• La méthode pour lire une image : placer x sur l’axe des abscisses, puis lire la valeur correspondante de f(x) dans le tableau.
• La méthode pour lire un ou plusieurs antécédents : rechercher y dans la seconde ligne, puis lire les x correspondants dans la première ligne.

💡 À retenir

La lecture dans un tableau consiste à repérer, parmi les valeurs discrètes, la correspondance entre antécédents et images, en se limitant aux valeurs présentes dans le tableau sans information sur la continuité.

📖 4. Représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthogonal : Système de coordonnées dans un plan constitué de deux axes perpendiculaires, l’axe des abscisses (horizontal) et l’axe des ordonnées (vertical), permettant de localiser un point par ses coordonnées (x ; y).
  (source : séquence 7)

• Représentation graphique d’une fonction : Ensemble de tous les points M de coordonnées (x ; f(x)) où x appartient à l’ensemble de définition, formant une courbe dans le repère orthogonal.
  (source : séquence 7)

• Tracer la courbe représentative à partir d’un tableau de valeurs : Méthode consistant à calculer des couples (x, f(x)) à partir d’un tableau, puis à placer ces points dans le repère orthogonal pour tracer la courbe.
  (source : séquence 7)

📝 Points essentiels

• La représentation graphique d’une fonction repose sur un repère orthogonal où l’axe des abscisses est horizontal et celui des ordonnées vertical.
• La courbe représentative est l’ensemble des points M(x ; f(x)) correspondant aux couples issus du tableau de valeurs.
• La méthode pour tracer cette courbe consiste à :
  1. Calculer un tableau de valeurs de la fonction sur un intervalle donné.
  2. Placer chaque point (x, f(x)) dans le repère.
  3. Relier ces points pour obtenir la courbe.
• La lecture graphique permet de déterminer l’image f(x) en plaçant x sur l’axe des abscisses, puis en montant jusqu’à la courbe, et enfin en lisant la valeur sur l’axe des ordonnées.
• Inversement, pour trouver un antécédent y, on place y sur l’axe des ordonnées, puis on se déplace horizontalement jusqu’à la courbe, et on lit l’abscisse correspondante.
• La méthode de tracé d’une courbe à partir d’un tableau de valeurs est essentielle pour visualiser la fonction et analyser ses variations.
  (source : séquence 7)

💡 À retenir

La représentation graphique d’une fonction dans un repère orthogonal permet de visualiser ses valeurs et ses variations, facilitant ainsi l’analyse de ses propriétés. La méthode consiste à tracer une courbe à partir d’un tableau de valeurs, en utilisant la localisation précise des points dans le plan.

📖 5. Lecture graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode pour lire une image sur un graphique : placer x sur l’axe des abscisses, monter verticalement jusqu’à la courbe, puis lire l’ordonnée correspondante.
• Méthode pour lire un ou plusieurs antécédents sur un graphique : placer y sur l’axe des ordonnées, aller horizontalement jusqu’à la courbe, puis lire les abscisses correspondantes.
• Représentation graphique d’une fonction : l’ensemble des points M de coordonnées (x ; f(x)) dans un repère orthogonal, permettant de visualiser la relation entre antécédents et images (voir section 4).
• Repère orthogonal : système de coordonnées avec un axe horizontal (abscisses) et un axe vertical (ordonnées), utilisé pour localiser graphiquement une fonction (voir section 4).
• Lecture d’une image : méthode consistant à déterminer f(x) en plaçant x sur l’axe des abscisses, puis en remontant jusqu’à la courbe pour lire l’ordonnée.
• Lecture d’un antécédent : méthode consistant à placer y sur l’axe des ordonnées, puis en allant horizontalement jusqu’à la courbe pour lire l’abscisse correspondante.

📝 Points essentiels

• La lecture graphique d’une fonction repose sur deux méthodes principales : pour lire une image, on place x sur l’axe des abscisses, puis on monte verticalement jusqu’à la courbe, et enfin on lit l’ordonnée.
• Pour lire un ou plusieurs antécédents, on place y sur l’axe des ordonnées, puis on se déplace horizontalement jusqu’à la courbe, et on lit l’abscisse correspondante.
• La représentation graphique permet de visualiser la relation entre antécédents et images via l’ensemble des points (voir section 4).
• La méthode est illustrée par l’exemple de la fonction f(x) = 0.75x² − 2x − 2, où l’on construit un tableau de valeurs, puis une courbe dans un repère orthogonal (voir section 4).
• La lecture graphique est limitée à la zone représentée par la courbe, ne donnant pas d’informations sur l’ensemble du domaine ou de l’image si la courbe n’est pas complète.
• La méthode pour lire une image ou un antécédent est essentielle pour comprendre la relation fonctionnelle sans recourir à une expression algébrique (voir section 4).

💡 À retenir

La lecture graphique d’une fonction consiste à localiser un point sur la courbe en utilisant les axes, permettant d’identifier rapidement une image ou un antécédent selon la méthode appropriée.

📖 6. Expression algébrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule littérale d’une fonction : Une expression algébrique qui donne la relation entre l’image $f(x)$ et l’antécédent $x$, permettant de calculer $f(x)$ pour toute valeur de $x$.
• Calcul d’une image algébrique : La méthode consistant à remplacer la variable $x$ dans la formule de la fonction par une valeur numérique donnée pour obtenir l’image correspondante.
• Exemples de calculs d’images à partir d’expressions algébriques : Illustrations concrètes où, en remplaçant $x$ par une valeur spécifique dans la formule, on détermine la valeur de $f(x)$.

