Fiche de révision : Les propriétés fondamentales des fonctions continues

📋 Plan du Cours

1. Définition de la continuité en un point
2. Continuité sur un intervalle
3. Prolongement par continuité
4. Opérations sur fonctions continues
5. Composition de fonctions continues
6. Théorème des valeurs intermédiaires
7. Image d’un intervalle par une fonction continue
8. Théorème des bornes atteintes
9. Fonctions monotones et bijections

📖 1. Définition de la continuité en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point (définie par Tsi (date)) : Soit f : I → R une fonction et a ∈ I. f est continue en a si et seulement si lim x→a f(x) = f(a). La limite doit exister et être égale à la valeur de la fonction en a.

• Continuité à gauche et à droite (définie par Tsi (date)) : f est continue en a si lim x→a+ f(x) = lim x→a− f(x) = f(a). La continuité en un point peut être décomposée en ces deux limites unilatérales.

• Discontinuité en un point (définie par Tsi (date)) : f n'est pas continue en a si la limite en a n'existe pas ou si elle existe mais n'est pas égale à f(a). Exemple : la fonction partie entière ⌊x⌋ est discontinue en tous les entiers.

• Prolongement par continuité (définie par Tsi (date)) : Si lim x→a f(x) = ℓ ∈ R, alors la fonction ˜f, définie par ˜f(x) = f(x) si x ≠ a et ˜f(a) = ℓ, est appelée prolongement par continuité de f en a. Toute telle extension est continue en a.

• Exemple illustratif (défini par Tsi (date)) : La fonction sin(x)/x admet un prolongement par continuité en 0, où lim x→0 sin(x)/x = 1. La fonction prolongée est continue en 0 avec ˜f(0) = 1.

📝 Points essentiels

• La limite en un point doit exister et être égale à la valeur de la fonction en ce point pour que f soit continue en a.
• La continuité à gauche et à droite se vérifie via les limites unilatérales lim x→a− f(x) et lim x→a+ f(x). La continuité en a nécessite leur égalité et leur égalité avec f(a).
• La discontinuité peut être totale ou ponctuelle. La fonction partie entière ⌊x⌋ est un exemple classique de discontinuité en tous les entiers.
• Le prolongement par continuité permet d’étendre une fonction en un point où elle n’est pas définie, en utilisant la limite en ce point.
• La propriété que toutes les fonctions usuelles sont continues sauf en certains points (exemple : partie entière) est soulignée par Tsi (date).

💡 À retenir

La continuité en un point exige que la limite de la fonction en ce point existe et coïncide avec la valeur de la fonction. La notion de prolongement par continuité permet d’étendre la continuité à un point où la fonction n’est pas initialement définie, en utilisant la limite.

📖 2. Continuité sur un intervalle

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point (d'après Tsi 1 Lycée B. Franklin (date)) : Soit I un intervalle, a ∈ I, et f : I → R. La fonction f est dite continue en a si lim x→a f(x) = f(a). La limite doit exister et être égale à la valeur de la fonction en a.

• Continuité sur un intervalle (d'après Tsi 1 Lycée B. Franklin (date)) : f : I → R est continue sur I si elle est continue en chaque point a ∈ I. L'ensemble des fonctions continues sur I est noté C(I, R).

• Prolongement par continuité (d'après Tsi 1 Lycée B. Franklin (date)) : Si lim x→a f(x) = ℓ ∈ R pour une fonction f définie sur D \ {a}, alors la fonction ˜f définie par ˜f(x) = f(x) si x ≠ a et ˜f(a) = ℓ est appelée prolongement par continuité de f en a. Ce prolongement est toujours continu.

• Exemple illustratif : La fonction f(x) = 1/(1+e^{1/x}) est continue sur tout intervalle sauf en x=0, où la limite à gauche et à droite peut différer (exercice spécifique).

• Discontinuité : La fonction partie entière ⌊x⌋ est un exemple de fonction discontinue en tous les entiers, illustrant que la continuité n'est pas universelle.

📝 Points essentiels

• La continuité en un point a nécessite que lim x→a f(x) existe et soit égal à f(a). La limite doit donc être finie et cohérente avec la valeur de la fonction en a.

• La continuité sur un intervalle I implique que pour tout a ∈ I, f est continue en a. La notation C(I, R) désigne l'ensemble des fonctions continues sur I.

• La notion de prolongement par continuité permet d'étendre une fonction définie sur D \ {a} à un point a en lui attribuant la limite en a, assurant ainsi la continuité en ce point.

