Fiche de révision : Nombres réels, intervalles et fonctions

📋 Plan du Cours

1. Ensembles numériques et inclusions
2. Rationnels et irrationnels
3. Arrondis et encadrements
4. Intervalles de la droite réelle
5. Intersection et réunion
6. Démonstration de l’irrationalité
7. Programmes de calcul et formules
8. Lecture graphique des fonctions

📖 1. Ensembles numériques et inclusions

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Les abscisses des points d’une droite graduée ; cet ensemble est noté R ou ]-∞ ; +∞[.

★ À maîtriser

• Les principaux ensembles numériques sont:
  • N pour les naturels
  • Z pour les entiers relatifs
  • D pour les décimaux
  • Q pour les rationnels
  • R pour les réels

📌 Les inclusions entre les ensembles numériques sont $N \subset Z \subset D \subset Q \subset R$.

Compléments

• Les symboles ∈, ⊂ et ∉ signifient respectivement « appartient à », « est inclus dans » et « n’appartient pas à ».

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Rationnels et irrationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Peut être écrit sous forme de fraction.
• Nombre irrationnel : Nombre réel qui n’est pas rationnel.

📝 Points essentiels

• √2, √3, √5 et π sont des exemples de nombres irrationnels.

• Dans les exemples donnés, -8 appartient à Z, √3 appartient à R, 7/4 appartient à Q, 1/5 appartient à D et √81 appartient à N.

💡 Astuce mémo

Rationnel = fraction ; irrationnel = réel non rationnel

📖 3. Arrondis et encadrements

★ À maîtriser

📌 Arrondir un nombre à 10^{-n} près revient à le donner avec n chiffres après la virgule.

📌 Un arrondi par excès donne une valeur supérieure ou égale au nombre, tandis qu’un arrondi par défaut donne une valeur inférieure ou égale au nombre.

Compléments

• L’arrondi de 10,367 à 10^{-2} près est 10,37.

💡 Astuce mémo

Par défaut : inférieur ; par excès : supérieur

📖 4. Intervalles de la droite réelle

★ À maîtriser

• Les intervalles associés aux inégalités usuelles sont x < b : ]-∞ ; b[, x ≥ a : [a ; +∞[, a ≤ x ≤ b : [a ; b], a < x < b : ]a ; b[ et a ≤ x < b : [a ; b[.

📌 Les extrémités -∞ et +∞ sont toujours associées à un crochet ouvert.

Compléments

• L’ensemble des réels vérifiant -5 ≤ x < 3 est l’intervalle [-5 ; 3[.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue

📖 5. Intersection et réunion

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des réels qui appartiennent à la fois à I et à J.
• Réunion : Ensemble des réels qui appartiennent à I ou à J.

📝 Points essentiels

• Pour I = [-4 ; 5] et J = [0 ; 7], on a I ∩ J = [0 ; 5] et I ∪ J = [-4 ; 7].

• Pour I = [-4 ; 5] et K = [9 ; 11], la réunion est I ∪ K = [-4 ; 5] ∪ [9 ; 11].

💡 Astuce mémo

Intersection = à la fois ; réunion = au moins l’un des deux

📖 6. Démonstration de l’irrationalité

★ À maîtriser

• Pour démontrer par l’absurde que √2 est irrationnel, on suppose d’abord √2 = p/q avec p et q naturels et p/q irréductible, puis on obtient p² = 2q², ce qui rend p pair, puis q pair, en contradiction avec l’irréductibilité de p/q.

• La conclusion de la démonstration est que √2 est irrationnel.

Compléments

📐 Formule — À partir de √2 = p/q, on obtient $2q^2 = p^2$, puis, en écrivant p = 2k, $2k^2 = q^2$.

💡 Astuce mémo

p et q pairs → contradiction avec l’irréductibilité

📖 7. Programmes de calcul et formules

🔑 Notions clés & Définitions

• Image : Nombre obtenu en appliquant f à 1,6.

📝 Points essentiels

• 🔄 Le programme de calcul suit les étapes suivantes:
  1. Choisir un nombre
  2. Ajouter 4
  3. Multiplier le résultat par 3
  4. Ajouter 4

📐 Formule — Le programme précédent s’écrit sous forme de fonction par la formule $f(x)=3(x+4)+4$.

📐 Formule — La fonction g définie par $g(x)=4x^2-23$ se traduit par le programme « élever le nombre au carré, multiplier par 4, puis soustraire 23 ».

💡 Astuce mémo

Choisir → ajouter → multiplier → ajouter

📖 8. Lecture graphique des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Image d’une fonction : Ordonnée du point de la courbe dont l’abscisse est ce nombre.
• Antécédent : Abscisse dont l’ordonnée correspond à ce nombre.

★ À maîtriser

📌 L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des abscisses des points de sa courbe représentative.

Compléments

📌 Pour déterminer graphiquement une image, on repère l’abscisse sur l’axe horizontal, on rejoint la courbe, puis on lit l’ordonnée sur l’axe vertical.

💡 Astuce mémo

Image : abscisse vers ordonnée ; antécédent : ordonnée vers abscisse

📊 Tableaux de synthèse

Ensembles numériques