📝 Points essentiels

• La formule littérale d’une fonction est une expression algébrique qui exprime $f(x)$ en fonction de $x$. Elle permet de déterminer l’image de n’importe quel antécédent $x$ en remplaçant simplement $x$ par la valeur souhaitée.
• Le calcul d’une image algébrique repose sur la substitution de la valeur de $x$ dans la formule de la fonction, ce qui donne directement la valeur de $f(x)$.
• Les exemples concrets illustrent cette méthode : par exemple, si $f(x) = 3x + 4$, alors pour $x=0$, $f(0) = 3 \times 0 + 4 = 4$. Si $g(x) = 2x^2 - 3x + 7$, alors pour $x=-2$, $g(-2) = 2 \times (-2)^2 - 3 \times (-2) + 7 = 8 + 6 + 7 = 21$.
• La méthode consiste à remplacer la variable $x$ dans la formule par la valeur numérique donnée, puis à effectuer les opérations pour obtenir l’image.

💡 À retenir

L’expression algébrique d’une fonction permet de calculer rapidement l’image d’un antécédent en remplaçant $x$ par la valeur concernée dans la formule littérale.

📖 7. Calcul image algébrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode de substitution : Technique consistant à remplacer la variable x par une valeur numérique dans l’expression de la fonction f(x) pour obtenir l’image correspondante.
• Calcul d’image : Opération consistant à déterminer la valeur numérique f(x) pour une valeur donnée de x en remplaçant x dans l’expression de f(x).
• Exemples concrets : Illustrations pratiques où l’on remplace x par différentes valeurs dans l’expression de f(x) pour obtenir leurs images numériques.
• Utilisation de la formule : Application directe de l’expression algébrique de la fonction en remplaçant x par la valeur souhaitée pour calculer l’image.

📝 Points essentiels

• La méthode de calcul d’image algébrique repose sur la substitution de la valeur de x dans l’expression de f(x).
• Pour obtenir l’image numérique d’un nombre x, il suffit de remplacer x par cette valeur dans la formule de f(x).
• Exemple : si f(x) = 3x + 4, alors pour x = -5, f(-5) = 3×(-5) + 4 = -15 + 4 = -11.
• La substitution permet d’obtenir rapidement l’image correspondante sans passer par la représentation graphique ou tableau.
• La méthode est efficace pour réaliser des calculs précis et rapides, notamment avec l’aide d’une calculatrice pour des expressions complexes.

💡 À retenir

La méthode de calcul d’image algébrique consiste à remplacer la variable x par une valeur donnée dans l’expression de la fonction, permettant d’obtenir rapidement l’image numérique correspondante.

📖 8. Notion d’antécédent et d’image

🔑 Notions clés & Définitions

• Image : Si y = f(x), alors y est l’image de x par la fonction f.
• Antécédent : Si y = f(x), alors x est un antécédent de y par la fonction f.
• Relation entre images et antécédents : une image peut avoir plusieurs antécédents, mais un antécédent a une image unique (voir section 1).
• Définition de l’image (source) : y = f(x) est l’image de x.
• Définition de l’antécédent (source) : x est un antécédent de y par la fonction f.

📝 Points essentiels

• La notion d’image concerne le résultat obtenu en appliquant la fonction à un antécédent x, donnant y = f(x).
• Un antécédent x est un nombre pour lequel la fonction f associe une image y, c’est-à-dire que f(x) = y.
• La relation entre images et antécédents est asymétrique : une image peut correspondre à plusieurs antécédents, mais chaque antécédent a une image unique (voir section 1).
• La compréhension de ces concepts est essentielle pour analyser le comportement d’une fonction, notamment lors de la lecture de tableaux ou de représentations graphiques.

💡 À retenir

L’image est le résultat de l’application d’une fonction à un antécédent, et un même résultat peut provenir de plusieurs antécédents, tandis qu’un antécédent a une seule image.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre image et antécédent : une image peut avoir plusieurs antécédents, mais pas l'inverse.
2. Interpréter à tort un tableau comme une représentation continue, alors qu'il est discret.
3. Oublier que la lecture graphique nécessite de se déplacer horizontalement ou verticalement selon le cas.
4. Confondre la notation f(x) avec une simple paire de coordonnées.
5. Supposer qu’un tableau ou une courbe donne toutes les valeurs possibles, alors qu’il ne montre que celles explicitement données.
6. Confondre la lecture d’un graphique pour une valeur x avec celle pour une valeur y (inversement).
7. Omettre de vérifier l’ensemble de définition lors de la lecture ou du tracé.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition précise d’une fonction selon Perroux.
2. Savoir représenter une fonction sous forme de tableau et lire ses valeurs.
3. Maîtriser la lecture d’une image ou d’un antécédent dans un tableau.
4. Savoir tracer la courbe représentative d’une fonction à partir d’un tableau de valeurs.
5. Comprendre le système de repère orthogonal et ses axes.
6. Savoir lire une image sur un graphique en plaçant x et en lisant y.
7. Savoir retrouver un ou plusieurs antécédents à partir d’un graphique.
8. Être capable d’identifier la relation entre points (x, f(x)) et leur représentation graphique.
9. Maîtriser la notion d’image et d’antécédent, en respectant la propriété qu’un antécédent a une seule image.
10. Connaître la différence entre représentation discrète (tableau) et continue (graphique).
11. Savoir utiliser la méthode pour tracer une courbe à partir d’un tableau de valeurs.
12. Vérifier l’ensemble de définition lors de la lecture ou du tracé.