• La propriété que f : x ↦ sin(x)/x admet un prolongement par continuité en 0, avec ˜f(0) = 1, illustre comment une fonction discontinue en un point peut être "rattachée" pour devenir continue.

• La continuité est une propriété locale : une fonction peut être discontinue en certains points tout en étant continue ailleurs.

• La continuité sur un intervalle est une condition suffisante pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, qui affirme que f prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b).

• La continuité est stable par opérations : somme, produit, et composition avec une fonction continue (propositions 3 et 4). La composition f ◦ u est continue si u est continue et f est continue.

• La continuité implique que l'image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle (proposition 5).

• La propriété des bornes atteintes (théorème 3) stipule que pour une fonction continue sur [a, b], ses bornes sont atteintes en des points x_m et x_M.

• La bijection stricte et continue (théorème 4) garantit l'existence d'une inverse continue, notamment pour des fonctions monotones.

💡 À retenir

Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en chaque point de cet intervalle, ce qui permet d'appliquer des théorèmes fondamentaux comme celui des valeurs intermédiaires et des bornes atteintes, et de réaliser des prolongements pour assurer la continuité en certains points.

📖 3. Prolongement par continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Prolongement par continuité (Tsi 1 Lycée B. Franklin (date) : définition) : Soit f : D \ {a} → R une fonction telle que lim x→a f(x) = ℓ ∈ R. La fonction ˜f : x ↦ f(x) si x ≠ a, et ˜f(a) = ℓ, est appelée prolongement par continuité de f en a. Ce prolongement est continu si la limite existe et est finie, et la fonction ˜f est alors continue en a.

• Fonction continue en un point (Tsi 1 Lycée B. Franklin (date) : définition) : f est continue en a si lim x→a f(x) = f(a). Si cette limite n'existe pas ou n'est pas égale à f(a), f est discontinüe en a.

• Exemple de prolongement par continuité (Tsi 1 Lycée B. Franklin (date) : exemple) : La fonction f(x) = sin(x)/x admet un prolongement par continuité en 0, défini par ˜f(0) = 1, puisque lim x→0 sin(x)/x = 1.

• Contre-exemple (Tsi 1 Lycée B. Franklin (date) : proposition) : La fonction partie entière ⌊x⌋ possède une discontinuité en tous les points entiers, car la limite à gauche et à droite n'est pas la même que la valeur en le point.

• Opérations sur fonctions continues (Tsi 1 Lycée B. Franklin (date) : proposition) : Si f, g ∈ C(I, R), alors :

  • αf + βg ∈ C(I, R) pour tout α, β ∈ R,
  • f × g ∈ C(I, R),
  • si g ne s’annule pas sur I, alors f / g ∈ C(I, R).

📝 Points essentiels

• La limite lim x→a f(x) doit exister et être finie pour définir un prolongement par continuité en a.
• La fonction prolongée ˜f est continue en a si lim x→a f(x) = f(a). La continuité est préservée par cette opération.
• La fonction sin(x)/x est un exemple classique d’application du prolongement par continuité, permettant de définir la fonction en un point où elle n’est pas initialement définie.
• La partie entière ⌊x⌋ illustre un cas où le prolongement par continuité n’est pas possible en tous les points entiers, en raison de discontinuités.

💡 À retenir

Le prolongement par continuité permet d’étendre une fonction à un point où elle n’est pas initialement définie, en utilisant la limite de la fonction en ce point. Si cette limite existe, le prolongement est continu, ce qui facilite l’étude de la continuité et des limites.

📖 4. Opérations sur fonctions continues

🔑 Notions clés & Définitions

• Opérations sur fonctions continues (propriété) : Si $f, g \in C(I, R)$, alors :

  • $\alpha f + \beta g \in C(I, R)$ pour tout $\alpha, \beta \in R$ (Proposition 3).
  • $f \times g \in C(I, R)$.
  • Si $g$ ne s’annule pas sur $I$, alors $f / g \in C(I, R)$.

• Continuité de la division : La division $f / g$ est continue sur $I$ si et seulement si $g$ ne s’annule pas sur $I$. Cela découle de la propriété que la division par une fonction continue non nulle reste continue.

• Composition de fonctions continues (propriété) : Si $u : J \to I$ est continue sur $J$ et $f : I \to R$ est continue sur $I$, alors la composition $f \circ u : J \to R$ est continue (Proposition 4).

• Prolongement par continuité : Si $f : D \setminus \{a\} \to R$ possède une limite $\ell \in R$ en $a$, alors la fonction $\tilde{f}$, définie par $\tilde{f}(x) = f(x)$ pour $x \neq a$ et $\tilde{f}(a) = \ell$, est un prolongement par continuité de $f$ en $a$ (Définition 3).

