Fiche de révision : Maîtrise du théorème de Pythagore

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire de l'hypoténuse
2. Théorème de Pythagore
3. Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle
4. Réciproque du théorème de Pythagore

📖 1. Vocabulaire de l'hypoténuse

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypoténuse : Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.
• Angle droit : L’angle droit est l’angle de 90° dans un triangle rectangle, situé entre les deux côtés perpendiculaires.

📝 Points essentiels

• Dans un triangle rectangle en A, le côté opposé à l’angle droit en A est l’hypoténuse du triangle.
• Si le triangle ABC est rectangle en A, alors le segment [BC] est l’hypoténuse du triangle ABC.

💡 Astuce mémo

Angle droit en A → côté opposé = BC.

📖 2. Théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
• Triangle rectangle : Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.

📝 Points essentiels

• Le théorème de Pythagore ne s’applique qu’aux triangles rectangles.
• Si ABC est rectangle en A, alors $BC^2=AB^2+AC^2$.
• On calcule un côté inconnu en isolant son carré puis en trouvant sa valeur positive.
• Exemple : si AC=8 cm et BC=20 cm alors $AB^2=20^2-8^2=336$, d’où $AB\approx18{,}3$ cm à 0,1 cm près.

💡 Astuce mémo

Carré de l’hypoténuse = carré + carré (des deux côtés de l’angle droit).

📖 3. Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Plus grand côté : Le plus grand côté d’un triangle est celui dont la longueur dépasse celles des deux autres côtés.

📝 Points essentiels

• Si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n’est pas rectangle.
• Exemple : pour AB=2, AC=3 et BC=4, on a $BC^2=16$ et $AB^2+AC^2=4+9=13$.
• Comme $BC^2\neq AB^2+AC^2$ dans l’exemple, le triangle ABC n’est pas rectangle.

💡 Astuce mémo

Pas d’égalité des carrés (au plus grand côté) → pas de triangle rectangle.

📖 4. Réciproque du théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Réciproque du théorème de Pythagore : Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté vaut la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle.
• Angle droit opposé au plus grand côté : Dans la réciproque, l’angle droit est celui situé en face du plus grand côté du triangle.

📝 Points essentiels

• Si, dans un triangle ABC, $BC^2=AB^2+AC^2$ alors le triangle est rectangle en A.
• On peut démontrer qu’un triangle est rectangle en vérifiant une égalité de carrés.
• Exemple : MN=3,3, NP=6,5 et PM=5,6, on calcule $NP^2=6{,}5^2=42{,}25$ et $MN^2+PM^2=3{,}3^2+5{,}6^2=10{,}89+31{,}36=42{,}25$.
• Comme $NP^2=MN^2+PM^2$, le triangle MNP est rectangle en M.

💡 Astuce mémo

Égalité des carrés pour le plus grand côté → angle droit en face.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’hypoténuse avec un autre côté : l’hypoténuse est toujours le côté opposé à l’angle droit.
2. Utiliser la formule du théorème de Pythagore dans un triangle qui n’est pas rectangle.
3. Prendre le mauvais côté comme “plus grand côté” dans la démonstration d’un triangle non rectangle ou dans la réciproque.
4. Écrire une égalité dans le mauvais sens : il faut comparer le carré du plus grand côté à la somme des deux autres carrés.
5. Trouver la racine d’un carré en oubliant de chercher la valeur positive.
6. Se tromper sur le calcul avec les carrés (par exemple confondre $20^2$ avec $20$ ou $6{,}5^2$ avec $6{,}5$).

✅ Checklist Examen

1. Identifier l’hypoténuse dans un triangle rectangle en repérant le côté opposé à l’angle droit.
2. Énoncer correctement le théorème de Pythagore pour un triangle rectangle.
3. Savoir écrire $BC^2=AB^2+AC^2$ lorsque le triangle ABC est rectangle en A.
4. Refuser d’appliquer le théorème de Pythagore si le triangle n’est pas rectangle.
5. Calculer un côté à partir des deux autres en utilisant l’égalité des carrés.
6. Réaliser une démonstration de non-rectangularité en testant l’inégalité entre $\text{(plus grand côté)}^2$ et la somme des deux autres carrés.
7. Choisir correctement le plus grand côté avant d’appliquer le critère “non rectangle”.
8. Énoncer la réciproque : égalité des carrés du plus grand côté implique un triangle rectangle.
9. Déterminer le sommet de l’angle droit à partir du côté opposé au plus grand côté dans la réciproque.
10. Vérifier par calcul numérique une égalité de carrés pour conclure qu’un triangle est rectangle (exemple MN=3,3, NP=6,5, PM=5,6).
11. Donner un arrondi à 0,1 cm près quand on demande une longueur issue du théorème de Pythagore.