📝 Points essentiels

• La somme, le produit, et la combinaison linéaire de fonctions continues restent continues (Proposition 3). Cela permet de construire facilement de nouvelles fonctions continues à partir de fonctions de base.

• La division $f / g$ est continue sur un intervalle $I$ si $g$ ne s’annule pas sur cet intervalle. La continuité est alors assurée par la stabilité des opérations sur fonctions continues.

• La composition $f \circ u$ conserve la continuité si $f$ et $u$ sont continues. La puissance de cette propriété est illustrée par l'exemple $f : x \mapsto e^{\alpha \ln(x)}$ continue sur $R_+^*$, et si $u$ est continue sur $J$, alors $f \circ u$ l’est aussi, ce qui permet de généraliser la continuité à des fonctions composées complexes.

• La limite d’une fonction en un point peut permettre son prolongement par continuité, ce qui garantit la continuité en ce point même si la fonction n’est pas initialement définie en ce point.

• La fonction partie entière $\lfloor x \rfloor$ est un exemple de fonction discontinue en tous les points entiers, illustrant que toutes les fonctions usuelles sauf la partie entière sont continues sur leur domaine.

• La stabilité des opérations permet de déduire la continuité de fonctions complexes à partir de fonctions élémentaires continues.

💡 À retenir

Les opérations algébriques et la composition de fonctions continues conservent la continuité, ce qui facilite la construction et l’analyse de fonctions continues complexes à partir de fonctions simples. La division est continue sous condition d’absence de zéro dans le dénominateur, et le prolongement par continuité permet d’étendre la continuité à certains points de discontinuité.

📖 5. Composition de fonctions continues

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition de fonctions continues (Proposition 4) : Si $u : J \to I$ est continue sur $J$ et $f : I \to R$ est continue sur $I$, alors la composition $f \circ u : J \to R$ est continue sur $J$.
  Source : Proposition 4, Tsi 1 Lycée B. Franklin.

• Continuité par composition dans un exemple spécifique : La fonction $x \mapsto e^{\alpha \ln(x)}$, définie sur $R^*+$, est continue. Si $u : J \to R^+*$ est continue, alors $u^\alpha = e^{\alpha \ln u}$ est continue.
  Source : Exemple d’application de la proposition 4.

• Notion de fonction continue sur un intervalle (Définition 2) : Si $f : I \to R$ est continue en tout $a \in I$, alors $f$ est continue sur $I$. La composition de fonctions continues sur leurs domaines respectifs reste continue.
  Source : Définition 2, Tsi 1 Lycée B. Franklin.

📝 Points essentiels

• La composition de deux fonctions continues est toujours continue (Proposition 4). Cela permet d’étendre la continuité à des fonctions complexes construites à partir de fonctions simples.
• La fonction $f : x \mapsto e^{\alpha \ln(x)}$ est un exemple classique illustrant cette propriété, étant continue sur $R^+*$. Si $u : J \to R^+*$ est continue, alors $u^\alpha$ est continue, ce qui montre la puissance de la composition dans la construction de nouvelles fonctions continues.
• La continuité par composition est une propriété fondamentale pour démontrer la continuité de fonctions complexes à partir de fonctions élémentaires continues.
• La propriété est valable même si $u$ ou $f$ sont définies sur des sous-ensembles spécifiques, à condition qu’elles soient continues sur leur domaine respectif.

💡 À retenir

La composition de fonctions continues est toujours continue, ce qui permet de construire des fonctions complexes tout en conservant la propriété de continuité, notamment en utilisant des exemples comme $e^{\alpha \ln(x)}$.

📖 6. Théorème des valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème des valeurs intermédiaires : **"Si f est continue sur un segment [a, b], alors f prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b)." (Proposition 5, Théorème 2).
  Auteur : Tsi 1 Lycée B. Franklin (date non précisée).
  Définition : La fonction continue sur un intervalle fermé [a, b] atteint toutes les valeurs comprises entre ses bornes f(a) et f(b).

• Application du théorème : Existence d'une solution à une équation dans un intervalle.
  Exemple : Si f est continue sur [a, b], et y est une valeur entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un x ∈ [a, b] tel que f(x) = y.

• Exercice d'application : Démonstration que l'équation admet une solution dans un intervalle en utilisant le théorème.
  Exemple : Fonction f définie sur [0,1], continue, avec f(0)=0 et f(1)=1, prend toutes les valeurs entre 0 et 1, notamment 1/3, donc l’équation f(x)=1/3 admet une solution dans [0,1].

• Image d’un intervalle par une fonction continue : L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. (Proposition 5, Théorème 3).
  Auteur : Tsi 1 Lycée B. Franklin (date non précisée).
  Définition : La fonction continue transforme tout intervalle en un autre intervalle, ce qui est une conséquence directe du théorème des valeurs intermédiaires.

📝 Points essentiels

• La continuité sur [a, b] garantit que f(x) couvre toutes les valeurs entre f(a) et f(b).
• Le théorème permet de prouver l’existence d’au moins une solution à une équation f(x) = y, pour y compris entre f(a) et f(b).
• La démonstration repose sur le fait que, si f est continue, alors le maximum et le minimum sur [a, b] sont atteints (Théorème des bornes atteintes).
• La propriété que l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle est une conséquence directe du théorème des valeurs intermédiaires.
• La continuité est essentielle : en dehors de cette condition, la fonction peut ne pas atteindre toutes les valeurs intermédiaires (exemples avec fonctions discontinues).

💡 À retenir

Le théorème des valeurs intermédiaires affirme que toute fonction continue sur un segment [a, b] prend toutes les valeurs comprises entre ses extrémités, ce qui garantit l’existence de solutions pour toute valeur intermédiaire.

📖 7. Image d’un intervalle par une fonction continue

🔑 Notions clés & Définitions

• Image d’un intervalle par une fonction continue : Si $f : I \to \mathbb{R}$ est continue sur un intervalle $I$, alors l’image $f(I)$ est un intervalle (Proposition 5).
• Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : Toute fonction continue sur un intervalle prend toutes les valeurs comprises entre ses extrêmes, ce qui implique que l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
• Proposition 5 : L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Elle découle directement du théorème des valeurs intermédiaires, assurant que si $f$ est continue sur $I$, alors $f(I)$ est un intervalle.

📝 Points essentiels

• La propriété que l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle est fondamentale en analyse, permettant d’établir des résultats comme le théorème des valeurs intermédiaires.
• La démonstration s’appuie sur le théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour toute valeur $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $x \in [a, b]$ tel que $f(x) = y$.
• Corollaire : cette propriété garantit que l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle, ce qui est essentiel pour la résolution d’équations et l’étude des fonctions continues.
• La continuité en un point, la limite en ce point, et la propriété que l’image d’un intervalle est un intervalle sont liées par la Proposition 5, qui formalise cette relation.
• La démonstration repose sur le théorème des valeurs intermédiaires (voir section 6), qui assure que tout y compris les extrêmes sont atteints dans l’image.

💡 À retenir

L’image d’un intervalle par une fonction continue est toujours un intervalle, ce qui permet d’utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour analyser et résoudre des équations.

📖 8. Théorème des bornes atteintes

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème des bornes atteintes : AUTEUR (date) : Si une fonction $f$ est continue sur un intervalle fermé $[a, b]$, alors elle est bornée et atteint ses bornes, c’est-à-dire qu’il existe $x_m, x_M \in [a, b]$ tels que $f(x_m) = \min_{x \in [a, b]} f(x)$ et $f(x_M) = \max_{x \in [a, b]} f(x)$.

• Fonction continue sur $[a, b]$ : Fonction $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ telle que pour tout $x_0 \in [a, b]$, $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

• Borne de $f$ : Valeur $M$ telle que $\forall x \in [a, b], |f(x)| \leq M$. La fonction est dite bornée si une telle valeur existe.

• Atteinte des bornes : Existence de points $x_m, x_M \in [a, b]$ tels que $f(x_m) = \inf_{x \in [a, b]} f(x)$ et $f(x_M) = \sup_{x \in [a, b]} f(x)$. La propriété est garantie par la continuité sur un intervalle fermé.

• Exemple : La fonction $f(x) = 3x(1 - x)$ continue sur $[0, 1]$, atteint ses bornes en $x = 0$ et $x = 1$, avec $f(0) = 0$ et $f(1) = 0$. La valeur maximale est atteinte en $x = 1/2$.

• Contre-exemple : La fonction $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ continue sur $\,]0, 1[$, mais non bornée car $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$.

📝 Points essentiels

• Le théorème s'applique uniquement aux fonctions continues sur des intervalles fermés $[a, b]$. La continuité garantit que la fonction est bornée et que ses bornes sont atteintes dans l’intervalle, ce qui n’est pas le cas sur un intervalle ouvert ou non borné (exemple : $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ sur $\,]0, 1[$).

• La propriété d’atteindre ses bornes ne s’applique pas aux fonctions discontinues ou sur des intervalles ouverts. Par exemple, la fonction partie entière $\lfloor x \rfloor$ est discontinue en tous les entiers, et ne possède pas de borne atteinte dans ces points.

• La fonction continue sur un intervalle fermé est nécessairement bornée (par le théorème des bornes atteintes) et atteint ses bornes, ce qui permet d’identifier des points précis où la fonction atteint ses valeurs extrêmes.

• La propriété est essentielle pour garantir l’existence de solutions dans des équations impliquant des fonctions continues, notamment via le théorème des valeurs intermédiaires.

• La continuité et la propriété d’atteindre ses bornes permettent de déduire la bijectivité locale (théorème de la bijection) pour des fonctions strictement monotones et continues (voir théorème 4).

💡 À retenir

Le théorème des bornes atteintes affirme que toute fonction continue sur un intervalle fermé est bornée et que ses bornes sont atteintes dans cet intervalle, ce qui est fondamental pour l’analyse des extrema et la résolution d’équations.

📖 9. Fonctions monotones et bijections

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de la bijection : AUTEUR (date) : Si une fonction $f : I \to R$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors elle réalise une bijection de $I$ sur $J = f(I)$. La solution de l’équation $f(x) = y$ est unique pour tout $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, et la fonction réciproque $f^{-1} : J \to I$ est également continue et strictement monotone.

• Bijection : Fonction $f : I \to J$ qui est à la fois injective (univoque dans l’image) et surjective (son image est $J$). La bijection permet une correspondance biunivoque entre $I$ et $J$.

• Solution unique de l’équation : Pour $f$ continue et strictement monotone, l’équation $f(x) = y$ admet une seule solution dans $I$ lorsque $y$ est dans l’intervalle $[f(a), f(b)]$.

• Application à la fonction arcsinus : La fonction arcsinus, inverse de la fonction sinus sur \’intervalle $[- \pi/2, \pi/2]$, est une bijection continue et strictement monotone, illustrant le théorème de la bijection.

📝 Points essentiels

• La continuité et la monotonie stricte sont nécessaires pour garantir que $f : I \to R$ est une bijection sur son image $J = f(I)$ (Théorème 4).
• La solution de l’équation $f(x) = y$ est unique dans $I$ si $f$ est strictement monotone et continue. Cela assure une inversion possible via $f^{-1}$.
• La fonction réciproque $f^{-1}$ hérite de la continuité et de la monotonie de $f$, ce qui permet de définir une bijection continue et strictement monotone dans l’autre sens.
• Lorsqu’on applique ce théorème à la fonction arcsinus, on confirme que cette fonction est une bijection continue et strictement monotone de $[-1, 1]$ sur $[- \pi/2, \pi/2]$, avec une inverse également continue et strictement monotone.

💡 À retenir

Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection sur son image, garantissant l’unicité des solutions d’équations et la continuité de la fonction inverse, comme illustré par la fonction arcsinus.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre limite en un point et valeur de la fonction en ce point : la limite doit exister et être égale à la valeur pour la continuité.
2. Penser qu’une fonction discontinue en un point est forcément discontinue sur tout l’intervalle.
3. Oublier que la continuité sur un intervalle nécessite la continuité en chaque point.
4. Confondre prolongement par continuité et simple extension : seul le limite en a permet un prolongement continu.
5. Négliger que la continuité n’est pas toujours stable par opérations si la fonction de dénominateur s’annule.
6. Croire qu’une fonction continue sur un intervalle est nécessairement dérivable.
7. Confondre limite unilatérale et limite classique : la continuité en un point nécessite la limite classique.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition de la continuité en un point selon Tsi (date) : lim x→a f(x) = f(a).
2. Savoir distinguer limite à gauche, à droite, et limite classique en un point.
3. Maîtriser la notion de discontinuité ponctuelle et totale, avec exemples comme la partie entière ⌊x⌋.
4. Savoir définir et illustrer un prolongement par continuité, notamment pour sin(x)/x en 0.
5. Comprendre que la limite en un point doit être finie pour assurer la continuité.
6. Connaître la définition de la continuité sur un intervalle et l’ensemble C(I, R).
7. Savoir que la continuité sur un intervalle permet d’appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
8. Maîtriser la propriété que l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
9. Savoir que les opérations +, −, ×, / (g ≠ 0) sur fonctions continues donnent des fonctions continues (proposition 3).
10. Connaître le théorème des bornes atteintes pour une fonction continue sur [a, b].
11. Savoir que si f est monotone et continue, alors f est bijective sur son image et son inverse est continue (théorème 4).
12. Connaître les auteurs clés : Tsi (date), Lycée B. Franklin, et leurs concepts fondamentaux.